高考数学大一轮复习第七章立体几何第七节立体几何中的向量方法教师用书理.doc

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1、- 1 -第七节第七节 立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法2017 考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何中的应用。2016，全国卷，18,12 分(面面垂直、二面角)2016，全国卷，19,12 分(线面垂直，二面角)2016，全国卷，19,12 分(线面平行、线面角)2016，天津卷，17,13 分(线面平行，线面角、二面角)2016，山东卷，17,12 分(线面平行、二面角)1.本节是高考中的必考内容，涉及用向量法计算空间异面直线所成角、直线和平面所成角、二面角；2.题型以解答题为主，要求有

2、较强的运算能力，广泛应用函数与方程的思想，转化与化归思想。微知识 小题练自|主|排|查1两条异面直线所成角的求法设两条异面直线a，b的方向向量为a a，b b，其夹角为，则cos|cos|(其中为异面直线a，b所成的角)。|a ab b| |a a|b b|2直线和平面所成角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e e，平面的法向量为n n，直线l与平面所成的角为，向量e e与n n的夹角为，则有 sin|cos|。|n ne e| |n n|e e|- 2 -3求二面角的大小(1)如图，AB，CD是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小， 。ABCD(2)如图，n n1，n n2分

3、别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小n n1，n n2或 n n1，n n2 。微点提醒 1一般来说，如果已知的空间几何体中含有两两垂直且交于一点的三条直线时，就以这三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系；如果不存在这样的三条直线，则应尽可能找两条垂直相交的直线，以其为两条坐标轴建立空间直角坐标系，即坐标系建立时以其中的垂直相交直线为基本出发点。2异面直线所成的角与其方向向量的夹角：当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；否则向量夹角的补角是异面直线所成的角。3二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面，的法向量n n1，n n2时

4、，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与- 3 -向量n n1，n n2的夹角是相等，还是互补。小|题|快|练一 、走进教材(选修 21P117T4改编)正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为 2，则AC1与侧面ABB1A1所成的角为_。2【解析】 以C为原点建立空间直角坐标系，得下列坐标：A(2,0,0)，C1(0,0,2)。点2C1在侧面ABB1A1内的射影为点C2。(3 2，32，2 2)所以(2,0,2)，AC12AC2(1 2，32，2 2)设直线AC1与平面ABB1A1所成的角为，则- 4 -cos。AC1AC2|AC1|AC

5、2|1082 3 332又，所以。0， 2 6【答案】 6二、双基查验1已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为_。【解析】 如图，以D为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系。设AA12AB2，则B(1,1,0)，E(1,0,1)，C(0,1,0)，D1(0,0,2)，所以(0，1,1)，(0，1,2)，所以BECD1cos，。BECD1122 53 1010【答案】 3 10102过正方形ABCD的顶点A作线段PA平面ABCD，如果ABPA，那么平面ABP与平面CDP所成的二面角的大小为_。【解析】 建立如图所示空间直角坐标

6、系，设ABPA1，知A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，C(1,1,0)，P(0,0,1)，由题意，AD平面ABP，设E为PD的中点，连接AE，则- 5 -AEPD，又因为CD平面PAD，所以AECD，又PDCDD，所以AE平面CDP。所以(0,1,0)，分别是平面ABP，平面 CDP的法向量，且， 45，所ADAE(0，1 2，1 2)ADAE以平面ABP与平面CDP所成的二面角为 45。【答案】 45第一课时第一课时 利用空间向量求空间角利用空间向量求空间角微考点 大课堂考点一 异面直线所成的角【典例 1】 (2015全国卷)如图，四边形ABCD为菱形，ABC120，E，

