高考数学一轮复习第7章立体几何第5讲直线平面垂直的判定及性质学案.doc

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1、1 / 16【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第精选高考数学一轮复习第 7 7 章立体几何章立体几何第第 5 5 讲直线平面垂直的判定及性质学案讲直线平面垂直的判定及性质学案板块一 知识梳理自主学习必备知识考点 1 直线与平面垂直1直线和平面垂直的定义直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直，就说直线 l 与平面 互相垂直2直线与平面垂直的判定定理3直线与平面垂直的性质定理考点 2 平面与平面垂直1平面与平面垂直的判定定理2平面与平面垂直的性质定理必会结论直线与平面垂直的五个结论(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线(2)若两条平行线中的一条垂直

2、于一个平面，则另一条也垂直于这个平面(3)垂直于同一条直线的两个平面平行(4)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直(5)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直考点自测 1判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”)(1)垂直于同一个平面的两平面平行( )(2)若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线平行( )2 / 16(3)若平面 内的一条直线垂直于平面 内的无数条直线，则.( )(4)二面角是指两个相交平面构成的图形( )(5)若两个平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面( )答案 (1) (2) (3) (4) (5)22018浙江模拟设 m，n 是两条不同的

3、直线， 是两个不同的平面，下列命题正确的是( )A若 mn，n，则 mB若 m，则 mC若 m，n，n，则 mD若 mn，n，则 m答案 C解析 对于选项 A，B，D，均能举出 m 的反例；对于选项C，若 m，n，则 mn，又 n，m.故选 C.3课本改编若 m，n 是两条不同的直线， 是三个不同的平面，则下列命题正确的是( )A若 m，则 mB若 m，n，mn，则 C若 m，m，则 D若 ，则 答案 C解析 A 中 m 与 的位置关系不确定，故错误；B 中 ， 可能平行或相交，故错误；由面面垂直的判定定理可知 C 正确；D 中， 平行或相交 ，所以 D 错误故选 C.4在如图所示的四个正方体

4、中，能得出 ABCD 的是( )答案 A解析 A 中，CDAB；B 中，AB 与 CD 成 60角；C 中，AB 与CD 成 45角；D 中，AB 与 CD 夹角的正切值为.故选 A.3 / 16板块二 典例探究考向突破考向 有关垂直关系的判断 例 1 2017广州模拟设 m，n 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A若 ，m，n，则 mnB若 m，mn，n，则 C若 mn，m，n，则 D若 ，m，n，则 mn答案 B解析 若 ，m，n，则 m 与 n 相交、平行或异面，故 A 错误；m，mn，n，又n，故 B 正确；若 mn，m，n，则 与 的位置关系不确定，故 C

5、错误；若 ，m，n，则 mn 或 m，n 异面，故 D 错误故选 B.触类旁通判断垂直关系需注意的问题(1)作图要熟练，借助几何图形来说明线面关系要做到作图快、准(2)善于寻找反例，若存在反例，结论就被驳倒了(3)要思考完整，反复验证所有可能的情况，必要时要运用判定或性质定理进行简单说明【变式训练 1】 2018北京东城模拟已知 m 和 n 是两条不同的直线， 和 是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出 m 的是( )A，且 m Bmn，且 nC，且 m Dmn，且 n4 / 16答案 B解析 因为 ，m，则 m， 的位置关系不确定，可能平行、相交、m 在 面内，故 A 错误；由线

6、面垂直的性质定理可知B 正确；若 ，m，则 m， 的位置关系也不确定，故 C 错误；若 mn，n，则 m， 的位置关系也不确定，故 D 错误故选 B.考向 直线与平面垂直的判定与性质 命题角度 1 利用线线垂直证明线面垂直例 2 2018湖北宜昌模拟在正三棱柱 ABCA1B1C1 中，BCBB1，E，F，M 分别为 A1C1，AB1，BC 的中点2(1)求证：EF平面 BB1C1C；(2)求证：EF平面 AB1M.证明 (1)连接 A1B，BC1.因为 E，F 分别为 A1C1，AB1 的中点，所以 F 为 A1B 的中点，所以 EFBC1.因为 BC1平面 BB1C1C，EF平面 BB1C1

