高考数学大一轮复习高考专题突破五高考中的圆锥曲线问题教师用书理新人教.doc

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1、1 / 18【2019【2019 最新最新】精选高考数学大一轮复习高考专题突破五高考精选高考数学大一轮复习高考专题突破五高考中的圆锥曲线问题教师用书理新人教中的圆锥曲线问题教师用书理新人教1(2015课标全国)已知 A，B 为双曲线 E 的左，右顶点，点 M在 E 上，ABM 为等腰三角形，且顶角为 120，则 E 的离心率为( )A. B2 C. D.2答案 D解析 如图，设双曲线 E 的方程为1(a0，b0)，则|AB|2a，由双曲线的对称性，可设点 M(x1，y1)在第一象限内，过 M 作 MNx 轴于点N(x1,0)，ABM 为等腰三角形，且ABM120，|BM|AB|2a，MBN60

2、，y1|MN|BM|sinMBN2asin 60a，x1|OB|BN|a2acos 602a.将点 M(x1，y1)的坐标代入1，可得 a2b2，e ，选 D.2.如图，已知椭圆 C 的中心为原点 O，F(2，0)为 C 的左焦点，P为 C 上一点，满足|OP|OF|，且|PF|4，则椭圆 C 的方程为( )A.1 B.1C.1 D.1答案 B解析 设椭圆的标准方程为1(ab0)，焦距为 2c，右焦点为F，连接 PF，如图所示，因为 F(2，0)为 C 的左焦点，所以c2.2 / 18由|OP|OF|OF|知，FPF90，即 FPPF.在 RtPFF中，由勾股定理，得|PF|8.由椭圆定义，得

3、|PF|PF|2a4812，所以 a6，a236，于是 b2a2c236(2)216，所以椭圆的方程为1.3(2017太原质检)已知 A，B 分别为椭圆1(ab0)的右顶点和上顶点，直线 ykx(k0)与椭圆交于 C，D 两点，若四边形 ACBD 的面积的最大值为 2c2，则椭圆的离心率为( )A. B. C. D.22答案 D解析 设 C(x1，y1)(x10)，D(x2，y2)，将 ykx 代入椭圆方程可解得 x1，x2，则|CD|x1x2|.又点 A(a,0)到直线 ykx 的距离 d1，点 B(0，b)到直线 ykx 的距离 d2，所以 S 四边形 ACBDd1|CD|d2|CD|(d

4、1d2)|CD|2ab 1k2b2a2k2ab.令 t，则 t212abk b2a2k212ab12ab2，当且仅当a2k，即 k时，tmax，所以 S 四边形 ACBD 的最大值为 ab.3 / 18由条件，有 ab2c2，即 2c4a2b2a2(a2c2)a4a2c2,2c4a2c2a40,2e4e210，解得 e2或 e21(舍去)，所以 e，故选 D.4(2016北京)双曲线1(a0，b0)的渐近线为正方形 OABC的边 OA，OC 所在的直线，点 B 为该双曲线的焦点，若正方形 OABC 的边长为 2，则 a_.答案 2解析 设 B 为双曲线的右焦点，如图所示四边形 OABC 为正方

5、形且边长为 2，c|OB|2，又AOB，tan1，即 ab.又 a2b2c28，a2.5已知双曲线1(a0，b0)和椭圆1 有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为_答案 1解析 由题意得，双曲线1(a0，b0)的焦点坐标为(，0)，(，0)，c且双曲线的离心率为2a2，b2c2a23，双曲线的方程为1.题型一 求圆锥曲线的标准方程例 1 已知椭圆 E：1(ab0)的右焦点为 F(3,0)，过点 F 的直线交 E 于 A、B 两点若 AB 的中点坐标为(1，1)，则 E 的方程为( )4 / 18A.1 B.1C.1 D.1答案 D解析 设 A(x1，y1)、B(x2

6、，y2)，所以运用点差法，所以直线 AB 的斜率为 k，设直线方程为 y(x3)，联立直线与椭圆的方程得(a2b2)x26b2x9b2a40，所以 x1x22，又因为 a2b29，解得 b29，a218.思维升华 求圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，主要利用圆锥曲线的定义、几何性质，解得标准方程中的参数，从而求得方程(2015天津)已知双曲线1(a0，b0 )的一个焦点为 F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x2)2y23 相切，则双曲线的方程为( )A.1 B.1 C.y21 Dx21答案 D解析 双曲线1 的一个焦点为 F(2,0)，则 a2b24，双曲线的渐近线方程为 yx，由题意得，

