2022年第四章《三角函数》提高测试题.doc

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1、提高测试（一）（一）选择题（每题3分，共30分）1以下命题中，真命题是（ ）（A）假设sin a0，则 （B）假设sin a0，则cos a0（C）假设tan a0，则sin 2a 0 （D）假设cos a 0，则cos 2a0【提示】依照三角函数值的符号，确定角a 所在的象限，再由角，2 a 所在的象限，推断相应三角函数值的符号【答案】（C）【点评】 此题考察三角函值的符号由sin a 0，得2kpa 2kpp（kZ），因此kpkp（kZ），知是第一或第三象限角，故排除（A）由sin a0，得a 是第一或第二象限角，排除（B）由cos a 0，得2kpa 2kp（kZ），因此4kpp2a 4

2、kp3p （kZ），如今，2a 可能是任何象限的角，排除（D）而由tan a0，知kpa kp（kZ），因此2kp2a 2kpp，如今sin 2a 0成立2假设f（cos x）cos 2x，则f（sin 15）的值是（ ）（A） （B） （C） （D）【提示一】由f（cos x）cos 2x2 cos2 x1，得f（x）2x21，因此f（sin 15）2 (sin 15)21cos30【提示二】f（sin 15）f（cos 75）cos 150cos30【答案】（D）【点评】此题结合函数的概念考察二倍角公式或诱导公式的灵敏应用3以下函数中，周期为的偶函数是（ ）（A）f（x）sin 4x，xR

3、（B）f（x）cos2 2xsin2 2x， xR（C）f（x）tan 2x，xR且x（kZ）（D）f（x）cos 2x，xR【提示】（A）、（C）中的函数为奇函数，（D）中的函数周期是p ，而关于（B），f（x）cos 4x 是周期为的偶函数【答案】（B）【点评】此题考察三角函数的奇偶性、周期性和二倍角公式4比拟，的大小顺序是（ ）（A）（B）（C）（D）【提示】cos 86，sin 5.7cos 84.3，cos100.3cos 79.7，而ycos x在（0，）为减函数，得cos 86cos 84.3cos 79.7，即【答案】（A）【点评】此题考察诱导公式及余弦函数的单调性在比拟大小时

4、，一般是先将各三角函数都化为同名的三角函数，再将各角化为第一象限的角，最后利用三角函数的单调性来比拟5要使sin a cos a 有意义，m的取值范围是（ ）（A）1，0 （B）0， （C）1， （D），4【提示】由于sin a cos a 2sin（a ），得22 ，解不等式，得m1，【答案】（C）【点评】此题考察两角差的正弦，三角函数的值域以及解不等式的有关知识6在直角三角形中两锐角为A和B，则sin A sin B（ ）（A）有最大值和最小值0（B）有最大值，但无最小值（C）既无最大值也无最小值（D）有最大值1，但无最小值【提示】由于A90，有sin A sin Bsin A cos A

5、 sin 2A又0A90，因此当A45时，sin A sin B有最大值，但2A(0，180)，sin 2A无最小值【答案】（B）【点评】此题考察三角函数的诱导公式及二倍角的正弦公式、正弦函数的有界性等知识7函数yA sin（w xj）在同一区间内，当x时，y获得最大值；当x时，y获得最小值，则函数的解析式是（ ）（A）y sin（）（B）y sin（3x）（C）y sin（）（D）y sin（3x）【提示】显然A，T 则w 3，将（，）代入y sin（3xj），得j ，因此y sin（3x）【答案】（B）【点评】此题考察三角函数y A sin（w xj）的图象和性质8以下各式中正确的选项（

6、）（A）arcsin（）（B）arcsin（sin）（C）arcsin（arcsin）（D）sinarccos（）【提示】利用反正弦函数、反余弦函数的定义【答案】（B）【点评】此题考察反正弦、反余弦的定义关于arcsin xa ，x表示角a的正弦值，且| x |1，而1，排除（A）；又1，排除（C）；由于arccos（），sin ，排除（D）而sin ，arcsin（）应选（B）9使函数ysin（2xq ） cos（2xq ）为奇函数，且在0，上是减函数的q 的一个值是（ ） （A） （B） （C） （D）【提示】由于y2 sin（2xq ）为奇函数，再将各选项的q 的值逐项代入，可排除（A）

7、、（C）又x0， 时原函数为减函数，再排除（D）【答案】（B）【点评】此题考察两角和的正弦公式、函数的奇偶性以及函数的单调性10已经知道tan a ，tan b 是方程x2x40的两根，且a ，b ，则a b 等于（ ） （A） （B） （C）或 （D）或【提示】由于tan a tan b ，tan a tan b 4，则tan（ab ）同时由tan a tan b 0，tan a tan b 0，可知tan a ，tan b 均小于零， 故a 、b （，0），因此a b （p ，0），得a b 【答案】（B）【点评】此题考察两角和的正切公式，以及综合运用韦达定理处理咨询题的才能（二）填空题（

