高中数学暑期辅导高一第8讲幂函数与复合函数初步.目标班_1.pdf

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1、 高中数学暑期辅导高一第 8 讲 幂函数与复合函数初步.目标班 第 99 页 我们来看一下我们初中学过的一些函数，如：21yxyxyx，我们可以发现这些函数与我们前边学过的指数函数有点类似，但根据指数函数的定义，我们知道这些函数不是指数函数，这些函数的表达式有着共同的特征：幂的底数是自变量，指数是常数.那我们管这样的函数就叫做幂函数.那幂函数的定义到底是什么呢？下面我们来看一下幂函数的概念：考点 1：幂函数的概念 幂函数：一般地，形如()yxR的函数称为幂函数，其中为常数【概念说明】由于对于类似x的形式我们研究不了，高中只研究是有理数.如：yx，2yx，知识点睛 8.1 幂函数 第 8 讲 幂

2、函数与 复合函数初步 第 100 页 3yx，12yxx，11yxx，2yx，12yx等，而课本中重点研究112312，时的情况.形如23212333yxyxyxyxx，都不是幂函数，因此要注意幂函数的书写形式 要注意幂函数与指数函数的区别.指数函数：形如01xyaaa，x为自变量，自变量在指数位置，底数为常数且为正值；幂函数：形如yx，x为自变量，为常数，自变量在底数位置，常数在指数位置，常数可正可负，即 指数函数：幂函数：【例1】已知21212223mymmxn是幂函数，求mn，的值.幂函数()f x的图象过点4327)（，则()f x的解析式是_ 幂函数()yf x的图象经过点(28)，

3、则满足()27f x 的x的值是_【备选】在下列函数中，是幂函数的有_ 已知幂函数()f xx的图象经过点(82)，则经典精讲 y=x常数（只研究=1,2,3，12，-1等）自变量（与的取值有关）第 101 页(1)f _ 幂函数的图象与其它函数相比，在理解和记忆上都感到比较困难.主要因为幂函数的图象的位置和形状变化复杂，只要指数稍有不同，图象的位置和形状就可能发生很大的变化.所以有必要对幂函数的图象分布进行一番考查.下面我们就通过举例来研究这类函数的图象和性质：考点 2：幂函数的图象与性质 当分别为1，12，1，2，3时，幂函数图象如下图：从这些函数的图象大家可以看到，幂函数随着的取值不同，

4、它的定义域、性质和图象也不尽相同.但它们也有一些共同的性质：所有的幂函数在(0)，都有定义，并且图象都通过点1 1，；【教师备案】当0时，在0 x 处也可以取到；当0时，在0 x 处无意义.如果0，则幂函数的图象通过原点，并且在区间0)，上是增函数；如果0，则幂函数在区间(0)，上是减函数.在第一象知识点睛 第 102 页 限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴当x趋于时，图象在x轴上方无限地逼近x轴 通过上边的函数图象我们知道有的函数过第一、二象限，有的函数过第一、三象限，又有的函数只过第一象限，而且咱们上边只画了112312，时函数的图象，但如果某一天我们遇到了1353

5、43，等时，这些函数的图象应该怎么画呢？你能否马上就画出这个函数的草图呢？那这个又是由谁决定的呢？我们来看一下它的第条性质：幂函数的奇偶性决定幂函数过的象限 奇函数过一、三象限；偶函数过一、二象限；非奇非偶函数只过第一象限【教师备案】幂函数yx()R的图象主要分以下7类 当0时，图象是过(1 1)，点平行于x轴但扣去(0 1)，点的一条“断”直线；当为正偶数时，幂函数为偶函数，图象过第一、二象限及原点；当为正奇数时，幂函数为奇函数，图象过第一、三象限及原点；当为负偶数时，幂函数为偶函数，图象在第一、二象限，但不过原点；第 103 页 当为负奇数时，幂函数为奇函数，图象在第一、三象限，但不过原点