7、F是平面ABCD同一侧的两点，BE平面ABCD，DF平面ABCD，BE2DF，AEEC。- 6 -(1)证明：平面AEC平面AFC；(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值。【解析】 (1)证明：如图，连接BD，设BDACG，连接EG，FG，EF。在菱形ABCD中，不妨设GB1。由ABC120，可得AGGC。3由BE平面ABCD，ABBC，可知AEEC。又AEEC，所以EG，且EGAC。3在 RtEBG中，可得BE，2故DF。22在 RtFDG中，可得FG。62在直角梯形BDFE中，由BD2，BE，DF，222可得EF。3 22从而EG2FG2EF2，所以EGFG。又ACFGG，所以EG平面A

8、FC。因为EG平面AEC，所以平面AEC平面AFC。(2)如图，以G为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴正方向，|为单位长度，GBGCGB建立空间直角坐标系Gxyz。- 7 -由(1)可得A(0，0)，E(1,0，)，F，C(0， ，0)，32(1，0，22)3所以(1， ，)，。AE32CF(1， 3，22)故 cos， 。AECFAECF|AE|CF|33所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为。33【答案】 (1)见解析 (2)33反思归纳 求一对异面直线所成角：一是按定义平移转化为两相交直线的夹角；二是在异面直线上各取一向量，转化为两向量的夹角或其补角，无论哪种求法，都应注意角的范围的

9、限定。【变式训练】 (2017保定模拟)如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是( )- 8 -A45 B60C90 D120【解析】 以BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系。设ABBCAA12，C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(0,0,1)。(0，1,1)，(2,0,2)。EFBC12，记，所成角为。EFBC1EFBC1cos 。22 2 21 2EF和BC1所成角为 60。【答案】 B- 9 -考点二 直线与平面所成的角【典例 2】 (2016全国卷)如

10、图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD，N为PC的中点。(1)证明：MN平面PAB；(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值。【解析】 (1)证明：由已知得AMAD2。2 3取BP的中点T，连接AT，TN。由N为PC的中点知TNBC，TNBC2。1 2又ADBC，故TN綊AM，四边形AMNT为平行四边形，于是MNAT。因为AT平面PAB，MN平面PAB，所以MN平面PAB。(2)取BC的中点E，连接AE。由ABAC得AEBC，从而AEAD，且AEAB2BE2。AB2(BC2)25以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如

11、图所示的空间直角坐标系Axyz。由AE题意知，P(0,0,4)，M(0,2,0)，C(，2,0)，N，(0,2，4)，5(52，1，2)PMPN，。(52，1，2)AN(52，1，2)- 10 -设n n(x，y，z)为平面PMN的法向量，则Error!即Error!可取n n(0,2,1)。于是|cosn n， |，则直线AN与平面PMN所成角的正弦值为。AN|n nAN|n n|AN|8 5258 525【答案】 (1)见解析 (2)8 525反思归纳 直线l与平面所成角与直线的方向向量l l、平面的法向量n n的夹角l l，n n不是一回事，满足关系 sin|cosl l，n n|。【变

12、式训练】 (2016青岛模拟)如图，在直棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADBC，BAD90，ACBD，BC1，ADAA13。- 11 -(1)证明：ACB1D；(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值。【解析】 (1)证明：易知，AB，AD，AA1两两垂直，如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系。设ABt，则相关各点的坐标为A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1(t,0,3)，C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3)。从而(t,3，3)，(t,1,0)，B1DAC(t,3,0)，BD因为ACBD，

13、所以t2300。ACBD- 12 -解得t或t(舍去)。33于是(，3，3)，(，1,0)，B1D3AC3因为3300，ACB1D所以，ACB1D即ACB1D。(2)由(1)知，(0,3,3)，(，1,0)，AD1AC3(0,1,0)，B1C1设n n(x，y，z)是平面ACD1的一个法向量则Error!即Error!令x1，则n n(1，)。33设直线B1C1与平面ACD1所成的角为，则 sin|cosn n，|。B1C1|n nB1C1|n n|B1C1|37217即直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值为。217【答案】 (1)见解析 (2)217考点三 二面角多维探究角度一：计算二