8、每题4分，共20分）1函数y的周期T _【提示一】y tan 2x【提示二】y tan 2 x【答案】【点评】此题考察同角三角函数关系，二倍角公式及正切函数的周期性2求的值等于_【提示】【答案】【点评】此题考察二倍角公式及诱导公式以及三角恒等变形的才能3函数y在（2p，2p）内的递增区间是_【提示】y，函数y的单调递增区间由下面的条件决定：解之即可【答案】，【点评】此题考察三角函数式的恒等变形及三角函数的单调性4函数f（x），xR是奇函数，且当x0时，f（x）x2sin x，则当x0时，f（x）_【提示】当x0时，x0，由题设f（x）（x）2sin（x）x2sin x.，又f（x）为奇函数，f

9、（x）f（x），因此f（x）f（x）x2sin x【答案】x2sin x【点评】此题考察函数的概念，函数的奇偶性及运算才能5方程在p，2p上的解是_【提示】由，得kp（1）k，x2kp（1）k（kZ），当k1时，有x2pp，2p【答案】2p【点评】此题考察反正弦的定义（三）解答题（每题10分，共50分）1已经知道角a 的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在x轴的非负半轴上，终边通过点P（，2），求sin（2a ）的值【提示】画出图形，先求得sin a ，cos a 的值【答案】据已经知道，| OP | ，由三角函数的定义，sin a ，cos a 因此，sin 2a 2 sin a cos a

10、， cos 2a 2 cos2 a 1 sin（2a ）（）（）【点评】此题考察三角函数的定义，两角和的正弦、倍角公式及计算才能2设pA，0B，且cos A，cot B3，求证AB【提示】依照已经知道，先计算tan（AB）的值，再推断AB的取值范围【答案】 pA，cos A， sin A，因此，tan A2又cot B3，得tan B tan（AB）1 pA，0B， AB AB【点评】此题考察同角三角函数间的关系，两角差的正切，由三角函数值确定角的方法3已经知道cos a cos xsin g ，cos b sin xsin g ，求证sin2 a sin2 b sin2 g 2【提示】 利用

11、已经知道条件，留意到sin2 a 1cos2 a ，sin2 b 1cos2 b ，将条件代入原式的左边，化简即可【答案】左边1cos2 a 1cos2 b sin2 g 2cos2 a cos2 b sin2 g ，又cos a cos x sin g ，cos b sin x sin g ， 左边2cos2 x sin2 g sin2 x sin2 g sin2 g2sin2 g（sin2 xcos2 x）sin2 g2sin2 gsin2 g2 原结论成立【点评】此题通过三角恒等式的证明，考察三角函数恒等变形才能寻求已经知道条件与所证恒等式之间的关系是证明的关键4已经知道函数y1，xR

12、（1）当函数y获得最大值时，求自变量x的集合； （2）该函数的图象可由ysin x，xR的图象通过怎么样的平移和伸缩变换得到？【提示】利用三角函数的有关公式，对函数y进展化简【答案】 （1）y1 （2 cos2 x1）（2 sin x cos x）1 当y取最大值时，必须有2x2kp，即xkp（kZ） 当函数y获得最大值时，自变量x的集合为 xxkp，kZ（2）【解法一】将函数ysin x依次进展如下变换：把函数ysin x的图象向左平行挪动个单位长度，得到函数ysin（x）的图象；把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数ysin（2x）的图象；把得到的图象上的各点的纵坐

13、标缩短到原来的倍（横坐标不变），得到函数y的图象；把得到的图象向上平行挪动个单位长度，得到函数y的图象综上得到函数y1的图象【解法二】把函数ysin x图象上所有的点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），得到函数ysin 2x的图象；再将图象上所有的点向左平行挪动个单位长度，得函数y的图象；将得到的图象上的所有点的纵坐标缩短为原来的倍（横坐标不变），得到函数y的图象；将得到的图象向上平行挪动个单位长度，得函数y的图象【点评】此题是2000年高考题，主要考察三角函数的图象和性质，考察利用三角公式进展恒等变形的技能以及运算才能留意：在由ysin x的图象得到ysin w x的图象时，是把ysin

14、x的图象上所有点的横坐标伸长（或缩短）到原来的倍（纵坐标不变），而不是w 倍5设函数ysin 2 xa cos xa在0x上的最大值为1，求a的值【提示】将函数y变形为y（cos x）2a，由cos x 0，1，利用二次函数的图象性质，分情况讨论【答案】 ysin 2 xa cos xa1cos 2 xa cos xa（cos x）2a由0x，得0cos x1下面对a的取值情况分类讨论： （1）当0a2时，函数y在cos x处获得最大值a，据已经知道，a1，即2a25a120，得a或a4（舍去）；（2）当a0时，函数y在cos x0时获得最大值a ，有a 1，即a（舍去）；（3）当a2时，函数y在cos x1处获得最大值，有1，即a （舍去） a 即为所求【点评】此题通过三角函数的有界性，结合二次函数的性质考察在限定区间内函数的最大（小）值的咨询题，以及综合运用数学知识处理咨询题的才能