6、；当为正分数时，设为nm（m，n是互质的正整数）如果m，n 都是奇数，幂函数为奇函数，图象过第一、三象限及原点；如5533yxx是奇函数，图象为：如果m是偶数，n为奇数，幂函数为非奇非偶函数，图象在第一象限及过原点；如3344yxx是非奇非偶函数，图象只在第一象限，即 如果m为奇数，n为偶数，幂函数为偶函数，图象过第一、二象限及原点 如2233yxx是偶函数，图象为：当为负分数时，设为nm（m，n是互质的正整数）如果m，n都是奇数，幂函数为奇函数，图象在第一、三象限；x yOx yO 第 104 页 如果m为偶数，n为奇数，幂函数的图象只在第一象限；如果m为奇数，n为偶数，幂函数为偶函数，图象

7、在第一、二象限 如23231yxx是偶函数，图象为 练习 1：给定一组函数解析式34yx；23yx；32yx；23yx；32yx；13yx；13yx 和一组函数图象.请把图象对应的解析式号码填在下图的括号内.【例2】已知幂函数yx在第一象限内的图象如图所示，且分别取 1，1，12，2，则相应于曲线1C，2C，3C，4C的的值依次为_ 函数2223()(1)mmf xmmx是幂函数，且当(0)x，时是减函数，求实数m；幂函数249()aaf xx是偶函数，且当(0)x，时是减函数，求整数a的值【解析】2，1，12，1 a的值为1，1，3，5【备选】已知幂函数223()()mmf xxmZ为偶函数

8、且在区间(0)，上是减函数 经典精讲 x yO11x yOyxC4C3C2C111O 第 105 页 求函数()f x的解析式；讨论()()()bg xaf xxf x的奇偶性 当0,0ab时，()g x既是奇函数又是偶函数；当0,0ab时，()g x为奇函数；当0,0ab时，()g x为偶函数；当0,0ab时，()g x既不是奇函数也不是偶函数 在指数函数和对数函数中我们都已经讲了函数值的大小比较，那在幂函数中怎样比较大小呢？在前边我们也已经讲了幂函数与指数函数的区别，那在函数值比较大小时，我们是把它看成指数函数还是看成幂函数呢？下面我们就来看一下函数值的大小比较：考点 3：函数值的大小比较

9、及其应用 【教师备案】函数值的大小比较关键在于构造适当的函数.若指数相同而底数不同，则考虑幂函数；比如比较0.50.2和0.50.3，就可以看成幂函数0.5yx，根据幂函数的性质我们知道经典精讲 第 106 页 0.5yx在0，上是增函数，0.50.50.20.3；比较0.45和0.44，就可以看成幂函数0.4yx，根据幂函数的性质我们知道0.4yx在0，上是减函数，0.40.454；比较1312和1313，就可以看成幂函数13yx，根据幂函数的性质我们知道13yx在0，上是增函数，11331123.若指数不同底数相同，则考虑指数函数；比如比较0.32和0.52，就可以看成指数函数2xy，根据

10、指数函数的性质我们知道2xy 在R上是增函数，0.30.522；比较0.60.5和0.70.5，就可以看成指数函数0.5xy，根据指数函数的性质我们知道0.5xy 在R上是减函数，0.60.70.50.5.若底数不同，指数也不同，需引入中间量，利用幂函数与指数函数的单调性，也可以借助幂函数与指数函数的图象.【例3】比较下列各组数的大小 第 107 页 0.523和0.535；523和523.1；788和7819；121.1，121.4和131.1；120.16，140.25和146.25；2323和236；254.1，233.8和351.9 已知函数12()f xx，且(21)(3)fxfx，

11、求x的取值范围.已知函数22()kkf xx()k Z满足(2)(3)ff 求k的值并求出相应的()f x的解析式；对于中得到的函数()f x，试判断是否存在(0)q q，使函数()1()(21)g xqf xqx 在区间 12，上的值域为1748，？若存在，求出q；若不存在，说明理由 0k 或1k；2()f xx 已知幂函数223mmyx*()mN的图象关于y轴对称，且在(0)，上是减函数，求满足(1)(32)mmaa的a的范围【解析】a的取值范围为|1a a 或2332a【点评】本题易错点在于最后由11(1)(32)aa求a的取值范围的时候，只注意到函数1yx单调递减，忽略了单调区间是分段