14、面角的大小【典例 3】 (2016全国卷)如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF2FD，AFD90，且二面角DAFE与二面角CBEF都是 60。(1)证明：平面ABEF平面EFDC；- 13 -(2)求二面角EBCA的余弦值。【解析】 (1)证明：由已知可得AFDF，AFFE，因为DFEFF，所以AF平面EFDC。又AF平面ABEF，故平面ABEF平面EFDC。(2)过D作DGEF，垂足为G，由(1)知DG平面ABEF。以G为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐GFGF标系Gxyz。由(1)知DFE为二面角DAFE的平面角，故D

15、FE60，则DF2，DG，可得3A(1,4,0)，B(3,4,0)，E(3,0,0)，D(0,0，)。3由已知，ABEF，所以AB平面EFDC。又平面ABCD平面EFDCCD，故ABCD，CDEF。由BEAF，可得BE平面EFDC，所以CEF为二面角CBEF的平面角，CEF60。从而可得C(2,0，)。3连接AC，则(1,0，)，(0,4,0)，(3，4，)，(4,0,0)。EC3EBAC3AB设n n(x，y，z)是平面BCE的法向量，则Error!即Error!所以可取n n(3,0，)。3设m m是平面ABCD的法向量，则Error!同理可取m m(0， ，4)。3则 cosn n，m

16、m。n nm m |n n|m m|2 1919故二面角EBCA的余弦值为。2 1919- 14 -【答案】 (1)见解析 (2)2 1919角度二：已知二面角的大小求值【典例 4】 如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点。(1)证明：PB平面AEC；(2)设二面角DAEC为 60，AP1，AD，求三棱锥EACD的体积。3【解析】 (1)证明：连接BD，设AC与BD的交点为G，则G为AC，BD的中点，连接EG。在三角形PBD中，中位线EGPB，且EG在平面AEC内，PB平面AEC，所以PB平面AEC。(2)设CDm，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y

17、，z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，D(0， ，0)，E，C(m， ，0)。3(0，32，12)3所以(0， ，0)，AD3AE(0，32，12)(m， ，0)。AC3设平面ADE的法向量为n n1(x1，y1，z1)，则n n10，n n10，ADAE解得一个n n1(1,0,0)。同理设平面ACE的法向量为n n2(x2，y2，z2)，则n n20，n n20，ACAE解得一个n n2(，m，m)。33因为 cos60|cosn n1，n n2| ，解得m 。|n n1n n2| |n n1|n n2|33m23m21 23 2- 15 -设F为AD的中点，连接EF，则PAEF，

18、且EF ，EF平面ACD，AP 21 2所以EF为三棱锥EACD的高。所以VEACD SACDEF 。1 31 31 23 231 238所以三棱锥EACD的体积为。38【答案】 (1)见解析 (2)38反思归纳 1.利用向量法计算二面角大小的常用方法(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小。(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小。2已知二面角大小求值的技巧建立恰当的空间直角坐标系，将两平面的法

19、向量用与待求相关的参数(字母)表示，利用两向量的夹角公式构建方程或不等式或函数，进而求解。【变式训练】 (2016安徽师大附中联考)如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，DAB90，ABCD，ADCD2AB，E，F分别为PC，DC的中点。(1)证明：AB平面BEF；(2)设PAkAB(k0)，且二面角EBDC的平面角大于 45，求k的取值范围。【解析】 (1)证明：由题意易得DF綊AB，又DAB90，所以ABFD是矩形，从而ABBF。因为PA平面ABCD，所以平面PAD平面ABCD，- 16 -又ABAD，平面PAD平面ABCDAD，所以AB平面PAD，所以ABPD。在PDC中，因为E

