高考数学大一轮复习第六章不等式推理与证明第二节一元二次不等式及其解法教师用书理.doc

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1、- 1 -第二节第二节 一元二次不等式及其解法一元二次不等式及其解法2017 考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图。2016，全国卷，1,5 分(一元二次不等式的解法)2015，天津卷，4,5 分(一元二次不等式的解法)2014，全国卷，1,5 分(一元二次不等式的解法)2014，全国卷，1,5 分(一元二次不等式的解法)一元二次不等式的解法，直接考查则常以较简单的选择题形式出现。若以其他形式出现则常常起一个辅助

2、作用，重点考查其他知识。微知识 小题练自|主|排|查- 2 -1一元二次不等式的特征一元二次不等式的二次项(最高次项)系数不等于 0。2一元二次不等式的解集判别式b24ac000二次函数yax2bxc (a0)的图象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有两相异实根x1，x2(x1x2)有两相等实根x1x2b 2a没有实数根ax2bxc0 (a0)的解集x|xx1或xx2x|xx1R Rax2bxc0(a0)的解集x|x1xx23.(xa)(xb)0 或(xa)(xb)0 型不等式解法解集 不等式 ababab(xa)(xb)0x|xa或xbx|xax|xb或xa(xa)(xb)0x|axbx

3、|bxa微点提醒 1解不等式ax2bxc0(0(0 对任意实数x恒成立Error!或Error!(2)不等式ax2bxc0，则AB( )A(4,4)BR RCx|x3 或x0x|x3 或x0 时，若不等式x2ax10 恒成立，则a的最小值为( )A2 B3C1 D3 2【解析】 当 a240，即2a2 时，不等式x2ax10 对任意x0 恒成立，当 a240，则需Error!解得a2。所以使不等式x2ax10 对任意x0 恒成立的实数a的最小值是2。故选 A。【答案】 A二、双基查验1不等式x(12x)0 的解集是( )A. B.(，1 2)(0，1 2)C(，0) D.(1 2，)(1 2，

4、)【答案】 B2不等式 2x2x10 的解集是( )A.B(1，)(1 2，1)C(，1)(2，)D.(1，)(，1 2)【解析】 2x2x1(x1)(2x1)0，x1 或x ，1 2故原不等式的解集为(1，)。故选 D。(，1 2)【答案】 D3若不等式ax2bx20 的解集为x|2x ，则ab( )1 4- 4 -A28 B26C28 D26【解析】 x2， 是方程ax2bx20 的两根，1 4Error!a4，b7，ab28。故选 C。【答案】 C4不等式0 的解集是_。x29 x2【解析】 由0，得(x3)(x3)(x2)0，利用数轴标根法易得33。【答案】 x|335不等式ax22a

5、x10 对一切xR R 恒成立，则实数a的取值范围为_。【解析】 当a0 时，不等式为 10 恒成立；当a0 时，须Error!即Error!所以0a1。综上 0a1。【答案】 0,1微考点 大课堂考点一 一元二次不等式的解法【典例 1】 (1)(2016全国卷)设集合Sx|(x2)(x3)0，Tx|x0，则ST( )A2,3 B(，23，)C3，) D(0,23，)(2)不等式1 的解集为_。x1 2x1(3)求不等式 12x2axa2(aR R)的解集。【解析】 (1)集合S(，23，)，结合数轴，可得ST(0,23，)。故选 D。(2)11000。x1 2x1x1 2x1x2 2x1x2

6、 2x1解法一：0Error!x2 2x1得。x|x 12或x 2- 5 -解法二：0Error!或Error!x2 2x1得。x|x 12或x 2(3)12x2axa2，12x2axa20，即(4xa)(3xa)0。令(4xa)(3xa)0，解得x1 ，x2 。a 4a 3当a0 时， a 3当a0 时， 0，不等式的解集为x|xR R，且x0；a 4a 3当a ，不等式的解集为。a 4a 3x|xa4综上所述：当a0 时，不等式的解集为；x|xa 3当a0 时，不等式的解集为x|xR R，且x0；当a a4【答案】 (1)D (2)(，2(1 2，)(3)见解析反思归纳 解一元二次不等式注

7、意以下几点：1若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论；2若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；3若不等式是分式不等式，应化为一元二次不等式(组)，再求解。【变式训练】 (1)不等式0 的解集为_。x2 x23x2(2)解不等式ax2(a1)x100(x2)(x2)(x1)0，x2 x23x2x2 x2x1数轴标根得x|22，故填x|22。(2)若a0，原不等式等价于x11。- 6 -若a0，(x1 a)解得x

8、1。1 a若a0，原不等式等价于(x1)1 时， 1，解(x1)1；1 a当a0 时，解集为x|x1；当 01 时，解集为x| 2 (2)见解析考点二 一元二次不等式恒成立问题多维探究角度一：在 R R 上恒成立【典例 2】 (1)若一元二次不等式 2kx2kx 0，则a的取值范围是( )A(0,4) B0,4)C(0，) D(，4)【解析】 (1)2kx2kx 0，则必有Error!或a0，0a0 时，g(x)在1,3上是增函数，所以g(x)maxg(3)7m60，(x1 2)3 4又因为m(x2x1)60 恒成立，即g(k)(x2)k(x24x4)0，在k1,1时恒成立。只需g(1)0 且

9、g(1)0，即Error!解之得x3。【答案】 x|x3反思归纳 1.对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在- 8 -x轴下方。另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值。2解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数。考点三 结合函数的图象与性质解不等式【典例 5】 (2016湖北联考)已知g(x)是 R R 上的奇函数，当xf(x)，则实数x的取值范围是( )A(，1)(2，)B(，2)(1，)C(1,2)D(2,1

10、)【解析】 若x0，则xf(x)时，2x2x，解得20。【解析】 (1)证明：函数f(x)为定义在 R R 上的奇函数，xb 1x2f(0)0，即b0，f(x)(经检验满足题意)，x x21f(x)。x21x2x x2121x2 x212当x(1，)时，f(x)0，得f(12x2)f(x22x4)。f(x)是奇函数，f(12x2)f(x22x4)。又12x21，x22x4(x1)231，且f(x)在(1，)上为减函数，12x20 的解集为x|30 的解集为( )x2x6 x1Ax|x3Bx|x3Dx|20，0，所以23。故选 C。x2x6 x1x3x2 x1答案 C3已知不等式ax2bx20 的解集为x|11解析 由题意知x1，x2 是方程ax2bx20 的根。由韦达定理Error!Error!不等式 2x2bxa1，a 2只需2a 10，即a ，此时 a2 时， 1 恒成立。a 2综上所述，a 。5 2解法二：由x2ax10，得ax ，x。1 x(0，1 2令f(x)x ，是增函数。1 x(x1 x)当x 时，f ，f(x)max 。1 2(1 2)5 25 2要使原命题成立，则a 。5 2答案 52