高考数学大一轮复习第十章计数原理概率随机变量及其分布第一节两个计数原理教师用书理.doc

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1、- 1 -第一节第一节 两个计数原理两个计数原理2017 考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能正确区分“类”和“步” ； 2.能利用两个原理解决一些简单的实际问题。2016，全国卷，5,5 分(乘法计数原理)2016，全国卷，12,5 分(加法计数原理)2014，福建卷，10,5 分(乘法计数原理)1.两个计数原理一般不单独命题，常与排列、组合交汇考查；2.题型以选择题、填空题为主，要求相对较低。微知识 小题练自|主|排|查两个计数原理：完成一件事的策略完成这件事共有的方法分类加法计数原理有n类不同方案，在第 1 类方案中有m1种不同的方法，在第

2、2 类方案中有m2种不同的方法在n类中有mn种不同方法Nm1m2mn种不同的方法分步乘法计数原理需要n个步骤，做第 1 步有m1种不同的方法，做第 2 步有m2种不同的方法做第n步有mn种不同方法Nm1m2mn种不同的方法微点提醒 1分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任意一种方法都可以完成这件事。2分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才能完成。小|题|快|练一 、走进教材1(选修 23P12A 组 T2改编)如图，从A城到B城有 3 条路；从B城到D城有 4 条路；从A城到C城有 4 条路，从C城到D城有 5 条路，则某旅客从A城到D城

3、共有_条不- 2 -同的路线。【解析】 不同路线共有 344532(条)。【答案】 322(选修 23P10练习 T1改编)乘积(abc)(defh)(ijklm)展开后共有_项。【解析】 由(abc)(defh)(ijklm)展开式各项都是从每个因式中选一个字母的乘积，由分步乘法计数原理可得：其展开式共有 34560(项)。【答案】 60二、双基查验1(2016郑州模拟)某项测试要过两关，第一关有 3 种测试方案，第二关有 5 种测试方案，某人参加该项测试，不同的测试方法种数为( )A35 B35C35 D53【解析】 根据题意，某人参加该项测试，第一关有 3 种测试方案，即有 3 种测试方

4、法，第二关有 5 种测试方案，即有 5 种测试方法，则有 35 种不同的测试方法。故选 B。【答案】 B2三张卡片的正反面分别写有 1 和 2,3 和 4,5 和 6，若将三张卡片并列，可得到不同的三位数(6 不能作 9 用)的个数为( )A8 B6C14 D48【解析】 先排首位 6 种可能，十位数从剩下 2 张卡片中任取一数有 4 种可能，个位数从剩下的 1 张卡片中取一数有 2 种可能，所以一共有 64248(个)。故选 D。【答案】 D3已知两条异面直线a，b上分别有 5 个点和 8 个点，则这 13 个点可以确定不同的平- 3 -面个数为( )A40 B16C13 D10【解析】 分

5、两类情况讨论：第 1 类，直线a分别与直线b上的 8 个点可以确定 8 个不同的平面；第 2 类，直线b分别与直线a上的 5 个点可以确定 5 个不同的平面。根据分类加法计数原理知，共可以确定8513 个不同的平面。故选 C。【答案】 C4(2017洛阳模拟)某位同学逛书店，发现有三本喜欢的书，决定至少买其中一本，则购买的方案有_种。【解析】 至少买其中一本的实质是买一本或买两本或买三本，故分三类完成。第一类：买一本有 3 种；第二类：买两本有 3 种；第三类：买三本有 1 种。共有 3317(种)买法。【答案】 75(2016广州模拟)在三位正整数中，若十位数字小于个位和百位数字，则称该数为

6、“驼峰数” 。比如“102” ， “546”为“驼峰数” ，由数字 1,2,3,4 可构成无重复数字的“驼峰数”有_个。【解析】 十位上的数为 1 时，有 213,214,312,314,412,413，共 6 个，十位上的数为2 时，有 324,423，共 2 个，所以共有 628(个)。【答案】 8微考点 大课堂考点一 分类加法计数原理【典例 1】 (1)(2016太原模拟)在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为_。(2)我们把各位数字之和为 6 的四位数称为“六合数”(如 2 013 是“六合数”)，则首位为 2 的“六合数”共有( )A18 个 B15 个 C12 个

7、D9 个【解析】 (1)根据题意，将十位上的数字按 1,2,3,4,5,6,7,8 的情况分成 8 类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是 8 个，7 个，6 个，5 个，4 个，3 个，2 个，1 个。由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有 8765432136(个)。故共有 36 个。(2)设满足题意的“六合数”为 2 000100a10bc，则abc4，满足条件的- 4 -a，b，c可分以下四种情况：(1)一个为 4，两个为 0，共有 3 个；(2)一个为 3，一个为 1，一个为 0，共有 6 个；(3)两个为 2，一个为 0，共有 3 个；(4)一个为 2，两个为 1，共有 3个