20、，F分别为PC，CD的中点，所以EFPD，所以ABEF。因为EFBFF，所以AB平面BEF。(2)以A为原点，以AB，AD，AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AB的长为 1，则B(1,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0，k)，C(2,2,0)，所以E，所(1，1，k 2)以(1,2,0)，。BDBE(0，1，k 2)设平面CDB的法向量为m m1(0,0,1)，平面EBD的法向量为m m2(x，y，z)，则Error!所以Error!取y1，可得m m2。(2，1，2 k)设二面角EBDC的平面角为，由图可知为锐角，则 cos|cosm m1，m m2|

21、，则k或k0，4 52 552 55所以k。2 55【答案】 (1)见解析 (2)(2 55，)- 17 -微考场 新提升1.(2016广西联考)在如图所示的多面体CABED中，AB平面ACD，DE平面ACD，ABCD1，AC，ADDE2。3(1)在线段CE上取一点F，作BF平面ACD(只需指出F的位置，不需证明)；(2)对(1)中的点F，求直线BF与平面ADEB所成角的正弦值。解析 (1)取CE的中点F。连接BF，BF平面ACD(如图)。(2)由已知AC，CD1，AD2，AC2CD2AD2。ACCD。以C为原点，CD，CA3分别为x，y轴，过C垂直于平面ACD的直线为z轴，建立空间直角坐标系

22、。则A(0， ，0)，D(1,0,0)，B(0， ，1)，F。33(1 2，0，1)(1，0)，(0,0,1)，。AD3ABBF(1 2， 3，0)- 18 -设n n(x，y，z)是平面ADEB的法向量，则Error!即Error!可取n n(，1,0)。3故|cosn n|。BF|n nBF|n n|BF|3926BF与平面ADEB所成角的正弦值为。3926答案 (1)见解析 (2)39262.(2016山东高考)在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O的直径，FB是圆台的一条母线。(1)已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH平面ABC；(2)已知EFFBAC2，

23、ABBC，求二面角FBCA的余弦值。1 23- 19 -解析 (1)证明：设FC的中点为I，连接GI，HI，在CEF中，因为点G是CE的中点，所以GIEF。又EFOB，所以GIOB。在CFB中，因为H是FB的中点，所以HIBC。又HIGII，OBBCB，所以平面GHI平面ABC。因为GH平面GHI，所以GH平面ABC。(2)连接OO，则OO平面ABC。又ABBC，且AC是圆O的直径，所以BOAC。以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz。由题意得B(0,2，0)，C(2，0,0)。33过点F作FM垂直OB于点M，- 20 -所以FM3，FB2BM2可得F(0， ，3)。3故(2，2

24、，0)，(0，3)。BC33BF3设m m(x，y，z)是平面BCF的法向量，由Error!可得Error!可得平面BCF的一个法向量m m。(1，1，33)因为平面ABC的一个法向量n n(0,0,1)，所以 cosm m，n n。m mn n |m m|n n|77所以二面角FBCA的余弦值为。77答案 (1)见解析 (2)77第二课时第二课时 立体几何的热点问题立体几何的热点问题微考点 大课堂考点一 平面图形的翻折问题【典例 1】 (2015陕西高考)如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，BAD，ABBC1，AD2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点。将ABE 2沿BE折起到A1BE的

25、位置，如图。- 21 -(1)证明：CD平面A1OC；(2)若平面A1BE平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值。【解析】 (1)证明：在题图中，因为ABBC1，AD2，E是AD的中点，BAD， 2所以BEAC。即在题图中，BEOA1，BEOC，从而BE平面A1OC。又CDBE，所以CD平面A1OC。(2)由已知，平面A1BE平面BCDE，又由(1)知，BEOA1，BEOC，所以A1OC为二面角A1BEC的平面角，所以A1OC。 2如图，以O为原点， ， ，为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系Oxyz，OBOCOA1因为A1BA1EBCED1，BCED，所以B，E，(22