7、C，所以 EF平面 BB1C1C.(2)在矩形 BCC1B1，BCBB1，所以 tanCBC1，tanB1MB.所以 tanCBC1tanB1MB1.所以CBC1B1MB.所以 BC1B1M.因为 EFBC1，所以 EFB1M.在正三棱柱 ABCA1B1C1 中，底面 ABC平面 BB1C1C.因为 M 为 BC 的中点，ABAC，所以 AMBC.因为平面 ABC平面 BB1C1CBC，所以 AM平面 BB1C1C.因为 BC1平面 BB1C1C，所以 AMBC15 / 16因为 EFBC1，所以 EFAM.又因为 AMB1MM，AM平面 AB1M，B1M平面 AB1M，所以EF平面 AB1M

8、.命题角度 2 利用线面垂直证明线线垂直例 3 2017江苏高考如图，在三棱锥 ABCD 中，ABAD，BCBD，平面 ABD平面 BCD，点 E，F(E 与 A，D 不重合)分别在棱 AD，BD 上，且 EFAD.求证：(1)EF平面 ABC；(2)ADAC.证明 (1)在平面 ABD 内，因为 ABAD，EFAD，所以 EFAB.又因为 EF平面 ABC，AB平面 ABC，所以 EF平面 ABC.(2)因为平面 ABD平面 BCD，平面 ABD平面 BCDBD，BC平面 BCD，BCBD，所以 BC平面 ABD.因为 AD平面 ABD，所以 BCAD.又 ABAD，BCABB，AB平面 A

9、BC，BC平面 ABC，所以 AD平面 ABC.又因为 AC平面 ABC，所以 ADAC.触类旁通证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明直线和平面垂直的常用方法有：判定定理；垂直于平面的传递性(ab，ab)；面面平行的性质(a，a)；面面垂直的性质(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质6 / 16考向 面面垂直的判定与性质 例 4 2017全国卷如图，在四棱锥 PABCD 中，ABCD，且BAPCDP90.(1)证明：平面 PAB平面 PAD；(2)若 PAPDABDC，APD90，且四棱锥 PABCD 的体积为，求该四棱锥的侧面积解 (1)证明：由已知BA

10、PCDP90，得 ABAP，CDPD.由于 ABCD，故 ABPD，从而 AB平面 PAD.又 AB平面 PAB，所以平面 PAB平面 PAD.(2)如图，在平面 PAD 内作 PEAD，垂足为 E.由(1)知，AB平面 PAD，故 ABPE，ABAD，可得 PE平面 ABCD.设 ABx，则由已知可得 ADx，PEx.故四棱锥 PABCD 的体积VPABCDABADPEx3.由题设得 x3，故 x2.从而结合已知可得PAPDABDC2，ADBC2，PBPC2.可得四棱锥 PABCD 的侧面积为PAPDPAABPDDCBC2sin6062.1 2触类旁通判定面面垂直的方法(1)面面垂直的定义；

11、(2)面面垂直的判定定理(a，a)【变式训练 2】 如图，正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在的平面互相垂直，ABCD，ABBC，DCBCAB1，点 M 在线段 EC 上7 / 16(1)证明：平面 BDM平面 ADEF；(2)若 AE平面 MDB，求三棱锥 EBDM 的体积解 (1)证明：DCBC1，DCBC，BD.在梯形 ABCD 中，AD，AB2，AD2BD2AB2，ADB90.ADBD.又平面 ADEF平面 ABCD，平面 ADEF平面 ABCDAD，BD平面 ADEF.又 BD平面 BDM，平面 BDM平面 ADEF.(2)如图，连接 AC，ACBDO，连接 MO，平面 EAC平

