高考数学一轮复习第八章平面解析几何8-8抛物线课时提升作业理.doc

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1、- 1 - / 10【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第八章平面解析几何精选高考数学一轮复习第八章平面解析几何 8-88-8 抛物抛物线课时提升作业理线课时提升作业理(25(25 分钟分钟 6060 分分) )一、选择题一、选择题( (每小题每小题 5 5 分分, ,共共 2525 分分) )1.设抛物线 y=x2 上的一点 P 到 x 轴的距离是 4,则点 P 到该抛物线焦点的距离为 ( )A.3 B.4 C.5 D.6【解题提示】由题意可得点 P 的纵坐标为 4,由抛物线的定义可得点 P 到该抛物线焦点的距离等于点 P 到准线 y=-1 的距离,由此求得结果.【解析】选

2、C.由于抛物线 y=x2 上的一点 P 到 x 轴的距离是 4,故点 P 的纵坐标为 4.再由抛物线 y=x2 的准线为 y=-1,结合抛物线的定义可得点 P 到该抛物线焦点的距离等于点 P 到准线的距离,故点 P 到该抛物线焦点的距离是 4-(-1)=5.2.(2016邢台模拟)已知圆 C:(x+1)2+y2=r2 与抛物线 D:y2=16x 的准线交于A,B 两点,且=8,则圆 C 的面积为 ( )A.5B.9C.16D.25【解析】选 D.设抛物线的准线交 x 轴于点 E,则 CE=3,所以 r2=32+42=25,所以圆 C 的面积为 25.【加固训练】设 F 为抛物线 y2=4x 的

3、焦点,A,B,C 为该抛物线上三点,若+=0,则|FA|+|FB|+|FC|等于 ( )A.9 B.6 C.4 D.3- 2 - / 10【解析】选 B.设 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),又 F(1,0).由+=0 知(x1-1)+(x2-1)+(x3-1)=0,即 x1+x2+x3=3,|FA|+|FB|+|FC|=x1+x2+x3+p=6.3.O 为坐标原点,F 为抛物线 C:y2=4x 的焦点,P 为 C 上一点,若|PF|=4,则POF 的面积为 ( )A.2B.2C.2D.4【解析】选 C.抛物线 C 的方程为 y2=4x,所以 2p=4,可得=,得焦点 F(

4、,0).设 P(m,n),根据抛物线的定义,得|PF|=m+=4,即 m+=4,解得 m=3.因为点 P 在抛物线 C 上,得 n2=43=24,所以 n=2,因为|OF|=,所以POF 的面积 S=|OF|n|=2=2.4.已知抛物线 y2=4x 的焦点 F,A,B 是抛物线上横坐标不相等的两点,若 AB 的垂直平分线与 x 轴的交点是(4,0),则|AB|的最大值为 ( )A.2B.4C.6D.10【解题提示】可将|AB|与|AF|,|BF|之间的关系联系起来,再利用抛物线的定义求解.【解析】选 C.因为抛物线 y2=4x 的焦点 F(1,0),设 A(x1,y1),B(x2,y2),因为

5、线段 AB 的垂直平分线恰过点 M(4,0),所以|MA|2=|MB|2,即(4-x1)2+=(4-x2)2+,又=4x1,=4x2,代入并展开得:16-8x1+4x1=-8x2+16+4x2,即-=4x1-4x2,又x1x2,所以 x1+x2=4,所以线段 AB 中点的横坐标为(x1+x2)=2,所以 ABAF+BF=+=4+2=6(当 A,B,F 三点共线时取等号),即|AB|的最大值为 6.- 3 - / 105.(2016郑州模拟)已知抛物线 y2=2px(p0),过其焦点且斜率为-1 的直线交抛物线于 A,B 两点,若线段 AB 的中点的纵坐标为-2,则该抛物线的准线方程为( )A.

6、x=1B.x=2C.x=-1D.x=-2【解析】选 C.由题意可设直线方程为 y=-,设 A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程整理得 y2+2py-p2=0,所以 y1+y2=-2p.因为线段 AB 的中点的纵坐标为-2,所以=-2.所以 p=2.所以抛物线的准线方程为 x=-1.二、填空题二、填空题( (每小题每小题 5 5 分分, ,共共 1515 分分) )6.顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,且经过点 M(-2,-4)的抛物线方程是 .【解析】满足题意的抛物线应有两条,设为 y2=ax 或 x2=by,将点 M(-2,-4)的坐标代入求得 y2=-8x 或 x2=-y.答案:y2