26、，0，0)(22，0，0)A1，C，(0，0，22)(0，22，0)得，BC(22，22，0)A1C(0，22，22)(，0,0)。CDBE2- 22 -设平面A1BC的法向量n n1(x1，y1，z1)，平面A1CD的法向量n n2(x2，y2，z2)，平面A1BC与平面A1CD的夹角为，则Error!得Error!取n n1(1,1,1)；Error!得Error!取n n2(0,1,1)，从而 cos|cosn n1，n n2|，23 263即平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值为。63【答案】 (1)见解析 (2)63反思归纳 平面图形的翻折问题，关键是弄清翻折前后图形中线面位置关系

27、和度量关系的变化情况。一般地翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化。【变式训练】 (2016贵州适应性考试)已知长方形ABCD中，AB1，AD。现将长2方形沿对角线BD折起，使ACa，得到一个四面体ABCD，如图所示。(1)试问：在折叠的过程中，异面直线AB与CD，AD与BC能否垂直？若能垂直，求出相应的a值；若不垂直，请说明理由。(2)当四面体ABCD的体积最大时，求二面角ACDB的余弦值。【解析】 (1)若ABCD，因为ABAD，ADCDD，所以AB平面ACD，所以ABAC。即AB2a2BC2，即 12a2()2，所以a1。2若ADBC，因为ADAB，所以A

28、D平面ABC，所以ADAC。即AD2a2CD2，即()2a212，2所以a21，无解。- 23 -故ADBC不成立。(2)因为BCD的面积为定值，22所以要使四面体ABCD的体积最大只需三棱锥ABCD的高最大即可，此时平面ABD平面BCD，过点A作AOBD于点O，则AO平面BCD，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz(如图)，则易知A，C，D，(0，0，63)(63，33，0)(0，2 33，0)显然，平面BCD的一个法向量为。OA(0，0，63)设平面ACD的法向量为n n(x，y，z)。因为，CD(63，33，0)DA(0，2 33，63)所以Error!令y，得n n(1， ，2)。22

29、故二面角ACDB的余弦值为|cos，n n|。OA|2 6363124|2 77【答案】 (1)ABCD，a1；ADBC不成立(2)2 77考点二 立体几何中的探索性问题多维探究角度一：条件追溯型- 24 -【典例 2】 如图，在四棱锥PABCD中，平面PAC平面ABCD，且PAAC，PAAD2。四边形ABCD满足BCAD，ABAD，ABBC1。点E，F分别为侧棱PB，PC上的点，且。PE PBPF PC(1)求证：EF平面PAD；(2)当 时，求异面直线BF与CD所成角的余弦值；1 2(3)是否存在实数，使得平面AFD平面PCD？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由。【解析】 (1)证明

30、：由已知，所以EFBC。因为BCAD，所以EFAD。PE PBPF PC而EF平面PAD，AD平面PAD，所以EF平面PAD。(2)因为平面ABCD平面PAC，平面ABCD平面PACAC，且PAAC，所以PA平面ABCD。则PAAB，PAAD。又ABAD，故PA，AB，AD两两垂直。建立如图所示空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)。当 时，F为PC中点，1 2故F，(1,1,0)。(1 2，1 2，1)BF(1 2，1 2，1)CD- 25 -设异面直线BF与CD所成的角为，则 cos|cos， |BFCD，|(1 2，1

31、2，1)1，1，0|1 41 41 233故异面直线BF与CD所成角的余弦值为。33(3)设F(x0，y0，z0)，则(x0，y0，z02)，(1,1，2)。由已知，即PFPCPFPC(x0，y0，z02)(1,1，2)，所以Error!(，22)。AF设平面AFD的一个法向量为n n1(x1，y1，z1)，因为(0,2,0)，所以Error!AD即Error!令z1，得n n1(22,0，)。设平面PCD的一个法向量为n n2(x2，y2，z2)，因为(0,2，2)，(1,1,0)，PDCD所以Error!即Error!令x21，则n n2(1,1,1)。若平面AFD平面PCD，则n n1n