12、面 MBDMO，AE平面 MDB，AE平面 EAC，AEOM.又 ABCD，2，SEDMSEDC1.ADEF 为正方形，EDAD.又平面 ADEF平面 ADCB，ED平面 ABCD，BC平面 ABCD，DEBC.ABCD，ABBC，BCCD.又 EDDCD，BC平面 EDC.VEBDMVBEDMSEDMBC1.核心规律转化思想：垂直关系的转化在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决满分策略8 / 161.在用线面垂直的判定定理证明线面垂直时，考生易忽视说明平面内的两条直线相交，而导致被扣分，这一点在证明中要注意口诀：线不在多，重在相交

13、2.面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可.板块三 启智培优破译高考题型技法系列 12等体积法求点到平面的距离2018内蒙古模拟如图，在直三棱柱 ABCDEF 中，底面ABC 的棱 ABBC，且 ABBC2.点 G，H 在侧棱 CF 上，且CHHGGF1.(1)证明：EH平面 ABG；(2)求点 C 到平面 ABG 的距离解题视点 (1)证明直线与平面垂直的常用方法为证明直线与平面内的两条相交直线都垂直；(2)等体积法是求解点到平面的距离的常用方法解 (1)证明：ABCDEF 是直三棱柱，FC平面 AB

14、C，而 AB平面 ABC，FCAB.又ABBC，BCFCC.AB平面 BCFE，又EH平面 BCFE，ABEH.由题设知EFH 与BCG 均为直角三角形，EF2FH，BC2CG，EHF45，BGC45.设 BGEHP，则GPH90，即 EHBG.又 ABBGB，EH平面 ABG.(2)ABBC2，ABBC，SABCABBC2.9 / 16CG平面 ABC，VGABCSABCCG.由(1)知 ABBG，CG2BC，BG2，SABGABBG2.设点 C 到平面 ABG 的距离为 h，则VCABGSABGhhVGABC，h.即点 C 到平面 ABG 的距离为.答题启示 1 证明线面垂直的核心是证线线

15、垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质；2 用等体积法求点到平面距离时，通过换顶点和底面转化为底面积和高易求的锥体体积是关键.跟踪训练已知三棱锥 ABCD 中，ABC 是等腰直角三角形，且ACBC，BC2，AD平面 BCD，AD1.(1)求证：平面 ABC平面 ACD；(2)若 E 为 AB 的中点，求点 A 到平面 CED 的距离解 (1)证明：因为 AD平面 BCD，BC平面 BCD，所以ADBC，又因为 ACBC，ACADA，所以 BC平面 ACD，BC平面ABC，所以平面 ABC平面 ACD.(2)由已知可得 CD，取 CD 中点为 F，连接 EF，由于EDECAB，所以ECD 为

16、等腰三角形，从而 EF，SECD，由(1)知 BC平面 ACD，所以 E 到平面 ACD 的距离为 1，SACD，令 A 到平面 CED 的距离为 d，有 VAECDSECDdVEACDSACD1，解得 d.10 / 16板块四 模拟演练提能增分A 级 基础达标12016浙江高考已知互相垂直的平面 ， 交于直线 l.若直线 m，n 满足 m，n，则( )Aml Bmn Cnl Dmn答案 C解析 l，l，n，nl.故选 C.22015福建高考若 l，m 是两条不同的直线，m 垂直于平面 ，则“lm”是“l”的( )B必要而不充分条件A充分而不必要条件 D既不充分也不必要条件C充分必要条件 答案

17、 B解析 由“m 且 lm”推出“l 或 l” ，但由“m 且 l”可推出“lm” ，所以“lm”是“l”的必要而不充分条件，故选 B.32017天津河西模拟设 l 是直线， 是两个不同的平面，则下列说法正确的是( )A若 l，l，则 B若 l，l，则C若 ，l，则 l D若 ，l，则l答案 B解析 对于 A，若 l，l，则 或 与 相交，故 A 错误；易知 B 正确；对于 C，若 ，l，则 l 或l，故 C 错误；对于 D，若 ，l，则 l 与 的位置关系不确定，故 D 错误故选 B.4.2018济南模拟已知如图，六棱锥 PABCDEF 的底面是正六边形，PA平面 ABCDEF.则下列结论不

