高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9-9圆锥曲线的综合问题第3课时定点定值探索性问题教师用书理苏教.doc

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1、1 / 14【2019【2019 最新最新】精选高考数学大一轮复习第九章平面解析几何精选高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9-99-9 圆锥曲线的综合问题第圆锥曲线的综合问题第 3 3 课时定点定值探索性问题教师课时定点定值探索性问题教师用书理苏教用书理苏教题型一 定点问题例 1 (2016镇江模拟)已知椭圆1(a0，b0)过点(0,1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列直线 l 与 x 轴正半轴和y 轴分别交于点 Q、P，与椭圆分别交于点 M、N，各点均不重合且满足1，2.(1)求椭圆的标准方程；(2)若 123，试证明：直线 l 过定点并求此定点(1)解 设椭圆的焦距为 2c，

2、由题意知 b1，且(2a)2(2b)22(2c)2，又 a2b2c2，a23.椭圆的方程为y21.(2)证明 由题意设 P(0，m)，Q(x0,0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，设 l 方程为 xt(ym)，由1 知(x1，y1m)1(x0x1，y1)，y1my11，由题意 y10，11.同理由2 知 21.123，y1y2m(y1y2)0，联立得(t23)y22mt2yt2m230，由题意知 4m2t44(t23)(t2m23)0，且有 y1y2，y1y2，2 / 14将代入得 t2m232m2t20，(mt)21，由题意 mtb0)，焦点 F(c,0)，因为，将点 B(c，)的坐标

3、代入方程得1.由结合 a2b2c2，得 a，b1.故所求椭圆方程为y21.(2)由得(2t2)y22ty220.因为 l 为切线，所以 (2t)24(t22)(22)0，即 t2220.设圆与 x 轴的交点为 T(x0,0)，3 / 14则(x0，y1)，(x0，y2)因为 MN 为圆的直径，故x2y1y20.当 t0 时，不符合题意，故 t0.因为 y1，y2，所以 y1y2，代入结合得TMx2 02t222 t2，要使上式为零，当且仅当 x1，解得 x01.所以 T 为定点，故动圆过 x 轴上的定点(1,0)与(1,0)，即椭圆的两个焦点题型二 定值问题例 2 如图，已知椭圆 C：1，点

4、B 是其下顶点，过点 B 的直线交椭圆 C 于另一点 A(点 A 在 x 轴下方)，且线段 AB 的中点 E 在直线yx 上(1)求直线 AB 的方程；(2)若点 P 为椭圆 C 上异于 A，B 的动点，且直线 AP，BP 分别交直线yx 于点 M，N，证明：OMON 为定值(1)解 由已知得 B(0，2)设 E(，)，则 A(2，22)把 A 的坐标代入椭圆方程，得(1)21，2 3即 220.则 (0 舍去)，得 A(3，1)4 / 14由 kAB，得直线 AB 的方程为 yx2，即 x3y60.(2)证明 设 M(m，m)，N(n，n)，P(x0，y0)，则 x3y12.由 A，P，M

5、共线，即，得(x03)(m1)(y01)(m3)，则 m.由 B，P，N 共线，即，得 x0(n2)(y02)n，则 n.所以 mn2x2 06x0y0 x2 02x0y0y2 042x2 06x0y0x2 02x0y013x2 03.从而 OMON|m|n|6 为定值思维升华 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值(2)求点到直线的距离为定值利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得(3)求某线段长度为定值利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得(20

6、16扬州模拟)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点F(，0)，直线 l：x，点 P 在直线 l 上移动，R 是线段 PF 与 y 轴的交点，RQFP，PQl.(1)求动点 Q 的轨迹 C 的方程；5 / 14(2)设圆 M 过 A(1,0)，且圆心 M 在曲线 C 上，TS 是圆 M 在 y 轴上截得的弦，当 M 运动时，弦长 TS 是否为定值？请说明理由解 (1)依题意知，点 R 是线段 FP 的中点，且 RQFP，RQ 是线段 FP 的垂直平分线点 Q 在线段 FP 的垂直平分线上，PQQF，又 PQ 是点 Q 到直线 l 的距离，故动点 Q 的轨迹是以 F 为焦点，l 为准线的抛物线，

