初中数学几何线段及线段和、差的最值问题探析.pdf

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1、初中数学几何线段及线段和、差的最值问题探析：初中数学几何线段及线段和、差的最值问题探析 一、一般处理方法 （一）常用定理 （1）两点之间，线段最短（已知两个定点时）（2）垂线段最短（已知一个定点、一条定直线时）（3）三角形三边关系（已知两边长固定或其和、差固定时）PA+PB 最小，需转化，使点在线异侧|PA-PB|最大，需转化，使点在线同侧 具体例题分析 类型一 利用两点之间线段最短 1.立体图形平面展开图求最短路径 例 1.有一圆柱体如图，高 4cm，底面半径 5cm，A 处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到 C 处，求蚂蚁爬行的最短距离。试题分析：此题为常规题型，碰到立体图形中的最短路径问题把它展开

2、成平面图形再利用两点之间线段求解即可。解：AB=4，BC 为底面周长的一半 即 BC=5 AC=答：蚂蚁爬行的最短距离为 cm。2.通过作轴对称求距离之和的最小值 例 2：如图，AOB=30，AOB 内有一定点 P，且 OP=10.在 OA 上有一点 Q，OB 上有一点 R.若PQR 周长最小，则最小周长是（）A.10 B.15 C.20 D.30 试题分析：此题出现一个定点两条定直线，所以我们是通过这个定点分别关于这两条直线作对称点，再根据三角形三边关系，最终转为两点之间线段最短来处理。解：设POA=，则POB=30，作 PMOA 与 OA 相交于 M，并将 PM 延长一倍到 E，即 ME=

3、PM.作 PNOB 与 OB 相交于 N，并将 PN 延长一倍到 F，即 NF=PN.连接 EF 与 OA 相交于 Q，与 OB 相交于 R，再连接 PQ，PR，则PQR 即为周长最短的三角形.OA 是 PE 的垂直平分线，EQ=QP；同理，OB 是 PF 的垂直平分线，FR=RP，PQR 的周长=EF.OE=OF=OP=10，且EOF=EOP+POF =2+2（30-）=60，EOF 是正三角形，EF=10，即在保持 OP=10 的条件下PQR 的最小周长为 10.故选 A.3.利用平移求线段和的最小值 例 3：荆州护城河在 CC处直角转弯，河宽相等，从 A 处到达 B 处，需经过两座桥 D

4、D、EE，护城河及两桥都是东西、南北方向，桥与河岸垂直.如何确定两座桥的位置，可使 A 到 B 点路径最短？试题分析：由于含有固定线段“桥”，导致不能将 ADDEEB 通过轴对称直接转化为线段，需要构造平行四边形将 AD、BE 平移至 DF、EG，即可得到桥所在位置 解：作 AFCD，且 AF=河宽，作 BGCE，且 BG=河宽，连接 GF，与河岸相交于 E、D，作 DD、EE即为桥 证明：由做法可知，AFDD，AF=DD，则四边形 AFDD为平行四边形 于是 AD=FD 同理，BE=GE 由两点之间线段最短可知，GF 最小 即当桥建于如图所示位置时，ADDEEB 最短 二、利用垂线段最短求最

5、值 1.通过转移点，转化为一个定点到一条定直线的距离的最小值 例 1：如图，在锐角ABC 中，AB=6，BAC=60，BAC 的平分线交BC 于点 D，M、N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BM+MN 的最小值是（）A.3 B.C.D.6 试题分析：此题，两条线段涉及到三个点，其中 B 为定点，另外两个点均为动点，但通过角平分线这个条件可以把 BM 转化成关于线段 AD对称的线段 EM.从而把两条线段之和的最值转化为点 E 到直线 AB 的最短距离。解：在 AC 上取一点 E，使得 AE=AB，过 E 作 ENAB 于 N，交 AD 于 M，连接 BM，BE，BE 交 AD 于 O，则

6、 BM+MN最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），AD 平分CAB，AE=AB，EO=OB，ADBE，AD 是 BE 的垂直平分线（三线合一），E 和 B 关于直线 AD 对称，EM=BM，即 BM+MN=EM+MN=EN，ENAB，ENA=90，CAB=60，AEN=30，AE=AB=6，AN=AE=3，在AEN中，由勾股定理得：EN=，即 BM+MN 的最小值是.故选 B.2.通过勾股定理转移线段转化为垂线段最短 例 2.如图，ABC 中，BAC=60，ABC=45，AB=2，D 是线段 BC上的一个动点，以 AD 为直径画O 分别交 AB，AC 于 E，F，连接 EF，则线