7、=-8x 或 x2=-y7.抛物线 x2=2py(p0)的焦点为 F,其准线与双曲线-=1 相交于 A,B 两点,若ABF 为等边三角形,则 p= .【解析】如图,在等边三角形 ABF 中,DF=p,BD=p,所以 B 点坐标为.又点 B 在双- 4 - / 10曲线上,故-=1.解得 p=6.答案:6【加固训练】已知直线 l1:4x-3y+11=0 和直线 l2:x=-1,抛物线 y2=4x 上一动点P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是 .【解析】因为 x=-1 恰为抛物线 y2=4x 的准线,所以可画图观察.如图,连接 PF,过 F 作 FQl1 于点 Q,d2=PF,所以

8、 d1+d2=d1+PFFQ=3.答案:38.已知过点 P(4,0)的直线与抛物线 y2=4x 相交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则+的最小值是 .【解析】当直线的斜率不存在时,直线方程为 x=4,代入 y2=4x,得交点为(4,4),(4,-4),所以+=16+16=32;当直线的斜率存在时,设直线方程为 y=k(x-4),与 y2=4x 联立,消去 x 得 ky2-4y-16k=0,由题意,知 k0,则 y1+y2=,y1y2=-16.所以+=(y1+y2)2-2y1y2=+3232.综上知,(+)min=32.答案:32【误区警示】本题易出现最小值不存在的错误结论.其原因是

9、忽略直线的斜率不存在的情况,从而得出错误的结论.三、解答题三、解答题( (每小题每小题 1010 分分, ,共共 2020 分分) )9.已知抛物线 C 的顶点为坐标原点,焦点 F(0,c)(c0)到直线 y=2x 的距离是.- 5 - / 10(1)求抛物线 C 的方程.(2)若直线 y=kx+1(k0)与抛物线 C 交于 A,B 两点,设线段 AB 的中垂线与 y 轴交于点 P(0,b),求实数 b 的取值范围.【解析】(1)由题意,=,故 c=.所以抛物线 C 的方程为 x2=2y.(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),则由得 x2-2kx-2=0.所以 =4k2+80.所以 x

10、1+x2=2k,所以线段 AB 的中点坐标为(k,k2+1).线段 AB 的中垂线方程为 y=-(x-k)+k2+1,即 y=-x+k2+2.令 x=0,得 b=k2+2.所以 b(2,+).10.(2014陕西高考)如图,曲线 C 由上半椭圆 C1:+=1(ab0,y0)和部分抛物线 C2:y=-x2+1(y0)连接而成,C1,C2 的公共点为 A,B,其中 C1 的离心率为.(1)求 a,b 的值.(2)过点 B 的直线 l 与 C1,C2 分别交于 P,Q(均异于点 A,B),若 APAQ,求直线 l的方程.【解析】(1)在 C1,C2 的方程中,令 y=0,可得 b=1,且 A(-1,

11、0),B(1,0)是上半椭圆 C1 的左右顶点.设 C1 的半焦距为 c,由=及 a2-c2=b2=1 得 a=2.所以 a=2,b=1.(2)由(1)知,上半椭圆 C1 的方程为+x2=1(y0).- 6 - / 10易知,直线 l 与 x 轴不重合也不垂直,设其方程为 y=k(x-1)(k0),代入 C1 的方程,整理得(k2+4)x2-2k2x+k2-4=0. (*)设点 P 的坐标为(xP,yP),因为直线 l 过点 B,所以 x=1 是方程(*)的一个根,由求根公式,得 xP=,从而 yP=,所以点 P 的坐标为.同理,由得 Q 点的坐标为(-k-1,-k2-2k).所以=(k,-4

12、),=-k(1,k+2).因为 APAQ,所以=0,即k-4(k+2)=0,因为 k0,所以 k-4(k+2)=0,解得 k=-.经检验,k=-符合题意,故直线 l 的方程为 y=-(x-1).(20(20 分钟分钟 4040 分分) )1.(5 分)(2016忻州模拟)若抛物线 C:y2=2px(p0)上一点到焦点和 x 轴的距离分别为 5 和 3,则此抛物线的方程为 ( )A.y2=2xB.y2=(-4)xC.y2=2x 或 y2=18xD.y2=3x 或 y2=(-4)x【解析】选 C.因为抛物线 y2=2px(p0)上一点到 x 轴的距离为 3,所以设该点为 P,则点 P 的坐标为(x

