2022年空间角和距离测试4.doc

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1、空间角和间隔一、选择题（本大题共10个小题，每题5分，共50分在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合标题要求的）1直线m与平面间间隔为d，那么到m与间隔都等于2d的点的集合是（ ）A一个平面 B一条直线 C两条直线 D空集2异面直线a、b所成的角为q，a、b与平面a都平行，b平面b，则直线a与平面b所成的角 （ ）A与q相等 B与q互余 C与q互补 D与q不能相等3在正方体ABCDABCD中，BC与截面BBDD所成的角为 （ ）A B C Darctan24在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2及G2G3的中点，D是EF的中点，如今沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使

2、G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，那么，在四面体SEFG中必有 （ ）ASGEFG所在平面BSDEFG所在平面CGFSEF所在平面DGDSEF所在平面5有一山坡，它的倾斜角为30，山坡上有一条小路与斜坡底线成45角，某人沿这条小路向上走了200米，则他升高了 （ ）A100米 B50米 C25米 D50米6已经知道三棱锥DABC的三个侧面与底面全等，且ABAC，BC2，则以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角的大小为 （ ）AarccosBarccosC D7正四面体ABCD中E、F分别是棱BC和AD之中点，则EF和AB所成的角（ ）A45 B60 C90 D308把A=60，

3、边长为a的菱形ABCD沿对角线BD折成60的二面角，则AC与BD的间隔为 （ ）A aB a C aD a9假设正三棱锥的侧面均为直角三角形，侧面与底面所成的角为，则以下各等式中成立的是 （ ）A0B C D10已经知道A（1，1，1），B（1，0 ，4），C（2 ，2，3），则，的大小为（ ）A B CD二、填空题（本大题共4小题，每题6分，共24分）11从平面a外一点P引斜线段PA和PB，它们与a分别成45和30角，则APB的最大值是_最小值是_12DABC中ACB=90，PA平面ABC，PA=2，AC=2，则平面PBC与平面PAC，平面ABC所成的二角的大小分别是_、_13在三棱锥中，又

4、，则点到平面的间隔是14球的半径为8，通过球面上一点作一个平面，使它与通过这点的半径成45角，则这个平面截球的截面面积为 三、解答题（共计76分）15（本小题总分值12分）已经知道SA平面ABC，SA=AB，ABBC，SB=BC，E是SC的中点，DESC交AC于D（1） 求证：SC面BDE；（2）求二面角EBDC的大小16（本小题总分值12分）如图，点为斜三棱柱的侧棱上一点，交于点， 交于点 (1) 求证：； (2) 在任意中有余弦定理：拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明17（本小题总分值12分）如图，四棱锥SABCD

5、的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB= （1）求证BCSC； （2）求面ASD与面BSC所成二面角的大小； （3）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的 大小18（本小题总分值12分）在直角梯形ABCD中，D=BAD=90,AD=DC=AB=a,(如图一)将ADC 沿AC折起，使D到记面AC为a,面ABC为b面BC为g （1）假设二面角a-AC-b为直二面角（如图二），求二面角b-BC-g的大小;（2）假设二面角a-AC-b为60（如图三），求三棱锥-ABC的体积19（本小题总分值14分）如图，已经知道正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1

6、，M是线段EF的中点（1）求证AM/平面BDE；（2）求二面角A-DF-B的大小；（3）试在线段AC上确定一点P，使得PF与BC所成的角是6020（此题总分值14分）如图，正方形、的边长都是1，而且平面、互相垂直点在上挪动，点在上挪动，假设（1）求的长；（2）当为何值时，的长最小；（3）当长最小时，求面与面所成的二面角的大小参考答案一选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分）题号12345678910答案CBCABCAADD二填空题（本大题共4小题，每题6分，共24分）11750 ,150 12900 ,300 13 14 三、解答题（本大题共6题，共76分）15(12分) （1）证明：（

7、1）SB=BC E是SC的中点 BESC DESCSC面BDE（2）解：由（1）SCBDSA面ABCSABDBD面SACEDC为二面角E-BD-C的平面角设SA=AB=a,则SB=BC=16(12分) (1) 证：； (2) 解：在斜三棱柱中，有，其中为 平面与平面所组成的二面角上述的二面角为,在中， 由于， 有17(12分) （1）证法一：如，底面ABCD是正方形， BCDCSD底面ABCD，DC是SC在平面ABCD上的射影，图1由三垂线定理得BCSC证法二：如图1，底面ABCD是正方形， BCDCSD底面ABCD，SDBC，又DCSD=D，BC平面SDC，BCSC（2）解：如图2，过点S作

8、直线在面ASD上，底面ABCD为正方形，在面BSC上，为面ASD与面BSC的交线CSD为面ASD与面BSC所成二面角的平面角（以下同解法一）图2（3）解1：如图2，SD=AD=1，SDA=90，SDA是等腰直角三角形又M是斜边SA的中点，DMSABAAD，BASD，ADSD=D，BA面ASD，SA是SB在面ASD上的射影由三垂线定理得DMSB异面直线DM与SB所成的角为90图3解2：如图3，取AB中点P，连结MP，DP在ABS中，由中位线定理得 MP/SB，是异面直线DM与SB所成的角，又在DMP中，有DP2=MP2+DM2，异面直线DM与SB所成的角为9018(12分) 解：（1）在直角梯形

9、ABCD中， 由已经知道DAC为等腰直角三角形， , 过C作CHAB，由AB=2， 可推得 AC=BC= ACBC 取 AC的中点E，连结，则 AC 又 二面角为直二面角， 又 平面 BC BC，而， BC 为二面角的平面角由于， 二面角为 （2）取AC的中点E，连结，再过作，垂足为O，连结OE AC， AC 为二面角的平面角， 在中， 19（14分）解法一: (1)记AC与BD的交点为O,连接OE, O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形，四边形AOEM是平行四边形，AMOE平面BDE， 平面BDE，AM平面BDE(2)在平面AFD中过A作ASDF于S，连结BS，ABAF， ABAD，

10、 AB平面ADF，AS是BS在平面ADF上的射影，由三垂线定理得BSDFBSA是二面角ADFB的平面角在RtASB中，二面角ADFB的大小为60（3）设CP=t（0t2）,作PQAB于Q，则PQAD，PQAB，PQAF，PQ平面ABF，平面ABF，PQQF在RtPQF中，FPQ=60，PF=2PQPAQ为等腰直角三角形，又PAF为直角三角形，因此t=1或t=3(舍去),即点P是AC的中点解法二： （1）建立如下图的空间直角坐标系设，连接NE， 则点N、E的坐标分别是（、（0,0,1）, , 又点A、M的坐标分别是,（ =（且NE与AM不共线，NEAM又平面BDE， 平面BDE，AM平面BDF（2）AFAB，ABAD，AFAB平面ADF为平面DAF的法向量=（=0，=（=0得，NE为平面BDF的法向量cos=AB与NE的夹角是60即所求二面角ADFB的大小是60（3）设P(t,t,0)(0t)得=（，0，0）又PF和BC所成的角是60解得或（舍去），即点P是AC的中点20(14分) 解：（1）作交于点，交于点，连结，依题意可得，且，即是平行四边形由已经知道，又，即（2）由（），,因此，当时，即、分别挪动到、的中点时，的长最小，最小值为（3）取的中点，连结、，为的中点， 即为二面角的平面角,又，因此，由余弦定理有, 故所求二面角