7、段 EF 长度的最小值为.：试题分析：此题由于 E、F 两点均为动点，若按常规思路直接求其最值感觉无从下手，而此时如能转化成其他与之相关的线段直径，则问题就迎刃而解了 由垂线段的性质可知，当 AD 为ABC 的边 BC 上的高时，直径最短。解：由垂线段的性质可知，当 AD 为ABC 的边 BC 上的高时，直径最短，如图，连接 OE，OF，过 O 点作 OHEF，垂足为 H，在 RtADB 中，ABC=45，AB=，AD=BD=1，即此时圆的直径为 1，EOF=2BAC=120，而EOH=EOF，EOH=60，在 RtEOH 中，EH=OEsinEOH=sin60=，OHEF，EH=FH，EF=

8、2EH=，即线段 EF 长度的最小值为.故答案为.3.通过三角形全等相似等转移线段转化为垂线段最短 例 3.已知梯形 ABCD，ADBC，ABBC，AD=1，AB=2，BC=3，问题 1：如图 1，P 为 AB 边上的一点，以 PD，PC 为边作平行四边形PCQD，请问对角线 PQ，DC 的长能否相等，为什么？问题 2：如图 2，若 P 为 AB 边上一点，以 PD，PC 为边作平行四边形PCQD，请问对角线 PQ 的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由.问题 3：若 P 为 AB 边上任意一点，延长 PD 到 E，使 DE=PD，再以 PE，PC 为边作平行四边形

9、 PCQE，请探究对角线 PQ 的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由.问题 4：如图 3，若 P 为 DC 边上任意一点，延长 PA 到 E，使 AE=nPA（n 为常数），以 PE、PB 为边作平行四边形 PBQE，请探究对角线 PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由。试题分析：此题难度很大，P、Q 两点也均为动点，而且此题要转化的线段隐藏得更深，需要在复杂图形中挖掘线段的等分点，从而转化成线段 PG 的整数倍，才最终变成动点到定直线的线段中垂线段最短的问题。解：问题 1：四边形 PCQD 是平行四边形，若对角线 PQ、DC

10、相等，则四边形 PCQD 是矩形，DPC=90，AD=1，AB=2，BC=3，DC=2，设 PB=x，则 AP=2-x，在 RtDPC 中，PD2+PC2=DC2，即 x2+32+（2-x）2+1=8，化简得 x2-2x+3=0，=（-2）2-413=-80，方程无解，对角线 PQ 与 DC 不可能相等.问题 2：如图 2，在平行四边形 PCQD 中，设对角线 PQ 与 DC 相交于点 G，则 G 是 DC 的中点，过点 Q 作 QHBC，交 BC 的延长线于 H，ADBC，ADC=DCH，即ADP+PDG=DCQ+QCH，PDCQ，PDC=DCQ，ADP=QCH，又PD=CQ，RtADPRt

11、HCQ，AD=HC，AD=1，BC=3，BH=4，当 PQAB 时，PQ 的长最小，即为 4.问题 3：如图 3，设 PQ 与 DC 相交于点 G，PECQ，PD=DE，G 是 DC 上一定点，作 QHBC，交 BC 的延长线于 H，同理可证ADP=QCH，RtADPRtHCQ，即，CH=2，BH=BG+CH=3+2=5，PQAB 时，PQ 的长最小，即为 5.问题 4：如图 4，设 PQ 与 AB 相交于点 G，PEBQ，AE=nPA，作 QHPD，交 CB 的延长线于 H，过点 C 作 CKCD，交 QH 的延长线于K，ADBC，ABBC，ADP=QHC，DAP+PAG=QBH+QBG=9

12、0，PAG=QBG，QBH=PAD，ADPBHQ，AD=1，BH=n+1，CH=BH+BC=3+n+1=n+4，过点 D 作 DMBC 于 M，则四边形 ABND 是矩形，BM=AD=1，DM=AB=2 CM=BC-BM=3-1=2=DM，DCM=45，KCH=45，CK=CHcos45=（n+4），当 PQCD 时，PQ 的长最小，最小值为（n+4）.三、利用三角形三边关系 1.通过找到特殊定点构造三角形 例 1.如图，MON=90，边长为 2 的等边三角形 ABC 的顶点 A、B 分别在边 OM，ON 上当 B 在边 ON 上运动时，A 随之在边 OM 上运动，等边三角形的形状保持不变，运