18、正确的是( )ACD平面 PAF11 / 16BDF平面 PAFCCF平面 PABDCF平面 PAD答案 D解析 A 中，因为 CDAF，AF平面 PAF，CD平面 PAF，所以CD平面 PAF 成立；B 中，因为 ABCDEF 为正六边形，所以 DFAF，又因为 PA平面 ABCDEF，所以 PADF，又因为 PAAFA，所以 DF平面 PAF 成立；C 中，因为 CFAB，AB平面 PAB，CF平面 PAB，所以 CF平面 PAB；而 D 中 CF 与 AD 不垂直故选 D.5已知 m，n 为异面直线，m平面 ，n平面 .直线 l 满足 lm，ln，l，l，则( )A 且 lB 且 lC

19、与 相交，且交线垂直于 lD 与 相交，且交线平行于 l答案 D解析 若 ，则 mn，这与 m、n 为异面直线矛盾，所以A 不正确， 与 相交将已知条件转化到正方体中，易知 与 不一定垂直，但 与 的交线一定平行于 l，从而排除 B，C.故选 D.6已知 P 为ABC 所在平面外一点，且 PA，PB，PC 两两垂直，则下列命题：PABC；PBAC；PCAB；ABBC.其中正确的个数是_答案 3解析 如图所示PAPC，PAPB，PCPBP，PA平面PBC.12 / 16又BC平面 PBC，PABC.同理 PBAC，PCAB.但 AB 不一定垂直于 BC.7设 a，b 为不重合的两条直线， 为不重

20、合的两个平面，给出下列命题：若 a，b，且 ，则 ab；若 a，且 a，则 ；若 ，则一定存在平面 ，使得 ，；若 ，则一定存在直线 l，使得 l，l.上面命题中，所有真命题的序号是_答案 解析 中 a 与 b 可能相交或异面，故不正确垂直于同一直线的两平面平行，正确中存在 ，使得 与 ， 都垂直中只需直线 l 且 l 就可以8.2018广东模拟如图，在三棱锥 DABC 中，若ABCB，ADCD，E 是 AC 的中点，则下列命题中正确的有_(写出全部正确命题的序号)平面 ABC平面 ABD；平面 ABD平面 BCD；平面 ABC平面 BDE，且平面 ACD平面 BDE；平面 ABC平面 ACD

21、，且平面 ACD平面 BDE.答案 解析 由 ABCB，ADCD 知 ACDE，ACBE，从而 AC平面BDE，故正确9.如图所示，在四棱锥 PABCD 中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E 是 PC 的中点求证：(1)CDAE；(2)PD平面 ABE.证明 (1)PA底面 ABCD，CD平面 ABCD，13 / 16CDPA.又 CDAC，PAACA，故 CD平面 PAC，AE平面 PAC.故 CDAE.(2)PAABBC，ABC60，故 PAAC.E 是 PC 的中点，故 AEPC.由(1)知 CDAE，由于 PCCDC，从而 AE平面 PCD，故 AEP

22、D.易知 BAPD，故 PD平面 ABE.10.2018湖南永州模拟如图，四棱锥 SABCD 中，ABCD，BCCD，侧面 SAB 为等边三角形，ABBC2，CDSD1.(1)证明：SD平面 SAB；(2)求四棱锥 SABCD 的高解 (1)证明：如图，取 AB 的中点 E，连接 DE，DB，则四边形 BCDE 为矩形，DECB2，ADBD.侧面 SAB 为等边三角形，AB2，SASBAB2.又 SD1，SA2SD2AD2，SB2SD2BD2，DSADSB90，即 SDSA，SDSB，SASBS，SD平面 SAB.(2)设四棱锥 SABCD 的高为 h，则 h 也是三棱锥 SABD 的高由(1

