高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4-7解三角形的综合应用教师用书理苏教.doc

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1、1 / 17【2019【2019 最新最新】精选高考数学大一轮复习第四章三角函数解三精选高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形角形 4-74-7 解三角形的综合应用教师用书理苏教解三角形的综合应用教师用书理苏教1.仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图).2.方向角相对于某正方向的水平角，如南偏东 30，北偏西 45等.3.方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为(如图).【知识拓展】1.三角形的面积公式S (p)，Srp(R 为三角形外接圆半径，r 为三角形内切圆半径，p).

2、2.坡度(又称坡比)：坡面的垂直高度与水平长度之比.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)从 A 处望 B 处的仰角为 ，从 B 处望 A 处的俯角为 ，则， 的关系为 180.( )(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为0，.( )(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系.( )(4)方位角大小的范围是0，2)，方向角大小的范围一般是0，).( 2 / 17 )1.(教材改编)如图所示，设 A，B 两点在河的两岸，一测量者在 A 所在的同侧河岸边选定一点 C，测出 AC 的距离为 50 m，ACB45，CAB105后，就可以计算出

3、 A，B 两点的距离为_ m.答案 502解析 由正弦定理得，又B30，AB50(m).2.轮船 A 和轮船 B 在中午 12 时同时离开海港 C，两船航行方向的夹角为 120，两船的航行速度分别为 25 n mile/h，15 n mile/h，则下午 2 时两船之间的距离是_n mile.答案 70解析 设两船之间的距离为 d，则 d250230225030cos 1204 900，d70，即两船相距 70 n mile.3.(教材改编)海面上有 A，B，C 三个灯塔，AB10 n mile，从 A 望C 和 B 成 60视角，从 B 望 C 和 A 成 75视角，则 BC_ n mile

4、.答案 56解析 如图，在ABC 中，AB10，A60，B75，3 / 17BC5.4.如图所示，D，C，B 三点在地面的同一直线上，DCa，从 C，D 两点测得 A 点的仰角分别为 60，30，则 A 点离地面的高度AB_.答案 a解析 由已知得DAC30，ADC 为等腰三角形，ADa，又在RtADB 中，ABADa.5.在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东 30，风速是 20 km/h；水的流向是正东，流速是 20 km/h，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的方向为北偏东_，速度的大小为_ km/h.答案 60 203解

5、析 如图，AOB60，由余弦定理知OC2202202800cos 1201 200，故OC20，COY303060. 题型一 求距离、高度问题例 1 (1)如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B，C 的俯角分别为 75，30，此时气球的高 AD 是 60 m，则河流的宽度BC_ m.(2)如图，A，B 是海平面上的两个点，相距 800 m，在A 点测得山顶 C 的仰角为 45，BAD120，又在 B 点测得ABD45，其中 D 是点 C 到水平面的射影，则山高 CD_ 4 / 17m.答案 (1)120(1) (2)800(1)解析 (1)如图，在ACD 中，CAD903060，AD6

6、0 m，所以 CDADtan 6060(m).在ABD 中，BAD907515，所以 BDADtan 1560(2)(m).所以 BCCDBD6060(2)120(1) (m).(2)在ABD 中，BDA1804512015.由，得 AD800 226 24800(1)(m).CD平面 ABD，CAD45，CDAD800(1) m.思维升华 求距离、高度问题应注意(1)理解俯角、仰角的概念，它们都是视线与水平线的夹角；理解方向角的概念.(2)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.(3)确定用正弦定理还是余弦

7、定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.(1)一船以每小时 15 km 的速度向东航行，船在 A 处看到一个灯塔 B 在北偏东 60，行驶 4 h 后，船到达 C 处，看到这个灯塔在北偏东 15，这时船与灯塔的距离为_ km.5 / 17(2)如图所示，为测一树的高度，在地面上选取 A，B 两点，从 A，B两点分别测得树尖的仰角为 30，45，且 A，B 两点间的距离为 60 m，则树的高度为_m.答案 (1)30 (2)30303解析 (1)如图，由题意，BAC30，ACB105，B45，AC60 km，由正弦定理，BC30 km.(2)在PAB 中，PAB30，APB15，AB60，si

8、n 15sin(4530)sin 45cos 30cos 45sin 30，由正弦定理得，PB30()，树的高度为 PBsin 4530()22(3030)(m).题型二 求角度问题例 2 甲船在 A 处，乙船在 A 处的南偏东 45方向，距 A 有 9 海里的B 处，并以 20 海里每小时的速度沿南偏西 15方向行驶，若甲船沿南偏东 的方向，并以 28 海里每小时的速度行驶，恰能在 C 处追上乙船.问用多少小时追上乙船，并求 sin 的值.(结果保留根号，无需求近似值)解 设用 t 小时，甲船追上乙船，且在 C 处相遇，那么在ABC 中，AC28t，BC20t，AB9，ABC18015451

9、20，由余弦定理，得(28t)281(20t)22920t()，6 / 17128t260t270，解得 t或 t(舍去)，所以 AC21(海里)，BC15(海里)，根据正弦定理，得sinBAC，cosBAC .又ABC120，BAC 为锐角，所以 45BAC，sin sin(45BAC)sin 45cosBACcos 45sinBAC.思维升华 解决测量角度问题的注意事项(1)首先应明确方位角或方向角的含义；(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步；(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用.(1)(2016苏

10、州模拟)如图所示，位于 A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距 40 海里的 B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西 30、相距 20 海里的 C处的乙船，现乙船朝北偏东 的方向沿直线 CB 前往 B 处救援，则cos 的值为_.7 / 17答案 2114解析 在ABC 中，AB40，AC20，BAC120，由余弦定理得BC2AB2AC22ABACcos 1202 800BC20.由正弦定理，得BC sinBACsinACBsinBAC.由BAC120，知ACB 为锐角，则 cosACB.由 ACB30，得 cos cos(ACB30)cosACBcos 30s

11、inACBsin 30.题型三 三角形与三角函数的综合问题例 3 (2016扬州调研)在斜三角形 ABC 中，tan Atan Btan Atan B1.(1)求 C 的值；(2)若 A15，AB，求ABC 的周长.解 (1)方法一 因为 tan Atan Btan Atan B1，即 tan Atan B1tan Atan B，因为在斜三角形 ABC 中，1tan Atan B0，所以 tan(AB)1，即 tan(180C)1，即 tan C1，因为 0时，d(t)；当t时，d(t).所以 d(t)16t216t717 / 17 (t0)，当 t时，两人的距离最短.答 当 t时，两人的最短距离为 km.