7、其方程为y22x(x0)(2)弦长 TS 为定值理由如下：取曲线 C 上点 M(x0，y0)，M 到 y 轴的距离为 d|x0|x0，圆的半径 rMA，则 TS22，点 M 在曲线 C 上，x0，TS22 是定值题型三 探索性问题例 3 (2015四川)如图，椭圆 E：1(ab0)的离心率是，点P(0,1)在短轴 CD 上，且1.(1)求椭圆 E 的方程；(2)设 O 为坐标原点，过点 P 的动直线与椭圆交于 A，B 两点是否存在常数 ，使得为定值？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由解 (1)由已知，点 C，D 的坐标分别为(0，b)，(0，b)，又点 P 的坐标为(0,1)，且1，于是解

8、得 a2，b，所以椭圆 E 的方程为1.6 / 14(2)当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 ykx1，A，B 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)联立得(2k21)x24kx20，其判别式 (4k)28(2k21)0，所以 x1x2，x1x2，从而，PBx1x2y1y2x1x2(y11)(y21)(1)(1k2)x1x2k(x1x2)124k221 2k212.所以当 1 时，23，此时3 为定值当直线 AB 斜率不存在时，直线 AB 即为直线 CD，此时，213.故存在常数 1，使得为定值3.思维升华 解决探索性问题的注意事项探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论

9、，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方法(2016苏锡常镇四市调研)在平面直角坐标系 xOy 中，已7 / 14知椭圆 C：1 (ab0)的左，右焦点分别为 F1，F2，右顶点，上顶点分别为 A，B，原点 O 到直线 AB 的距离等于 ab.(1)若椭圆 C 的离心率等于，求椭圆 C 的方程；(2)若过点(0,1)的直线 l 与椭圆有且只有一个公共点 P，且 P 在第二象限，直线 PF2 交 y 轴于点 Q.试判断以 P

10、Q 为直径的圆与点 F1 的位置关系，并说明理由解 (1)由题意，得点 A(a,0)，B(0，b)，直线 AB 的方程为1，即 bxayab0.由题设，得ab，化简得 a2b21.e，即 a23b2.由，解得Error!椭圆 C 的方程为4y21.(2)点 F1 在以 PQ 为直径的圆上由题设，直线 l 与椭圆相切且 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为ykx1，由Error!得(b2a2k2)x22ka2xa2a2b20，(*)则 (2ka2)24(b2a2k2)(a2a2b2)0，化简得 1b2a2k20，k21，点 P 在第二象限，k1.8 / 14把 k1 代入方程(*)，得 x22a

11、2xa40，解得 xa2，从而 yb2，P(a2，b2)从而直线 PF2 的方程为 yb2(xa2)，令 x0，得 y，Q(0，)从而(a2c，b2)，(c，)，又 a2b21，a2b2c2，从而c(a2c)b4c a2cca4b4c2 a2c0，0.点 F1 在以 PQ 为直径的圆上2323设而不求，整体代换设而不求，整体代换典例 (16 分)椭圆 C：1(ab0)的左、右焦点分别是 F1、F2，离心率为，过 F1 且垂直于 x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为 1.(1)求椭圆 C 的方程；(2)点 P 是椭圆 C 上除长轴端点外的任一点，连结 PF1，PF2，设F1PF2 的角平分线

12、PM 交 C 的长轴于点 M(m,0)，求 m 的取值范围；(3)在(2)的条件下，过点 P 作斜率为 k 的直线 l，使得 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，设直线 PF1、PF2 的斜率分别为 k1、k2，若k20，证明为定值，并求出这个定值思想方法指导 对题目涉及的变量巧妙地引进参数(如设动点坐标、动直线方程等)，利用题目的条件和圆锥曲线方程组成二元二次方程组，再化为一元二次方程，从而利用根与系数的关系进行整体代换，达到“设而不求，减少计算”的效果，直接得定值9 / 14规范解答解 (1)由于 c2a2b2，将 xc 代入椭圆方程1，得 y.由题意知1，即 a2b2.又 e，所以 a2

13、，b1.所以椭圆 C 的方程为y21.4 分(2)设 P(x0，y0)(y00)，又 F1(，0)，F2(，0)，所以直线 PF1，PF2 的方程分别为：y0x(x0)yy00， 1RFl：y0x(x0)yy00. 2RFl由题意知 .由于点 P 在椭圆上，所以y1.所以.8 分因为b0)的离心率为，且过点 A(0,1)(1)求椭圆的标准方程；(2)过点 A 作两条互相垂直的直线分别交椭圆于 M，N 两点求证：直线 MN 恒过定点 P(0，)(1)解 由题意知，e，b1，所以 a2c21，解得 a2，所以椭圆的标准方程为y21.(2)证明 设直线 l1 的方程为 ykx1.联立方程组Error