13、0,3),因为点 P 到抛物线的焦点 F 的距离- 7 - / 10为 5,所以由抛物线的定义,得 x0+=5(1)因为点 P 是抛物线上的点,所以 2px0=9(2)由(1)(2)联立,解得 p=1,x0=或 p=9,x0=,则抛物线方程为 y2=2x 或 y2=18x.2.(5 分)已知直线 y=k(x+2)(k0)与抛物线 C:y2=8x 相交于 A,B 两点,F 为 C 的焦点.若|FA|=2|FB|,则 k= ( )A. B. C. D.【解析】选 D.设抛物线 C:y2=8x 的准线为 l:x=-2,直线 y=k(x+2)(k0)恒过定点 P(-2,0).如图过 A,B 分别作 A

14、Ml 于 M,BNl 于 N,由|FA|=2|FB|,则|AM|=2|BN|,所以点 B 为 AP 的中点,连接 OB,又因为点 O 是 PF的中点,则|OB|=|AF|,所以|OB|=|BF|,所以点 B 的横坐标为 1,故点 B 的坐标为,所以 k=.3.(5 分)(2016廊坊模拟)已知抛物线 y2=4x 的焦点为 F,准线为直线 l,过抛物线上一点 P 作 PEl 于点 E,若直线 EF 的倾斜角为 150,则|PF|= .【解析】由抛物线方程 y2=4x,可得焦点 F(1,0),准线 l 的方程为:x=-1.因为直线 EF 的倾斜角为 150,所以 k1=tan150=-.所以直线

15、EF 的方程为:y=-(x-1),联立解得 y=.所以 E.因为 PEl 于点 E,所以 yP=,代入抛物线的方程可得=4xP,解得 xP=.- 8 - / 10所以|PF|=|PE|=xP+1=.答案:4.(12 分)(2016安阳模拟)如图,已知抛物线 y2=2px(p0)上点(2,a)到焦点 F的距离为 3,直线 l:my=x+t(t0)交抛物线 C 于 A,B 两点,且满足 OAOB.圆 E是以(-p,p)为圆心,p 为直径的圆.(1)求抛物线 C 和圆 E 的方程.(2)设点 M 为圆 E 上的任意一动点,求当动点 M 到直线 l 的距离最大时的直线方程.【解析】(1)由题意得 2+

16、=3,得 p=2,所以抛物线 C 和圆 E 的方程分别为y2=4x;(x+2)2+(y-2)2=1.(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2).联立方程整理得 y2-4my+4t=0,由根与系数的关系得则 x1x2=(my1-t)(my2-t)=m2y1y2-mt(y1+y2)+t2,由 OAOB 得 x1x2+y1y2=0,即(m2+1)y1y2-mt(y1+y2)+t2=0,将代入上式整理得 t2+4t=0,由 t0 得 t=-4.故直线 AB 过定点 N(4,0).所以当 MNl,动点 M 经过圆心 E(-2,2)时到直线 l 的距离 d 取得最大值.由 kMN=-,得 kl=3.此时

17、的直线方程为 l:y=3(x-4),即 3x-y-12=0.5.(13 分)(2015福建高考)已知点 F 为抛物线 E:y2=2px(p0)的焦点,点 A(2,m)在抛物线 E 上,且|AF|=3.(1)求抛物线 E 的方程.- 9 - / 10(2)已知点 G(-1,0),延长 AF 交抛物线 E 于点 B,证明:以点 F 为圆心且与直线 GA相切的圆,必与直线 GB 相切.【解析】方法一:(1)由抛物线的定义得=2+,因为=3,即 2+=3,解得 p=2,所以抛物线 E 的方程为 y2=4x.(2)因为点 A(2,m)在抛物线 E:y2=4x 上,所以 m=2,由抛物线的对称性,不妨设

18、A(2,2).由 A(2,2),F(1,0)可得直线 AF 的方程为y=2(x-1).由得 2x2-5x+2=0,解得 x=2 或 x=,从而 B.又 G(-1,0),所以 kGA=,kGB=-,所以 kGA+kGB=0,且AGF=BGF,这表明点 F 到直线 GA,GB 的距离相等,故以 F为圆心且与直线 GA 相切的圆必与直线 GB 相切.方法二:(1)同方法一.(2)设以点 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆的半径为 r.因为点 A(2,m)在抛物线 E:y2=4x 上,所以 m=2,由抛物线的对称性,不妨设 A(2,2),由 A(2,2),F(1,0)可得直线 AF 的方程为- 10 - / 10y=2(x-1).由得 2x2-5x+2=0,解得 x=2 或 x=,从而 B.又 G(-1,0),故直线 GA 的方程为 2x-3y+2=0,从而 r=.又直线 GB 的方程为 2x+3y+2=0,所以点 F 到直线 GB 的距离d=r.这表明以点 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆必与直线 GB 相切.