计量经济学序列相关性.ppt

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1、计量经济学计量经济学理论理论方法方法EViewsEViews应用应用 郭存芝郭存芝 杜延军杜延军 李春吉李春吉 编著编著第七章第七章 序列相关性序列相关性 学习目的学习目的 通过本章的学习，你可以知道什么是序列相关性，序列通过本章的学习，你可以知道什么是序列相关性，序列相关性产生的原因是什么，序列相关性导致什么样的后果，相关性产生的原因是什么，序列相关性导致什么样的后果，怎样检验和处理具有序列相关性的模型。怎样检验和处理具有序列相关性的模型。基本要求基本要求1）掌握序列相关性的概念、序列相关性的后果和检验方法；）掌握序列相关性的概念、序列相关性的后果和检验方法；2）了解广义最小二乘法和广义差分

2、法原理；）了解广义最小二乘法和广义差分法原理；3）能运用广义差分法和广义最小二乘法估计线性回归模型。）能运用广义差分法和广义最小二乘法估计线性回归模型。序列相关性及其产生原因序列相关性及其产生原因 序列相关性的影响序列相关性的影响序列相关性的检验序列相关性的检验序列相关的补救序列相关的补救第七章第七章 序列相关性序列相关性第一节第一节 序列相关性及其产生原因序列相关性及其产生原因、序列相关性的含义、序列相关性的含义对于多元线性回归模型对于多元线性回归模型(7-1)在其他假设仍然成立的条件下，随机干扰项序列相关意味着在其他假设仍然成立的条件下，随机干扰项序列相关意味着如果仅存在如果仅存在则称为则

3、称为一阶序列相关或自相关一阶序列相关或自相关（简写为（简写为AR(1)，这是常见的一种序列相关问题。，这是常见的一种序列相关问题。（7-3）（7-2）自相关往往可以写成如下形式：自相关往往可以写成如下形式：（7-4）其中其中称称为为自自协协方差系数或一方差系数或一阶阶自回自回归归系数，系数，是是满满足以下足以下标标准准OLS假定的随机干假定的随机干扰项扰项：由于序列相关性经常出现在以时间序列数据为样本的模型中，因此，由于序列相关性经常出现在以时间序列数据为样本的模型中，因此，本节下面将代表不同样本点的下表本节下面将代表不同样本点的下表i用用t 表示。表示。二、序列相关的原因二、序列相关的原因1

4、 1经济数据序列惯性经济数据序列惯性2 2模型设定的偏误模型设定的偏误3 3滞后效应滞后效应4 4蛛网现象蛛网现象5 5数据的编造数据的编造1 1经济数据序列惯性经济数据序列惯性 GDP、价格指数、消费等时间序列数据通常表现为周期循环。当经、价格指数、消费等时间序列数据通常表现为周期循环。当经济衰退的谷底开始复苏时，大多数经济序列开始上升，在上升期间，序济衰退的谷底开始复苏时，大多数经济序列开始上升，在上升期间，序列在每一时刻的值都高于前一时刻的值。看来有一种内在的动力驱使这列在每一时刻的值都高于前一时刻的值。看来有一种内在的动力驱使这一势头继续下去，直至某些情况出现（如利率或税收提高）才把它

5、拖慢一势头继续下去，直至某些情况出现（如利率或税收提高）才把它拖慢下来。下来。因此，在涉及时间序列的回归中，相继的观测值很可能是相互依赖的。因此，在涉及时间序列的回归中，相继的观测值很可能是相互依赖的。比如：比如：2 2模型设定的偏误模型设定的偏误定义：定义：指所设定的模型指所设定的模型“不正确不正确”，主要表现在模型中丢掉了重要的解释，主要表现在模型中丢掉了重要的解释变量或模型函数形式有偏误。变量或模型函数形式有偏误。例例1：本来应该估计的模型为本来应该估计的模型为（7-5）但在进行回归时，却把模型设定为如下形式：但在进行回归时，却把模型设定为如下形式：7-6）（丢掉了重要的解释变量）（丢掉

6、了重要的解释变量）2 2模型设定的偏误模型设定的偏误定义：定义：指所设定的模型指所设定的模型“不正确不正确”，主要表现在模型中丢掉了重要的解释，主要表现在模型中丢掉了重要的解释变量或模型函数形式有偏误。变量或模型函数形式有偏误。例例2：（模型函数形式有偏误）（模型函数形式有偏误）（7-7）在成本在成本产出研究中，如果真实的边际成本的模型为：产出研究中，如果真实的边际成本的模型为：其中其中Y代表边际成本，代表边际成本，X代表产出。代表产出。（7-8）但是如果建模时设立了如下回归模型但是如果建模时设立了如下回归模型：3 3滞后效应滞后效应 考虑一个消费支出对收入进行回归的时间序列模型，人们常常发考