23、)，知 SD平面 SAB.由 VSABDVDSAB，得 SABDhSSABSD，h.又 SABDABDE222，14 / 16SSABAB222，SD1，h.故四棱锥 SABCD 的高为.B 级 知能提升12018青岛质检设 a，b 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则能得出 ab 的是( )Ba，b，Aa，b， Da，b，Ca，b， 答案 C解析 对于 C 项，由 ，a 可得 a，又 b，得ab.故选 C.22018河北唐山模拟如图，在正方形 ABCD 中，E，F 分别是 BC，CD 的中点，G 是 EF 的中点，现在沿 AE，AF 及 EF 把这个正方形折成一个空间图形，使 B，C，D

24、 三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有( )BAH平面 EFHA.AG平面 EFH DHG平面 AEFCHF平面 AEF 答案 B解析 根据折叠前、后 AHHE，AHHF 不变，AH平面 EFH，B 正确；过 A 只有一条直线与平面 EFH 垂直，A 不正确；AGEF，EFGH，AGGHG，EF平面 HAG，又EF平面 AEF，平面 HAG平面 AEF，过 H 作直线垂直于平面AEF，一定在平面 HAG 内，C 不正确；由条件证不出 HG平面AEF，D 不正确故选 B.3.如图，PAO 所在平面，AB 是O 的直径，C 是O 上一点，AEPC，AFPB，给出下列结论：AEBC

25、；EFPB；AFBC；AE平面 PBC，其中真命题的序号是_答案 15 / 16解析 AE平面 PAC，BCAC，BCPAAEBC，故正确；AEPC，AEBCAE平面 PBC，PB平面PBCAEPB，AFPB，EF平面 AEFEFPB，故正确；若AFBCAF平面 PBC，则 AFAE 与已知矛盾，故错误；由可知正确42018江西九江模拟如图，在几何体 ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，BE平面 ABCD，DFBE，且 DF2BE2，EF3.(1)证明：平面 ACF平面 BEFD.(2)若 cosBAD，求几何体 ABCDEF 的体积解 (1)证明：四边形 ABCD 是菱形，ACBD，B

26、E平面 ABCD，AC平面 ABCD，BEAC.AC平面 BEFD，AC平面 ACF.平面 ACF平面 BEFD.(2)设 AC 与 BD 的交点为 O，ABa(a0)，由(1)得 AC平面 BEFD，BE平面 ABCD，BEBD，DFBE，DFBD，BD2EF2(DFBE)28，BD2，S 四边形 BEFD(BEDF)BD3，cosBAD，BD2AB2AD22ABADcosBADa28，a，OA2AB2OB23，OA，VABCDEF2VABEFDS 四边形 BEFDOA2.52017全国卷如图，四面体 ABCD 中，ABC 是正三角形，ADCD.(1)证明：ACBD；16 / 16(2)已知

27、ACD 是直角三角形，ABBD，若 E 为棱 BD 上与 D 不重合的点，且 AEEC，求四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积比解 (1)证明：如图，取 AC 的中点 O，连接 DO，BO.因为 ADCD，所以 ACDO.又由于ABC 是正三角形，所以 ACBO.从而 AC平面 DOB，又 BD平面 DOB，故 ACBD.(2)连接 EO.由(1)及题设知ADC90，所以 DOAO.在 RtAOB 中，BO2AO2AB2.又 ABBD，所以 BO2DO2BO2AO2AB2BD2，故DOB90.由题设知AEC 为直角三角形，所以 EOAC.又ABC 是正三角形，且 ABBD，所以 EOBD.故 E 为 BD 的中点，从而 E 到平面 ABC 的距离为 D 到平面 ABC 的距离的，四面体 ABCE 的体积为四面体 ABCD 的体积的，即四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积之比为 11.