7、联立解得 b，a1，所求双曲线的方程为 x21，选 D.题型二 圆锥曲线的几何性质5 / 18例 2 (1)(2015湖南)若双曲线1 的一条渐近线经过点(3，4)，则此双曲线的离心率为( )A. B. C. D.5 3(2)(2016天津)设抛物线(t 为参数，p0)的焦点为 F，准线为 l.过抛物线上一点 A 作 l 的垂线，垂足为 B.设 C，AF 与 BC 相交于点 E.若|CF|2|AF|，且ACE 的面积为 3，则 p 的值为_答案 (1)D (2)6解析 (1)由条件知 yx 过点(3，4)，4，即 3b4a，9b216a2，9c29a216a2，25a29c2，e.故选 D.(

8、2)由(p0)消去 t 可得抛物线方程为 y22px(p0)，F，|AB|AF|p，可得 A(p，p)易知AEBFEC，故 SACESACF3pp1 2p23，p26，p0，p.思维升华 圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点，求离心率、准线、双曲线渐近线，是常考题型，解决这类问题的关键是熟练掌握各性质的定义，及相关参数间的联系掌握一些常用的结论及变形技巧，有助于提高运算能力已知椭圆1(ab0)与抛物线 y22px(p0)有相同的焦点 F，P，Q 是椭圆与抛物线的交点，若 PQ 经过焦点 F，则椭圆1(ab0)的离心率为_6 / 18答案 1解析 因为抛物线 y22px(p0)的焦点 F 为，设椭

9、圆另一焦点为 E.当 x时，代入抛物线方程得yp，又因为 PQ 经过焦点 F，所以 P 且 PFOF.所以|PE| p，|PF|p，|EF|p.故 2a pp,2cp，e1.题型三 最值、范围问题例 3 若直线 l：y过双曲线1(a0，b0)的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线平行(1)求双曲线的方程；(2)若过点 B(0，b)且与 x 轴不平行的直线和双曲线相交于不同的两点 M，N，MN 的垂直平分线为 m，求直线 m 在 y 轴上的截距的取值范围解 (1)由题意，可得 c2，所以 a23b2，且 a2b2c24，解得 a，b1.故双曲线的方程为y21.(2)由(1)知 B(0,1)，依题意可

10、设过点 B 的直线方程为ykx1(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)由得(13k2)x26kx60，所以 x1x2，36k224(13k2)12(23k2)00b0)和椭圆T2：1(bc0)组成，当 a，b，c 成等比数列时，称曲线 为“猫眼” (1)若“猫眼曲线” 过点 M(0，)，且 a，b，c 的公比为，求“猫眼曲线” 的方程；(2)对于(1)中的“猫眼曲线”，任作斜率为 k(k0)且不过原点的直线与该曲线相交，交椭圆 T1 所得弦的中点为 M，交椭圆 T2 所得弦的中点为 N，求证：为与 k 无关的定值；(3)若斜率为的直线 l 为椭圆 T2 的切线，且交椭圆 T1 于点 A，

11、B，N为椭圆 T1 上的任意一点(点 N 与点 A，B 不重合)，求ABN 面积的最大值8 / 18(1)解 由题意知，b，a2，c1，T1：1，T2：x21.(2)证明 设斜率为 k 的直线交椭圆 T1 于点 C(x1，y1)，D(x2，y2) ，线段 CD 的中点为 M(x0，y0)，x0，y0，由得0.x1x2x1x2 4k 存在且 k0，x1x2 且 x00，故上式整理得，即 kkOM.同理，kkON2，.(3)解 设直线 l 的方程为 yxm，联立方程得Error!整理得(b22c2)x22mc2xm2c2b2c20，由 0 化简得 m2b22c2，取 l1：yx.联立方程Error

12、!化简得(b22a2)x22ma2xm2a2b2a20.由 0 得 m2b22a2，取 l2：yx，l1，l2 两平行线间距离d，又|AB|，9 / 18ABN 的面积最大值为 S|AB|d.题型四 定值、定点问题例 4 (2016全国乙卷)设圆 x2y22x150 的圆心为 A，直线l 过点 B(1,0)且与 x 轴不重合，l 交圆 A 于 C，D 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E.(1)证明|EA|EB|为定值，并写出点 E 的轨迹方程；(2)设点 E 的轨迹为曲线 C1，直线 l 交 C1 于 M，N 两点，过 B 且与 l垂直的直线与圆 A 交于 P，Q 两点，求四边

13、形 MPNQ 面积的取值范围解 (1)因为|AD|AC|，EBAC，故EBDACDADC，所以|EB|ED|，故|EA|EB|EA|ED|AD|.又圆 A 的标准方程为(x1)2y216，从而|AD|4，所以|EA|EB|4.由题设得 A(1,0)，B(1,0)，|AB|2，由椭圆定义可得点 E 的轨迹方程为1(y0)(2)当 l 与 x 轴不垂直时，设 l 的方程为 yk(x1)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)由得(4k23)x28k2x4k2120.则 x1x2，x1x2，所以|MN|x1x2|.过点 B(1,0)且与 l 垂直的直线 m：y(x1)，点 A 到 m 的距离为，