8、。则首位为 2 的“六合数”共有 15 个。故选 B。【答案】 (1)36 (2)B反思归纳 使用分类加法计数原理遵循的原则有时分类的划分标准有多个，但不论是以哪一个为标准，都应遵循“标准要明确，不重不漏”的原则。【变式训练】 从集合1,2,3，10中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为( )A3 B4 C6 D8【解析】 当公比为 2 时，等比数列可为 1,2,4 或 2,4,8；当公比为 3 时，等比数列可为 1,3,9；当公比为 时，等比数列可为 4,6,9。故选 D。3 2【答案】 D考点二 分步乘法计数原理【典例 2】 (1)(2016全国卷)如图，小明

9、从街道的 E 处出发，先到 F 处与小红会合，再一起到位于 G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )A24 B18 C12 D9(2)(2016四川高考)用数字 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( )A24 B48 C60 D72【解析】 (1)由题意可知EF共有 6 种走法，FG共有 3 种走法，由乘法计数原理知，- 5 -共有 6318 种走法，故选 B。(2)由题意，可知个位可以从 1,3,5 中任选一个，有 A 种方法，其他数位上的数可以从1 3剩下的 4 个数字中任选，进行全排列，有 A 种方法，所以奇数的个数为4

10、4A A 3432172，故选 D。1 3 4 4【答案】 (1)B (2)D反思归纳 分步乘法计数原理的注意点1明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，必须要经过几步才能完成这件事。2解决分步问题时要合理设计步骤、顺序，使各步互不干扰，还要注意元素是否可以重复选取。【变式训练】 (1)(2016锦州模拟)5 名应届毕业生报考三所高校，每人报且仅报一所院校，则不同的报名方法的种数是( )A35 B53 CA DC3 53 5(2)(2016哈尔滨模拟)用 0,1，9 十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )A243 B252 C261 D279(3)设集合A1,0,1，集合B0,1,

11、2,3，定义A*B(x，y)|xAB，yAB，则A*B中元素的个数是( )A7 B10 C25 D52【解析】 (1)根据分步乘法计数原理知，每个学生都有 3 个可能报名的学校，故应该是 3333335(种)方法。故选 A。(2)由分步乘法计数原理得，能够组成的三位数的个数是 91010900，能够组成无重复数字的三位数的个数是 998648，故能够组成有重复数字的三位数的个数是900648252。故选 B。(3)由题意知本题是一个分步乘法计数原理，因为集合A1,0,1，集合B0,1,2,3，所以AB0,1，AB1,0,1,2,3，所以x有 2 种取法，y有 5 种取法，所以根据分步乘法计数原

12、理得 2510。故选 B。【答案】 (1)A (2)B (3)B考点三 两个计数原理的综合应用多维探究角度一：排数与排队问题【典例 3】 (1)(2015四川高考)用数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，其中比 40 000 大的偶数共有( )- 6 -A144 个 B120 个 C96 个 D72 个(2)(2017长春模拟)现从甲、乙、丙等 6 名工人中安排 4 人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排 1 人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排 1 人，则不同的安排方案共有( )A24 种 B36 种 C48 种 D72 种【解析】 (1)首位为 5，末位

13、为 0：43224(个)；首位为 5，末位为 2：43224(个)；首位为 5，末位为 4：43224(个)；首位为 4，末位为 0：43224(个)；首位为 4，末位为 2：43224(个)。由分类加法计数原理，得共有 2424242424120(个)。故选 B。(2)分两类：第一道工序安排甲时有 114312(种)。第一道工序不安排甲时有 124324(种)。所以共有 122436(种)。故选 B。【答案】 (1)B (2)B角度二：涂色问题【典例 4】 (2016珠海模拟)如图，用 6 种不同的颜色把图中A，B，C，D四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有( )A40

14、0 种 B460 种 C480 种 D496 种【解析】 完成此事可能使用 4 种颜色，也可能使用 3 种颜色。当使用 4 种颜色时：从A开始，有 6 种方法，B有 5 种，C有 4 种，D有 3 种，完成此事共有 6543360(种)方法；当使用 3 种颜色时：A，D使用同一种颜色，从A，D开始，有 6 种方法，B有 5 种，C- 7 -有 4 种，完成此事共有 654120(种)方法。由分类加法计数原理可知：不同涂法有360120480(种)。故选 C。【答案】 C反思归纳 1.(1)注意在综合应用两个原理解决问题时，一般是先分类再分步。在分步时可能又用到分类加法计数原理。(2)注意对于较

15、复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当地列出示意图或列出表格，使问题形象化、直观化。2解决涂色问题，可按颜色的种数分类，也可按不同的区域分步完成。微考场 新提升1(2016滨州模拟)甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门，则甲、乙所选的课程中恰有 1 门相同的选法有( )A6 种 B12 种C24 种 D30 种解析 可分步完成此事：第一步：甲乙选相同的 1 门共有 4 种方法；第二步：甲再选 1 门有 3 种方法；第三步：乙再选一门有 2 种选法，由分步乘法计数原理知：甲、乙所选的课程中恰有 1 门相同的选法有 43224(种)。故选 C。答案 C2(2017成都模拟)某城市有 3 个演习点

