高考数学一轮复习第八章平面解析几何分层限时跟踪练46.doc

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1、1 / 11【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第八章平面解析几何精选高考数学一轮复习第八章平面解析几何分层限时跟踪练分层限时跟踪练 4646(限时 40 分钟)一、选择题1(2015福建高考)若双曲线 E：1 的左、右焦点分别为F1，F2，点 P 在双曲线 E 上，且|PF1|3，则|PF2|等于( )A11 B9 C5 D3【解析】 由题意知 a3，b4，c5.由双曲线的定义有|PF1|PF2|3|PF2|2a6，|PF2|9.【答案】 B2(2015湖南高考)若双曲线1 的一条渐近线经过点(3，4)，则此双曲线的离心率为( )A. B. C. D.5 3【解析】 由双曲线

2、的渐近线过点(3，4)知，.又b2c2a2，即 e21，e2，e.【答案】 D3(2015天津高考)已知双曲线1(a0，b0)的一个焦点为 F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x2)2y23 相切，则双曲线的方程为( )A.1 B.1 C.y21 Dx21【解析】 由双曲线的渐近线 yx 与圆(x2)2y23 相2 / 11切可知Error!解得故所求双曲线的方程为 x21.【答案】 D4已知双曲线1 的离心率为 3，有一个焦点与抛物线yx2 的焦点相同，那么双曲线的渐近线方程为( )A2xy0Bx2y0Cx2y0D2xy0【解析】 由抛物线方程知其焦点为(0,3)，因为双曲线有一个焦点与抛物

3、线焦点相同，所以双曲线焦点在 y 轴上，所以n0，m0，渐近线方程为 yx.又 e3，19，所以双曲线的渐近线方程为 y.【答案】 B5(2015全国卷)已知 A，B 为双曲线 E 的左，右顶点，点M 在 E 上，ABM 为等腰三角形，且顶角为 120，则 E 的离心率为( )A. B2 C. D.2【解析】 不妨取点 M 在第一象限，如图所示，设双曲线方程为1(a0，b0)，则|BM|AB|2a，MBx18012060，M 点的坐标为.M 点在双曲线上，1，ab，ca，e.故选 D.【答案】 D二、填空题3 / 116(2015北京高考)已知(2,0)是双曲线 x21(b0)的一个焦点，则

4、b_.【解析】 由题意得，双曲线焦点在 x 轴上，且 c2.根据双曲线的标准方程，可知 a21.又 c2a2b2，所以 b23.又 b0，所以 b.【答案】 37(2015全国卷)已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为yx，则该双曲线的标准方程为_【解析】 双曲线的渐近线方程为 yx，可设双曲线的方程为 x24y2(0)双曲线过点(4，)，164()24，双曲线的标准方程为y21.【答案】 y218(2015湖南高考)设 F 是双曲线 C：1 的一个焦点若C 上存在点 P, 使线段 PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则 C 的离心率为_【解析】 不妨设 F(c,0)，PF 的中点为(0，b)由

5、中点坐标公式可知 P(c,2b)又点 P 在双曲线上，则1，故5，即 e.【答案】 5三、解答题9已知动圆 M 与圆 C1：(x4)2y22 外切，与圆C2：(x4)2y22 内切，求动圆圆心 M 的轨迹方程4 / 11【解】 设动圆 M 的半径为 r，则由已知|MC1|r，|MC2|r，|MC1|MC2|2，又 C1(4,0)，C2(4,0)，|C1C2|8，2|C1C2|.根据双曲线定义知，点 M 的轨迹是以 C1(4,0)、C2(4,0)为焦点的双曲线的右支又 a，c4，b2c2a214，点 M 的轨迹方程是1(x)10(2015潍坊模拟)已知双曲线1(a0，b0)的离心率为 2，焦点到