12、的，当1a 和32a在不同单调区间时，11(1)(32)aa也可以成立 其实从第 2 讲开始我们就在讲复合函数，只不过当时我们只是简单介绍了一下复合函数的概念和性质.第 108 页 而且理科的学生以后重点研究的是复合函数，比如将来高考的第 18 题导数主要考察复合函数，所以，这时要求学生一定要对复合函数能够熟练地掌握，那我们下面就来看一下复合函数的应用.考点 4：复合函数的解析式 【例4】22f xx，21g xx，则 fg xg g x时，x _；（2009 年北京四中练习卷）已知()12g xx，2210 xfg xxx，则 0f等于（）A1 B3 C15 D30 函数 23cxf xx3

13、2x 满足 ff xx，则c等于（）A3 B3 C33或 D53或 已知2()1f xx，10()20 xxg xxx，求()f g x和()g f x的表达式 B；【点评】在()f g x中，对应法则f指自变量的平方减1，这里()g x为自变量，故题中 2()()1f g xg x，而()g x的表达式是分段由x的取值范围而定，所以必须分段讨论 8.2 复合函数的应用 经典精讲 第 109 页 考点 5：复合函数的单调区间【教师备案】虽然在指数和对数我们都已经讲了复合函数的单调区间，但是为了让学生熟练地掌握，这里还会涉及到与指数、对数相关的复合函数.是与幂函数相关的复合函数；是与指数相关的复

14、合函数；是与对数相关的复合函数；是指对复合在一起的复合函数.【例5】求下列函数的单调区间【解析】函数3(1)yx的单调增区间为R；函数3(1)yx的单调减区间为R 函数122(3)yxx的单调减区间为302，增区间为332，函数2323xxy的减区间为32，增区间为32，函数2212xxy的减区间为1，增区间为1，函数212log(32)yxx的增区间为(1)，减区间为(2)，函数2lg 124yxx的增区间为62，减区间为 第 110 页 22，函数2log21xy 的增区间为(0)，【点评】在讨论复合函数的单调性时，内外层函数的定义域不一定相同内层函数的值域要包含于外层函数的定义域内【例6

15、】已知函数()yf x在其定义域(26)，上单调递增，求函数(2)yfx的单调区间 已知函数2()82f xxx，2()(2)g xfx，讨论函数()g x的单调性【解析】(2)yfx的减区间是(40)，函数()g x在1，01，上单调递增；在10，1，上单调递减【拓展】已知函数2()1f xx，且()()g xf f x，()()()G xg xf x试问，是否存在实数，使得()G x在(1，上为减函数，并且在(10)，上为增函数，若有，求出相应的，若无，说明理由【解析】存在实数4，使得()G x在(1，为减函数，并且在(10)，为增函数 【演练 1】已知函数2yx，1yx，24yx，51y

16、x，2(1)yx，0yx；其中是幂函数的是_；幂 函 数()f x的 图 象 经 过 点33，则实战演练 第 111 页()f x _【演练 2】实数ab，满足0ab，则下列不等式正确的是（）A 1122ab B 11ab C33ab D2211ab 若四个幂函数ayx，byx，cyx，dyx在同一坐标系 中的图象如图，将a、b、c、d从小到大排列应该是_【解析】C；【演 练 3】若()f x是 一 次 函 数，且()41f f xx，则()f x _【解析】123x或21x；【演练 4】已知函数223()(1)mmf xmmx是幂函数，且当(0)x，时是减函数，求实数m的值；求函数(2)(2

17、)yf xf x的定义域，判断其奇偶性并证明 定义域为2x x ；偶函数【演练 5】已知点22，在幂函数()f x的图象上，点124，在幂函数()g x的图象上 求函数()f x，()g x的解析式；判断函数()g x的单调性并用定义证明；问x为何值时有()()f xg x yxy=xdy=xcy=xby=xa11O 第 112 页 ()g x在区间(0)，上单调递增，在区间(0)，上单调递减 任取120 xx，22212112122212()()()()xxxxg xg xxxx x 120 xx，则210 xx，210 xx，12()()0g xg x即()g x在区间(0)，上单调递增 同理可证明()g x在区间(0)，上单调递减 在区间 10)，(01，上有()()f xg x 画出下列函数的草图：函数 yx 2yx 3yx 1yx 12yx 图象 答案：函数 yx 2yx 3yx 1yx 12yx 图象 概念要点回顾 yOx yOx yOxO yxO yx