高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2-3函数的奇偶性与周期性教师用书.doc

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1、1 / 15【2019【2019 最新最新】精选高考数学大一轮复习第二章函数概念与精选高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数基本初等函数 I2-3I2-3 函数的奇偶性与周期性教师用书函数的奇偶性与周期性教师用书1函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称2.周期性(1)周期函数：对于函数 yf(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有

2、 f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期【知识拓展】1函数奇偶性常用结论(1)如果函数 f(x)是偶函数，那么 f(x)f(|x|)(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性(3)在公共定义域内有：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇2函数周期性常用结论对 f(x)定义域内任一自变量的值 x：(1)若 f(xa)f(x)，则 T2a(a0)2 / 15(2)若 f(xa)，则 T2a(a0)

3、(3)若 f(xa)，则 T2a(a0)【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点( )(2)若函数 yf(xa)是偶函数，则函数 yf(x)关于直线 xa 对称( )(3)函数 f(x)在定义域上满足 f(xa)f(x)，则 f(x)是周期为2a(a0)的周期函数( )(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件( )(5)若 T 是函数的一个周期，则 nT(nZ，n0)也是函数的周期( )1(教材改编)下列函数为偶函数的是( )Af(x)x1Bf(x)x2xCf(x)2x2xDf(x)2x2x答案 D解析 D 中

4、，f(x)2x2xf(x)，f(x)为偶函数2已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x4)f(x)，则 f(8)的值为( )A1 B0 C1 D2答案 B解析 f(x)为定义在 R 上的奇函数，f(0)0，3 / 15又 f(x4)f(x)，f(8)f(0)0.3(2016嘉兴教学测试一)已知奇函数 f(x)，当 x0 时，f(x)log2(x3)，则 f(1)_.答案 2解析 f(1)log2(13)2，又 f(x)为奇函数，f(1)f(1)2.4(教材改编)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)x(1x)，则当 x0，f(x)(x)(1x)又 f(x)为

5、奇函数，f(x)f(x)(x)(1x)，f(x)x(1x).题型一 判断函数的奇偶性例 1 (1)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )Ay Byx1 xCy2x Dyxex答案 D解析 选项 A 中的函数是偶函数；选项 B 中的函数是奇函数；选项C 中的函数是偶函数；选项 D 中的函数既不是奇函数也不是偶函数(2)判断函数 f(x)的奇偶性解 当 x0 时，x0，f(x)x2x，4 / 15f(x)(x)2xx2x(x2x)f(x)对于 x(，0)(0，)，均有 f(x)f(x)函数 f(x)为奇函数思维升华 (1)利用定义判断函数奇偶性的步骤(2)分段函数奇偶性的判断，要注意定义

6、域内 x 取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据 x 的范围取相应的解析式化简，判断 f(x)与f(x)的关系，得出结论，也可以利用图象作判断(1)(2016北京区模拟)下列函数中为偶函数的是( )Ay Bylg|x|Cy(x1)2 Dy2x(2)(2016余姚模拟)函数 g(x)为_函数(填“奇”或“偶”)，函数 f(x)1 的对称中心为_答案 (1)B (2)奇 (0,2)解析 (1)选项 B 中，函数 ylg|x|的定义域为x|x0且lg|x|lg|x|，所以函数 ylg|x|是偶函数(2)易知函数 g(x)为奇函数，图象关于原点对称，又 f(x)1g(x)2，所以函数 f(x)的对称中

7、心为(0,2)题型二 函数的周期性例 2 (1)(2016绍兴模拟)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，g(x)是定义在 R 上的奇函数，且 g(x)f(x1)，则 f(2 017)f(2 019)的值为( )A1 B1 C0 D无法计算(2)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，并且 f(x2)，当5 / 152x3 时，f(x)x，则 f(105.5)_.答案 (1)C (2)2.5解析 (1)由题意，得 g(x)f(x1)，又f(x)是定义在 R 上的偶函数，g(x)是定义在 R 上的奇函数，g(x)g(x)，f(x)f(x)，f(x1)f(x1)，f(x)f(x2)，f(x)f(

8、x4)，f(x)的周期为 4，f(2 017)f(1)，f(2 019)f(3)f(1)，又f(1)f(1)g(0)0，f(2 017)f(2 019)0.(2)由已知，可得 f(x4)f(x2)2f(x)故函数的周期为 4.f(105.5)f(4272.5)f(2.5)f(2.5)22.53，由题意，得 f(2.5)2.5.f(105.5)2.5.引申探究例 2(2)中，若将 f(x2)改为 f(x2)f(x)，其他条件不变，则 f(105.5)=_答案 2.5解 f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)，函数的周期为 4(下同例题)思维升华 函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质对函数