6、渐近线的距离等于，过右焦点 F2 的直线 l 交双曲线于A、B 两点，F1 为左焦点(1)求双曲线的方程；(2)若F1AB 的面积等于 6，求直线 l 的方程【解】 (1)依题意，b，2a1，c2，双曲线的方程为 x21.(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(1)知 F2(2,0)易验证当直线 l 斜率不存在时不满足题意，故可设直线 l：yk(x2)，由Error!消元得(k23)x24k2x4k230，k时，x1x2，5 / 11x1x2，y1y2k(x1x2)，F1AB 的面积Sc|y1y2|2|k|x1x2|2|k|16k44k234k23|k23|12|k|k21|k23|

7、6.得 k48k290，则 k1.所以直线 l 方程为 yx2 或 yx2.1若双曲线1(a0，b0)和椭圆1(mn0)有共同的焦点 F1，F2(F1 为左焦点，F2 为右焦点)，P 是两曲线的一个交点，则|PF1|PF2|( )Am2a2 B.aC.(ma)Dma【解析】 不妨设点 P 是第一象限内的两曲线的交点，由椭圆定义知，|PF1|PF2|2，由双曲线的定义知，|PF1|PF2|2，求得|PF1|，|PF2|，所以|PF1|PF2|()()ma.【答案】 D2(2015辽宁五校联考)已知 F1，F2 是双曲线1(a0，b0)的左、右两个焦点，以线段 F1F2 为直径的圆与双曲线的一条渐

8、近线交于点 M，与双曲线交于点 N(设点 M，N 均在第一象限)，当直线 MF1 与直线 ON 平行时，双曲线的离心率取值为6 / 11e0，则 e0 所在的区间为( )A(1，)B(，)C(，2)D(2,3)【解析】 由得 N，同理得 M(a，b)，又 F1(c,0)，则kMF1，kON，MF1ON，a(ac)b，化简得2a2cc32ac22a3，即 2ee32e22，设 f(e)e32e22e2，易知 f(1)12220，f()24220，1e0.故选 A.【答案】 A3设 F1，F2 是双曲线 C：1(a0，b0)的两个焦点，P 是C 上一点若|PF1|PF2|6a，且PF1F2 的最小

9、内角为 30，则 C 的离心率为_【解析】 设点 P 在双曲线右支上，F1 为左焦点，F2 为右焦点，则|PF1|PF2|2a.又|PF1|PF2|6a，|PF1|4a，|PF2|2a.在双曲线中 ca，在PF1F2 中|PF2|所对的角最小且为 30.在PF1F2 中，由余弦定理得|PF2|2|PF1|2|F1F2|22|PF1|F1F2|cos 30，即4a216a24c28ac，即 3a2c22ac0.(ac)20，ca，即.e.【答案】 34(2015日照模拟)已知 F1，F2 为双曲线1(a0，b0)的焦点，过 F2 作垂直于 x 轴的直线交双曲线于点 P 和 Q，且F1PQ为正三角

10、形，则双曲线的渐近线方程为_7 / 11【解析】 设 F2(c,0)(c0)，P(c，y0)，代入双曲线方程得 y0，PQx 轴，|PQ|.在 RtF1F2P 中，PF1F230，|F1F2|PF2|，即 2c.又c2a2b2，b22a2 或 2a23b2(舍去)a0，b0，.故所求双曲线的渐近线方程为 yx.【答案】 yx5已知双曲线 C：1(a0，b0)的一条渐近线的方程为yx，右焦点 F 到直线 x的距离为.(1)求双曲线 C 的方程；(2)斜率为 1 且在 y 轴上的截距大于 0 的直线 l 与双曲线 C 相交于 B、D 两点已知 A(1,0)，若1，证明：过 A、B、D 三点的圆与