13、动过程中，点 C 到点 O 的最大距离为（）A.2.4 B.C.D.试题分析：如图，取 AB 的中点 D.连接 CD.根据三角形的边角关系得到OC 小于等于 OD+DC，只有当 O、D 及 C 共线时，OC 取得最大值，最大值为 OD+CD。：【解答】解：如图，取 AB 的中点 D，连接 CD.ABC 是等边三角形，且边长是 2，BC=AB=2，点 D 是 AB 边中点，BD=AB=1，CD=，即 CD=；连接 OD，OC，有 OCOD+DC，当 O、D、C 共线时，OC 有最大值，最大值是 OD+CD，由（1）得，CD=，又AOB 为直角三角形，D 为斜边 AB 的中点，OD=AB=1，OD

14、+CD=1+，即 OC 的最大值为 1+.故选：C.2.以旋转为背景构造三角形 例 2：在锐角ABC 中，AB=4，BC=5，ACB=45，将ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转，得到A1BC1.（1）如图 1，当点 C1 在线段 CA 的延长线上时，求CC1A1 的度数；（2）如图 2，连接 AA1，CC1.若ABA1 的面积为 4，求CBC1 的面积；（3）如图 3，点 E 为线段 AB 中点，点 P 是线段 AC 上的动点，在ABC绕点 B 按逆时针方向旋转过程中，点 P 的对应点是点 P1，求线段 EP1长度的最大值与最小值.试题分析：此题为一道中考压轴题，第（3）EP1 落在 BE 和

15、 BP1 所在的三角形里，而这个三角形里 BE 是定值，EP1 的最值就转化成了 B P1 的最值。解答：解：（1）由旋转的性质可得：A1C1B=ACB=45，BC=BC1，CC1B=C1CB=45，CC1A1=CC1B+A1C1B=45+45=90。（2）ABCA1BC1，BA=BA1，BC=BC1，ABC=A1BC1，ABC+ABC1=A1BC1+ABC1，ABA1=CBC1，ABA1CBC1 ，SABA1=4，SCBC1=；（3）过点 B 作 BDAC，D 为垂足，ABC 为锐角三角形，点 D 在线段 AC 上，在 RtBCD 中，BD=BCsin45=，如图 1，当 P 在 AC 上运

16、动至垂足点 D，ABC 绕点 B 旋转，使点 P 的对应点 P1 在线段 AB 上时，EP1 最小，最小值为：EP1=BP1-BE=BD-BE=-2；当 P 在 AC 上运动至点 C，ABC 绕点 B 旋转，使点 P 的对应点 P1 在线段 AB 的延长线上时，EP1 最大，最大值为：EP1=BC+AE=2+5=7。3.通过作对称点找到最值的特殊位置 例 3：如图，抛物线 l 交 x 轴于点 A（3，0）、B（1，0），交 y轴于点 C（0，3）.将抛物线 l 沿 y 轴翻折得抛物线 l1.（1）求 l1 的解析式；（2）在 l1 的对称轴上找出点 P，使点 P 到点 A 的对称点 A1 及

17、C 两点的距离差最大，并说出理由；试题分析（1）根据翻折变换的性质，求得 A1 和 B1 的坐标，用待定系数法即可求得抛物线 l1 的解析式，（2）根据三角形两边之差小于第三边的性|即可知，B1C 的延长线与对称轴 x=1 的交点 P，即为所求。求出 B1C 的解析式即可求得点 P 的坐标。解：（1）如图 1，设经翻折后，点 A.B 的对应点分别为 A1、B1，依题意，由翻折变换的性质可知 A1（3，0），B1（1，0），C 点坐标不变，抛物线 l1 经过 A1（3，0），B1（1，0），C（0，3）三点，设抛物线 l1 的解析式为 y=ax2+bx+c，则 ，解得。抛物线 l1 的解析式为：

18、y=x22x3。（2）抛物线 l1 的对称轴为：x=，如图 2，连接 B1C 并延长，与对称轴x=1 交于点 P，则点 P 即为所求。此时，|PA1PC|=|PB1PC|=B1C。设 P为对称轴 x=1 上不同于点 P 的任意一点，则有：|PAPC|=|PB1PC|b1c（三角形两边之差小于第三边），|papc|pa1pc|，即|pa1pc|最大。设直线 B1C 的解析式为 y=kx+b，则 ，解得 k=b=3。直线 B1C 的解析式为：y=3x3。令 x=1，得 y=6。P（1，6）。通过以上三种类型题目的分析，我们不难发现，虽然线段最值及线段和差的最值是一个难点，但只要我们能够吃透本质，在碰到这种类型问题时都能结合具体题目具体分析，确定相应的类型，从而快速找到基本原理是利用两点之间线段最短，还是垂线段最短，抑或是利用三边关系。从而找到问题的突破口，去运用相关知识去解决这个难点。