14、!得(4k21)x28kx0，解得 x1，x20，所以 xM，yM.同理可得 xN，yN.则 kMP，kNP，所以 kMPkNP，故直线 MN 恒过定点 P(0，)2(2016云南师范大学附属中学月考)已知椭圆 C 的焦点在 x 轴上，离心率等于，且过点(1，)(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，交 y 轴于点M，若1，2，求证：12 为定值(1)解 设椭圆 C 的方程为1(ab0)，Error!11 / 14a25，b21，椭圆 C 的标准方程为y21.(2)证明 设点 A，B，M 的坐标分别为 A(x1，y1)，B(x2，

15、y2)，M(0，y0)，点 F 的坐标为(2,0)显然直线 l 的斜率存在，设直线 l 的斜率为 k，则直线 l 的方程是 yk(x2)，联立Error!得(15k2)x220k2x20k250，x1x2，x1x2.又1，2，将各点坐标代入，得 1，2，12x2 2x22x1x22x1x2 42x1x2x1x2220k2 15k220k25 15k24220k2 15k220k25 15k210.故 12 为定值3椭圆 E：1(ab0)的离心率为，点(，)为椭圆上的一点(1)求椭圆 E 的标准方程；(2)若斜率为 k 的直线 l 过点 A(0,1)，且与椭圆 E 交于 C，D 两点，B为椭圆

16、E 的下顶点，求证：对于任意的 k，直线 BC，BD 的斜率之积为定值(1)解 因为 e，所以 ca，a2b2(a)2.又椭圆过点(，)，所以1.12 / 14由，解得 a26，b24，所以椭圆 E 的标准方程为1.(2)证明 设直线 l：ykx1，C(x1，y1)，D(x2，y2)，联立Error!得(3k22)x26kx90.x1x2，x1x2，易知 B(0，2)，故 kBCkBDy22 x2kx23 x2k2x1x23kx1x29 x1x2k29 x1x2k23k(3k22)2.所以对于任意的 k，直线 BC，BD 的斜率之积为定值4(2017江苏命题专家原创)已知椭圆 C：1 (ab0

17、)的左，右焦点分别为 F1，F2，椭圆 C 过点 M(0，)，且MF1F2 为正三角形(1)求椭圆 C 的方程；(2)垂直于 x 轴的直线与椭圆 C 交于 A，B 两点，过点 P(4，0)的直线PB 交椭圆 C 于另一点 E，证明：直线 AE 与 x 轴相交于定点(1)解 椭圆 C 过点 M(0，)，b，又MF1F2 为正三角形，且 MF1MF2a，a2，ca1，椭圆 C 的方程为1.(2)证明 由题意知，直线 PB 的斜率存在，且过点 P(4,0)13 / 14设直线 PB 的方程为 yk(x4)，B(x1，y1)，E(x2，y2)，则 A(x1，y1)由Error!得(34k2)x232k

18、2x64k2120，则 x1x2，x1x2，直线 AE 的方程为 yy2(xx2)，令 y0，得 xx2，将 y1k(x14)，y2k(x24)，代入式，得 x，将式代入式，整理得 x1.直线 AE 与 x 轴相交于定点(1,0)(2016南京模拟)已知半椭圆1(x0)与半椭圆1(xbc0.如图，设点F0，F1，F2 是相应椭圆的焦点，A1，A2 和 B1，B2 是“果圆”与x，y 轴的交点(1)若F0F1F2 是边长为 1 的等边三角形，求“果圆”的方程；(2)若 A1A2B1B2，求的取值范围；(3)一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦是否存在实数 k，使得斜率为 k 的直线交

19、果圆于两点，得到的弦的中点 M 的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有 k 的值；若不存在，说明理由解 (1)F0(c,0)，F1(0，)，F2(0，)，F0F2b1，F1F221，c2，a2b2c2，14 / 14所求“果圆”的方程为Error!(2)由题意，得 ac2b，即2ba，a2b2(2ba)2，得c2a2b2，.(，)(3)设“果圆”C 的方程为Error!记平行弦的斜率为 k，当 k0 时，直线 yt(btb)与半椭圆1(x0)的交点是 P(a ，t)，与半椭圆1(x0 时，过 B1 的直线 l 与半椭圆1(x0)的交点是(，)因此，在直线 l 右侧，以 k 为斜率的平行弦的中点为(，)，轨迹在直线 yx 上，即不在某一椭圆上当 k0 时，可类似讨论得到平行弦的中点的轨迹不在某一椭圆上