32、 n20，所以(22)0，解得 。2 3所以当 时，平面AFD平面PCD。2 3- 26 -【答案】 (1)见解析 (2) (3)存在 332 3反思归纳 解决立体几何中的条件追溯型问题的基本策略是执果索因。其结论明确，需要求出使结论成立的充分条件，可将题设和结论都视为已知条件，即可迅速找到切入点。这类题目要求考生变换思维方向，有利于培养考生的逆向思维能力。角度二：结论判断型【典例 3】 (2016山西质量检测)如图，在几何体ABCDEF中，ABCD，ADDCCB1，ABC60，四边形ACFE为矩形，FB，M，N分别为10EF，AB的中点。(1)求证：MN平面FCB；(2)若直线AF与平面FC

33、B所成的角为 30，则平面MAB与平面FCB所成角的余弦值是多少？【解析】 (1)证明：取BC的中点Q，连接NQ，FQ，则NQAC，NQAC。1 2又MFAC，MFAC，MFNQ，MFNQ，1 2则四边形MNQF为平行四边形，即MNFQ。FQ平面FCB，MN平面FCB，MN平面FCB。- 27 -(2)由ABCD，ADDCCB1，ABC60可得ACB90，AC，BC1，AB2。3四边形ACFE为矩形，AC平面FCB，则AFC为直线AF与平面FCB所成的角，即AFC30，FC3。FB，FCBC。则可建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz。10A(，0,0)，B(0,1,0)，M，3(32，0，3)

34、，。MA(32，0，3)MB(32，1，3)设m m(x，y，z)为平面MAB的法向量，则Error!即Error!取x2，3则m m(2，6,1)为平面MAB的一个法向量。3又n n(，0,0)为平面FCB的一个法向量，3cosm m，n n。m mn n |m m|n n|2 3 37 32 37【答案】 (1)见解析 (2)2 37反思归纳 立体几何中的结论探索型问题的基本特征是：给出一定的条件与设计方案，判断设计的方案是否符合条件要求。此类问题的难点是“阅读理解”和“整体设计”两个环- 28 -节，因此，应做到审得仔细、找得有法、推得有理、证得有力，整合过程无可辩驳。【变式训练】 (2

35、016四川高考)如图，在四棱锥PABCD中，ADBC，ADCPAB90，BCCDAD。E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的1 2角为 90。(1)在平面PAB内找一点M，使得直线CM平面PBE，并说明理由；(2)若二面角PCDA的大小为 45，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值。【解析】 (1)在梯形ABCD中，AB与CD不平行。延长AB，DC相交于点M(M平面PAB)，点M为所求的一个点。理由如下：由已知，BCED，且BCED。所以四边形BCDE是平行四边形。从而CMEB。又EB平面PBE，CM平面PBE，所以CM平面PBE。(说明：延长AP至点N，使得APPN，则所找的点可以是直线

36、MN上任意一点)- 29 -(2)由已知，CDPA，CDAD，PAADA，所以CD平面PAD。于是CDPD。从而PDA是二面角PCDA的平面角。所以PDA45。由PAAB，可得PA平面ABCD。设BC1，则在 RtPAD中，PAAD2。作AyAD，以A为原点，以，的方向分别为x轴，z轴的正方向，建立如图所示的ADAP空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，P(0,0,2)，C(2,1,0)，E(1,0,0)，所以(1,0，2)，(1,1,0)，PEEC(0,0,2)，AP设平面PCE的法向量为n n(x，y，z)，由Error!得Error!设x2，解得n n(2，2，1)。设直线PA与平

37、面PCE所成角为，则sin 。|n nAP|n n|AP|22 2222121 3所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为 。1 3【答案】 (1)延长AB，DC相交于点M，理由见解析 (2)1 3- 30 -考点三 立体几何中的最值问题【典例 4】 如图，在几何体ABCDEF中，ABCD，ADDCCB1，ABC60，四边形ACFE为矩形，平面ACFE平面ABCD，CF1。(1)求证：平面FBC平面ACFE；(2)点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为(90)，试求 cos的取值范围。【解析】 (1)证明：在四边形ABCD中，ABCD，ADDCCB1，ABC60，A