14、所以|PQ|24.故四边形 MPNQ 的面积S|MN|PQ|12.10 / 18可得当 l 与 x 轴不垂直时，四边形 MPNQ 面积的取值范围为(12,8)当 l 与 x 轴垂直时，其方程为 x1，|MN|3，|PQ|8，四边形MPNQ 的面积为 12.综上，四边形 MPNQ 面积的取值范围为12,8)思维升华 求定点及定值问题常见的方法有两种(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值(2016北京)已知椭圆 C：1(ab0)的离心率为，A(a,0)，B(0，b)，O(0,0)，OAB 的面积为 1.(1)求椭圆 C 的

15、方程；(2)设 P 是椭圆 C 上一点，直线 PA 与 y 轴交于点 M，直线 PB 与 x 轴交于点 N.求证：|AN|BM|为定值(1)解 由已知，ab1.又 a2b2c2，解得 a2，b1，c.椭圆方程为y21.(2)证明 由(1)知，A(2,0)，B(0,1)设椭圆上一点 P(x0，y0)，则y1.当 x00 时，直线 PA 方程为 y(x2)，令 x0，得 yM.从而|BM|1yM|.直线 PB 方程为 yx1.令 y0，得 xN.|AN|2xN|.|AN|BM|12y0 x02|11 / 18|x02y02 x02|x2 04y2 04x0y04x08y04 x0y0x02y02|

16、4.当 x00 时，y01，|BM|2，|AN|2，|AN|BM|4.故|AN|BM|为定值题型五 探索性问题例 5 (2015广东)已知过原点的动直线 l 与圆C1：x2y26x50 相交于不同的两点 A，B.(1)求圆 C1 的圆心坐标；(2)求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程；(3)是否存在实数 k，使得直线 L：yk(x4)与曲线 C 只有一个交点？若存在，求出 k 的取值范围；若不存在，说明理由解 (1)圆 C1：x2y26x50 化为(x3)2y24，圆 C1 的圆心坐标为(3,0)(2)设 M(x，y)，A，B 为过原点的直线 l 与圆 C1 的交点，且 M 为 AB

17、的中点，由圆的性质知 MC1MO，0.又(3x，y)，(x，y)，由向量的数量积公式得 x23xy20.易知直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 ymx，当直线 l 与圆 C1 相切时，d2，解得 m.12 / 18把相切时直线 l 的方程代入圆 C1 的方程，化简得 9x230x250，解得 x.当直线 l 经过圆 C1 的圆心时，M 的坐标为(3,0)又直线 l 与圆 C1 交于 A，B 两点，M 为 AB 的中点，0 时，若 x3 是方程的解，则 f(3)0k0另一根为 x00)的焦点为 F，A 为 C 上异于原点的任意一点，过点 A 的直线 l 交 C 于另一点 B，交 x 轴的

18、正半轴于点 D，且有|FA|FD|.当点 A 的横坐标为 3 时，ADF 为正三角形(1)求 C 的方程；(2)若直线 l1l，且 l1 和 C 有且只有一个公共点 E，证明直线 AE 过定点，并求出定点坐标ABE 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由(1)解 由题意知 F(，0)设 D(t,0)(t0)，则 FD 的中点为(，0)因为|FA|FD|，由抛物线的定义知 3，解得 t3p 或 t3(舍去)由3，解得 p2.所以抛物线 C 的方程为 y24x.(2)证明 由(1)知 F(1,0)设 A(x0，y0)(x0y00)，D(xD,0)(xD0)因为|FA|FD

19、|，则|xD1|x01，由 xD0，得 xDx02，故 D(x02,0)，故直线 AB 的斜率 kAB.因为直线 l1 和直线 AB 平行，设直线 l1 的方程为 yxb，14 / 18代入抛物线方程得 y2y0，由题意 0，得 b.设 E(xE，yE)，则 yE，xE.当 y4 时，kAE，可得直线 AE 的方程为 yy0(xx0)由 y4x0，整理可得 y(x1)，直线 AE 恒过点 F(1,0)当 y4 时，直线 AE 的方程为 x1，过点 F(1,0)，所以直线 AE 过定点 F(1,0)解 由知直线 AE 过焦点 F(1,0)，所以|AE|AF|FE|(x01)x02.设直线 AE