16、同时进行消防演习，现将 4 名消防队分配到这 3 个演习点，若每个演习点至少安排 1 名消防队，则不同的分配方案种数为( )A12 B36C72 D108解析 先从 4 个消防队中选出 2 个作为一个整体，有 C 种选法；再将三个整体进行全2 4排列，有 A 种方法；根据分步乘法计数原理得不同的分配方案种数为 C A 36。故选3 32 43 3B。答案 B3(2016银川模拟)集合Px,1，Qy,1,2，其中x，y1,2,3，9，且PQ。把满足上述条件的一个有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是( )A9 B14C15 D21解析 当x2 时，xy，点的个数为 177(个)

17、；当x2 时，xy，点的个数为717(个)，则共有 14 个点。故选 B。答案 B4(2016长春模拟)直线AxBy0，若从集合E0,1,3,5,7,8中每次取出两个不- 8 -同的数作为A，B的值，则可表示_条不同的直线。解析 若A或B中有一个为零时，有 2 条；若AB0 时，有 5420 条，由分类加法计数原理可知：共有 22022 条不同的直线。答案 225(2016郑州模拟)用数字 2,3 组成四位数，且数字 2,3 至少都出现一次，这样的四位数共有_个。(用数字作答)解析 数字 2,3 至少都出现一次，包括以下情况：“2”出现 1 次，共有 4 种方法， “3”出现 3 次，共有 1

18、 种方法，共可组成 414(个)四位数。“2”出现 2 次，共有 C 6 种方法， “3”出现 2 次，共有 1 种方法，共可组成2 4616(个)四位数。“2”出现 3 次，共有 C 4 种方法， “3”出现 1 次，共有 1 种方法，共可组成3 4414(个)四位数。综上所述，共可组成 46414 个四位数。答案 14微专题 巧突破利用两个计数原理解决的两大题型1几何问题将两个基本计数原理与立体几何知识结合起来考查，既考查了同学们的逻辑推理能力，又考查了同学们的空间想象能力，具有较强的综合性。【典例 1】 如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对” 。在一个正方体

19、中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是( )A48 B18C24 D36【思路分析】 - 9 -【解析】 分情况讨论：第 1 类，对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对” ，这样的“正交线面对”有 21224(个)；第 2 类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对” ，这样的“正交线面对”有 12 个。所以正方体中“正交线面对”共有 241236(个)。【答案】 D【变式训练 1】 从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为 60的共有( )A24 对 B30 对C48 对 D60 对【解析】 正方体中共有 12 条面对

20、角线，任取两条作为一对共有 C66 对，12 条对2 12角线中的两条所构成的关系有平行、垂直、成 60角。相对两面上的 4 条对角线组成的C 6 对组合中，平行有 2 对，垂直有 4 对，所以所有的平行和垂直共有 3C 18 对。所以2 42 4成 60角的有 C3C 661848(对)。故选 C。2 122 4【答案】 C2集合问题解决集合问题时，常以有特殊要求的集合为标准进行分类，常用的结论有a1，a2，a3，an的子集有 2n个，真子集有 2n1 个。【典例 2】 设集合I1,2,3,4,5，选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小- 10 -的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有

21、( )A50 种 B49 种C48 种 D47 种【思路分析】 【解析】 根据题意，B中最小的数大于A中最大的数，则集合A，B中没有相同的元素，且都不是空集。按A中元素分情况讨论，分别计算其选法种数，进而相加即可。第 1 类，当A中最大的数是 1 时，A是1，B可以是2,3,4,5的非空子集，即有24115(种)选法；第 2 类，当A中最大的数是 2 时，A可以是2或1,2，B可以是3,4,5的非空子集，即有 2(231)14(种)选法；第 3 类，当A中最大的数是 3 时，A可以是3，1,3，2,3，1,2,3，B可以是4,5的非空子集，即有 4(221)12(种)选法；第 4 类，当A中最

22、大的数是 4 时，A可以是4，1,4，2,4，3,4，1,2,4，1,3,4，2,3,4，1,2,3,4，B是5，即有 818(种)选法。综上可知，共有 151412849(种)不同的选择方法。【答案】 B【方法探究】 本题也可以按如下方法求解：集合A，B中没有相同的元素，且都不是空集，也就是要求至少从集合I中选取 2 个元素才能构造出满足要求的集合，因此只要从集合I中选出元素，把这些元素按照从小到大排列后，将其分为两部分即可。- 11 -【变式训练 2】 (2016衡水调研)设集合S1,2,3,4,5,6,7,8,9，集合Aa1，a2，a3，AS，a1，a2，a3满足a1a2a3且a3a26，那么满足条件的集合A的个数为( )A76 B78 C83 D84【解析】 在集合S中任取三个数共有 C 84 种情况，这三个数大小关系确定，其中3 9不满足a3a26，又最大数减去次大数大于 6 的情况只有 1 种，即a11，a22，a39，其他均满足题意，所以满足条件的集合A的个数为 C 183。故选 C。3 9【答案】 C