9、周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求6 / 15值定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x6)f(x)，当3x0 且1x0，由奇函数的性质可得 f(0)0.所以 lg(a2)0，即 a1，经检验 a1 满足函数的定义域(2)因为 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数，所以 ff 且 f(1)f(1)，故 ff，从而a1，即 3a2b2.由 f(1)f(1)，得a1，8 / 15即 b2a.由，得 a2，b4，从而 a3b10.思维升华 (1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题(2)掌握以下两个结

10、论，会给解题带来方便f(x)为偶函数f(x)f(|x|)；若奇函数在 x0 处有意义，则 f(0)0.(1)若 f(x)ln(e3x1)ax 是偶函数，则 a_.(2)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，则( )Af(25)0，f(x2)，对任意 xR 恒成立，则 f(2 019)等于( )A4 B3 C2 D1解析 因为 f(x)0，f(x2)，所以 f(x4)f(x2)21 fx2f(x)，即函数 f(x)的周期是 4，所以 f(2 019)f(50541)f(1)10 / 15因为函数 f(x)为偶函数，所以 f(2 019)f(1)f

11、(1)当 x1 时，f(12)，得 f(1).即 f(1)1，所以 f(2 019)f(1)1.答案 D三、抽象函数的单调性与不等式典例 3 设函数 f(x)是定义在(0，)上的增函数，且满足 f(xy)f(x)f(y)若 f(3)1，且 f(a)f(a1)2，求实数 a 的取值范围规范解答解 因为 f(xy)f(x)f(y)，且 f(3)1，所以 22f(3)f(3)f(3)f(9)又 f(a)f(a1)2，所以 f(a)f(a1)f(9)再由 f(xy)f(x)f(y)，可知 f(a)f9(a1)，因为 f(x)是定义在(0，)上的增函数，从而有解得 10 时，f(x)则f(f(16)等于

12、( )12 / 15A B C. D.32答案 C解析 由题意 f(16)f(16)log2164，故 f(f(16)f(4)f(4)cos .*6.(2016天津)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间(，0)上单调递增若实数 a 满足 f(2|a1|)f()，则 a 的取值范围是( )A. B.(3 2，)C. D.(3 2，)答案 C解析 因为 f(x)是定义在 R 上的偶函数且在区间(，0)上单调递增，所以 f(x)f(x)且 f(x)在(0，)上单调递减由f(2|a1|)f()，f()f()可得 2|a1|0 时，f(x)1，则当 x0 时，f(x)1，当 x0，f(x)1

13、f(x)，即 x0，所以 f(x)(x)22(x)x22x.又 f(x)为奇函数，所以 f(x)f(x)14 / 15于是 x0 时，f(x)x2mxx22x，所以 m2.(2)要使 f(x)在1，a2上单调递增，结合 f(x)的图象知Error!所以 1a3，故实数 a 的取值范围是(1,312设 f(x)是(，)上的奇函数，f(x2)f(x)，当0x1 时，f(x)x.(1)求 f()的值；(2)当4x4 时，求 f(x)的图象与 x 轴所围成图形的面积解 (1)由 f(x2)f(x)，得f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)，f(x)是以 4 为周期的周期函数f()f(14)f(4)f

14、(4)(4)4.(2)由 f(x)是奇函数与 f(x2)f(x)，得 f(x1)2f(x1)f(x1)，即 f(1x)f(1x)从而可知函数 yf(x)的图象关于直线 x1 对称又当 0x1 时，f(x)x，且 f(x)的图象关于原点成中心对称，则 f(x)的图象如图所示设当4x4 时，f(x)的图象与 x 轴围成的图形面积为 S，则 S4SOAB4(21)4.*13.函数 f(x)的定义域为 Dx|x0，且满足对于任意x1，x2D，有 f(x1x2)f(x1)f(x2)15 / 15(1)求 f(1)的值；(2)判断 f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果 f(4)1，f(x1)2，且 f(x)在(0，)上是增函数，求x 的取值范围解 (1)对于任意 x1，x2D，有 f(x1x2)f(x1)f(x2)，令 x1x21，得 f(1)2f(1)，f(1)0.(2)f(x)为偶函数证明：令 x1x21，则 f(1)f(1)f(1)，f(1)f(1)0.令 x11，x2x，则 f(x)f(1)f(x)，f(x)f(x)，f(x)为偶函数(3)依题设有 f(44)f(4)f(4)2，由(2)知，f(x)是偶函数，f(x1)2f(|x1|)f(16)又 f(x)在(0，)上是增函数，0|x1|16，解得15x17 且 x1，x 的取值范围是x|15x17 且 x1