20、的方程为xmy1.因为点 A(x0，y0)在直线 AE 上，故 m.设 B(x1，y1)直线 AB 的方程为 yy0(xx0)，由于 y00，可得 xy2x0，代入抛物线方程得 y2y84x00，所以 y0y1，可求得 y1y0，x1x04.所以点 B 到直线 AE 的距离为d|4 x0x04m(y08 y0)1|1m24.则ABE 的面积S416，当且仅当x0，即 x01 时等号成立15 / 18所以ABE 的面积的最小值为 16.1(2017石家庄质检)已知椭圆 E：1 的右焦点为 F(c,0)且abc0，设短轴的一个端点为 D，原点 O 到直线 DF 的距离为，过原点和 x 轴不重合的直

21、线与椭圆 E 相交于 C，G 两点，且|4.(1)求椭圆 E 的方程；(2)是否存在过点 P(2,1)的直线 l 与椭圆 E 相交于不同的两点 A，B且使得 24成立？若存在，试求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由解 (1)由椭圆的对称性知|2a4，a2.又原点 O 到直线 DF 的距离为，bc，又 a2b2c24，abc0，b，c1.故椭圆 E 的方程为1.(2)当直线 l 与 x 轴垂直时不满足条件故可设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线 l 的方程为 yk(x2)1，代入椭圆方程得(34k2)x28k(2k1)x16k216k80，x1x2，x1x2，32(6k3)0，k.

22、24，即 4(x12)(x22)(y11)(y21)5，4(x12)(x22)(1k2)5，即 4x1x22(x1x2)4(1k2)5，424(1k2)45，解得 k，k不符合题意，舍去16 / 18存在满足条件的直线 l，其方程为 yx.2已知双曲线 C：1(a0，b0)的焦距为 3，其中一条渐近线的方程为 xy0.以双曲线 C 的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E，过原点 O 的动直线与椭圆 E 交于 A，B 两点(1)求椭圆 E 的方程；(2)若点 P 为椭圆 E 的左顶点，2，求|2|2 的取值范围解 (1)由双曲线1 的焦距为 3，得 c，a2b2.由题意知，由解得 a23，b2，椭

23、圆 E 的方程为y21.(2)由(1)知 P(，0)设 G(x0，y0)，由2，得(x0，y0)2(x0，y0)即解得G(，0)设 A(x1，y1)，则 B(x1，y1)，|2|2(x1)2y(x1)2y2 12x2y2x3x2 3x.又x1，x0,3，x，|2|2 的取值范围是，3(2016北京顺义尖子生素质展示)已知椭圆1 的左顶点为 A，右焦点为 F，过点 F 的直线交椭圆于 B，C 两点(1)求该椭圆的离心率；17 / 18(2)设直线 AB 和 AC 分别与直线 x4 交于点 M，N，问：x 轴上是否存在定点 P 使得 MPNP？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由解 (1

24、)由椭圆方程可得 a2，b，从而椭圆的半焦距 c1.所以椭圆的离心率为 e.(2)依题意，直线 BC 的斜率不为 0，设其方程为 xty1.将其代入1，整理得(43t2)y26ty90.设 B(x1，y1)，C(x2，y2)，所以 y1y2，y1y2.易知直线 AB 的方程是 y(x2)，从而可得 M(4，)，同理可得 N(4，)假设 x 轴上存在定点 P(p,0)使得 MPNP，则有0. 所以(p4)20.将 x1ty11，x2ty21 代入上式，整理得(p4)20，所以(p4)20，即(p4)290，解得 p1 或 p7.所以 x 轴上存在定点 P(1,0)或 P(7,0)，使得 MPNP

25、.*4.已知椭圆1(ab0)的离心率为，且经过点 P(1，)，过它的左，右焦点 F1，F2 分别作直线 l1 与 l2，l1 交椭圆于 A，B 两点，l2 交椭圆于 C，D 两点，且 l1l2（如图所示）.18 / 18(1)求椭圆的标准方程；(2)求四边形 ACBD 的面积 S 的取值范围解 (1)由a2c，a24c2，b23c2，将点 P 的坐标代入椭圆方程得 c21，故所求椭圆方程为1.(2)若 l1 与 l2 中有一条直线的斜率不存在，则另一条直线的斜率为 0，此时四边形的面积 S6.若 l1 与 l2 的斜率都存在，设 l1 的斜率为 k，则 l2 的斜率为，则直线 l1 的方程为 yk(x1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程组Error!消去 y 并整理得(4k23)x28k2x4k2120.x1x2，x1x2，|x1x2|，|AB|x1x2|，注意到方程的结构特征和图形的对称性，可以用代替中的 k，得|CD|，S|AB|CD|，令 k2t(0，)，S612t225t126t 12t225t1266，当且仅当 t1 时等号成立，S，6)，综上可知，四边形 ABCD 的面积 S，6