11、x 轴相切【解】 (1)依题意有，c，a2b2c2，c2a，a1，c2，b23，双曲线 C 的方程为 x21.(2)证明：设直线 l 的方程为 yxm(m0)，B(x1，x1m)，D(x2，x2m)，BD 的中点为 M，由得 2x22mxm230，x1x2m，x1x2，又1，8 / 11即(2x1)(2x2)(x1m)(x2m)1，m0(舍)或 m2，x1x22，x1x2，M 点的横坐标为1，(1x1)(1x2)(x12)(x22)52x1x2x1x25720，ADAB，过 A、B、D 三点的圆以点 M 为圆心，BD 为直径，点 M 的横坐标为 1，MAx 轴，过 A、B、D 三点的圆与 x

12、轴相切6(2014福建高考)已知双曲线 E：1(a0，b0)的两条渐近线分别为 l1：y2x，l2：y2x.(1)求双曲线 E 的离心率；(2)如图 861，O 为坐标原点，动直线 l 分别交直线 l1，l2于 A，B 两点(A，B 分别在第一、四象限)，且OAB 的面积恒为 8.试探究：是否存在总与直线 l 有且只有一个公共点的双曲线 E？若存在，求出双曲线 E 的方程；若不存在，说明理由图 861【解】 (1)因为双曲线 E 的渐近线分别为 y2x，y2x，所以2，所以2，故 ca，从而双曲线 E 的离心率 e.(2)法一：由(1)知，双曲线 E 的方程为1.设直线 l 与 x 轴相交于点

13、 C.当 lx 轴时，若直线 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点，则|OC|a，|AB|4a.又因为OAB 的面积为 8，9 / 11所以|OC|AB|8，因此 a4a8，解得 a2，此时双曲线 E 的方程为1.若存在满足条件的双曲线 E，则 E 的方程只能为1.以下证明：当直线 l 不与 x 轴垂直时，双曲线 E：1 也满足条件设直线 l 的方程为 ykxm，依题意，得 k2 或 k2，则 C.记 A(x1，y1)，B(x2，y2)由得 y1，同理，得 y2.由 SOAB|OC|y1y2|，得8，1 2|m k|即 m24|4k2|4(k24)由得(4k2)x22kmxm2160.因为 4

14、k20，所以 4k2m24(4k2)(m216)16(4k2m216)又因为 m24(k24)，所以 0，即 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点因此，存在总与 l 有且只有一个公共点的双曲线 E，且 E 的方程为1.法二：由(1)知，双曲线 E 的方程为1.设直线 l 的方程为 xmyt，A(x1，y1)，B(x2，y2)依题意得m.由得 y1，同理，得 y2.设直线 l 与 x 轴相交于点 C，则 C(t,0)10 / 11由 SOAB|OC|y1y2|8，得|t|8.1 2所以 t24|14m2|4(14m2)由得(4m21)y28mty4(t2a2)0.因为 4m210，直线 l 与双

15、曲线 E 有且只有一个公共点当且仅当 64m2t216(4m21)(t2a2)0，即 4m2a2t2a20，即 4m2a24(14m2)a20，即(14m2)(a24)0，所以 a24，因此，存在总与 l 有且只有一个公共点的双曲线 E，且 E 的方程为1.法三：当直线 l 不与 x 轴垂直时，设直线 l 的方程为ykxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)依题意，得 k2 或 k2.由得(4k2)x22kmxm20.因为 4k20，0，所以 x1x2.又因为OAB 的面积为 8，所以|OA|OB|sinAOB8，又易知 sin AOB，所以8，化简，得 x1x24.所以4，即 m24(k24)由(1)得双曲线 E 的方程为1，由得(4k2)x22kmxm24a20.因为 4k20，直线 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点当且仅当 4k2m24(4k2)(m24a2)0，即(k24)(a24)0，所以 a24，11 / 11所以双曲线 E 的方程为1.当 lx 轴时，由OAB 的面积等于 8 可得 l：x2，又易知l：x2 与双曲线 E：1 有且只有一个公共点综上所述，存在总与 l 有且只有一个公共点的双曲线 E，且 E 的方程为1.