38、B2，AC2AB2BC22ABBCcos603，AB2AC2BC2，BCAC。平面ACFE平面ABCD，平面ACFE平面ABCDAC，BC平面ABC，BC平面ACFE。又BC平面FBC，平面FBC平面ACFE。(2)由(1)知AC，BC，FC两两垂直，则以A为坐标原点，分别以直线CA，CB，CF为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，令FM(0)，则C(0,0,0)，3A(，0,0)，B(0,1,0)，M(，0,1)，3(，1,0)，(，1,1)。AB3BM- 31 -设n n1(x，y，z)为平面MAB的法向量，由Error!，得Error!取x1，则n n1(1， ，)。33易知n

39、 n2(1,0,0)是平面FCB的一个法向量。cos|n n1n n2| |n n1|n n2|113 32。1 3240，当0 时，cos有最小值；377当时，cos有最大值 。31 2cos。77，12【答案】 (1)见解析 (2)77，12反思归纳 立体几何的最值问题关键是建立函数关系式，利用求最值的方法，如配方法、单调性法等解决。微考场 新提升1.如图，在四棱锥SABCD中，SA平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，ADBC，BAD90，且AB4，SA3。E，F分别为线段BC，SB上的一点(端点除外)，- 32 -满足，当实数的值为_时，AFE为直角。SF BFCE BE解析 因为SA

40、平面ABCD，BAD90，故可建立如图所示的空间直角坐标系Axyz。AB4，SA3，B(0,4,0)，S(0,0,3)。设BCm，则C(m,4,0)，。SF BFCE BESFFB()。AFASABAF()AF1 1ASAB- 33 -(0,4，3)，1 1F。(0，4 1，3 1)同理可得E，(m 1，4，0)。FE(m 1，4 1，3 1)，要使AFE为直角，FA(0，4 1，3 1)即0，FAFE则 00，m 14 14 13 13 1169，解得。9 16答案 9 162如图，在 RtABC中，ABBC4，点E在线段AB上。过点E作EFBC交AC于点F，将AEF沿EF折起到PEF的位置

41、(点A与P重合)，使得PEB60。(1)求证：EFPB；(2)试问：当点E在线段AB上移动时，二面角PFCB的平面角的余弦值是否为定值？若是，求出其定值；若不是，说明理由。解析 (1)证明：在 RtABC中，EFBC，EFAB，EFEB，EFEP。又EBEPE，EB，EP平面PEB，EF平面PEB。- 34 -又PB平面PEB，EFPB。(2)在平面PEB内，过点P作PDBE于点D，由(1)知EF平面PEB，EFPD，又BEEFE，BE，EF平面BCFE，PD平面BCFE。在平面PEB内过点B作直线BHPD，则BH平面BCFE。如图所示，以B为坐标原点， ， ，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正

42、方向建立空BCBEBH间直角坐标系。设PEx(0x4)，又ABBC4，BE4x，EFx。在 RtPED中，PED60，PDx，DEx，321 2BD4xx4x，1 23 2C(4,0,0)，F(x,4x,0)，P。(0，43 2x，32x)从而(x4,4x,0)，。CFCP(4，43 2x，32x)设n n1(x0，y0，z0)是平面PCF的一个法向量，Error!即Error!Error!- 35 -取y01，得n n1(1,1，)是平面PFC的一个法向量。3又平面BFC的一个法向量为n n2(0,0,1)，设二面角PFCB的平面角为，则 cos|cosn n1，n n2|。|n n1n n2 |n n1|n n2|155因此当点E在线段AB上移动时，二面角PFCB的平面角的余弦值为定值，且定值为。155答案 (1)见解析 (2)余弦值为定值155