7、虑一个消费支出对收入进行回归的时间序列模型，人们常常发现当期的消费支出除了依赖其他当期收入外，还依赖前期的消费支出，现当期的消费支出除了依赖其他当期收入外，还依赖前期的消费支出，即回归模型为：即回归模型为：（7-9）其中，其中，C是消费，是消费，Y是收入。是收入。类似（类似（7-9）式的回归模型被称为）式的回归模型被称为自回归模型自回归模型 由于心理上、技术上以及制度上的原因，消费者不会轻易改变其消费由于心理上、技术上以及制度上的原因，消费者不会轻易改变其消费习惯，如果我们忽视（习惯，如果我们忽视（7-9）式中的滞后消费对当前消费的影响，那所带来）式中的滞后消费对当前消费的影响，那所带来的误差

8、项就会体现出一种系统性的模式。的误差项就会体现出一种系统性的模式。注意：注意：4 4蛛网现象蛛网现象例如：例如：假定某农产品的供给模型为：假定某农产品的供给模型为：(7-10)假设t时期的价格Pt低于t-1时期的价格Pt-1，农民就很可能决定在时期t+1生产比t时期更少的东西。显然在这种情形中，农民由于在年度t的过量生产很可能在年度t+1消减他们的产量。诸如此类的现象，就不能期望干扰t t是随机，从而出现蛛网式的序列相关。5 5数据的编造数据的编造新生成的数据与原数据间就有了内在的联系，表现出序列相关性。新生成的数据与原数据间就有了内在的联系，表现出序列相关性。例如：例如：季度数据来自月度数据

9、的简单平均，这种平均的计算减季度数据来自月度数据的简单平均，这种平均的计算减弱了每月数据的波动而引进了数据中的匀滑性，这种匀滑性弱了每月数据的波动而引进了数据中的匀滑性，这种匀滑性本身就能使随机干扰项中出现系统性的因素，从而出现序列本身就能使随机干扰项中出现系统性的因素，从而出现序列相关性。相关性。利用数据的内插或外推技术构造的数据也会呈现某种系统性的模式。利用数据的内插或外推技术构造的数据也会呈现某种系统性的模式。一般经验表明，对于采用时间序列数据做样本的计量经济学模型，一般经验表明，对于采用时间序列数据做样本的计量经济学模型，由于在不同样本点上解释变量意外的其他因素在时间上的连续性，由于在

10、不同样本点上解释变量意外的其他因素在时间上的连续性，带来了他们对被解释变量的影响的连续性，所以往往存在序列相关性。带来了他们对被解释变量的影响的连续性，所以往往存在序列相关性。第二节第二节 序列相关性序列相关性的影响的影响1 1参数估计量非有效参数估计量非有效2 2随机误差项方差估计量是有偏的随机误差项方差估计量是有偏的3 3拟合优度检验拟合优度检验R2统计量和方程显著性检验统计量和方程显著性检验F F统计量无效统计量无效4 4变量的显著性检验变量的显著性检验t t检验统计量和相应的参数置信区间估计失去意义检验统计量和相应的参数置信区间估计失去意义5 5模型的预测失效模型的预测失效1 1参数估

11、计量非有效参数估计量非有效 根据根据OLS估计中关于参数估计量的无偏性和有效性的证明过程估计中关于参数估计量的无偏性和有效性的证明过程可以看出，当计量经济学模型出现序列相关性时，其可以看出，当计量经济学模型出现序列相关性时，其OLS参数估计参数估计量仍然具有线性无偏性，但不具有有效性。因为在有效性证明中我量仍然具有线性无偏性，但不具有有效性。因为在有效性证明中我们利用了们利用了（7-11）即同方差和相互独立性条件。而且在大样本情况下，参数估计量虽然即同方差和相互独立性条件。而且在大样本情况下，参数估计量虽然具有一致性，但仍然不具有渐近有效性。具有一致性，但仍然不具有渐近有效性。为了具体说明这一

12、点，我们回到简单的一元回归模型为了具体说明这一点，我们回到简单的一元回归模型（7-12）为方便我们不妨假定干扰项为为方便我们不妨假定干扰项为(7-4)所示的一阶序列相关：所示的一阶序列相关：(7-13)(7-14)对于干扰项为一阶序列相关的一元回归模型采用对于干扰项为一阶序列相关的一元回归模型采用OLS估计，如以前一估计，如以前一样，样，1 1的的OLS估计量为：估计量为：但但给给定干定干扰项为扰项为一一阶阶序列相关序列相关时时，的方差估的方差估计计量量现现在在为为：式中式中为为一一阶阶序列相关序列相关时时的方差。的方差。（7-16）把该式与没有干扰项自相关情形的通常公式把该式与没有干扰项自相

13、关情形的通常公式（7-15）相比，可以看出前者等于后者加上另一与自相关系数相比，可以看出前者等于后者加上另一与自相关系数和各期和各期的的样样本本协协方差有关的方差有关的项项。2 2随机误差项方差估计量是有偏的随机误差项方差估计量是有偏的 在存在干在存在干扰项扰项序列相关的情况下，序列相关的情况下，随机随机误误差方差的差方差的OLS估估计计量偏离量偏离了真了真实实的随机的随机误误差差项项的方差的方差。以一元回归模型为例，在经以一元回归模型为例，在经典假设情况下，干扰项的典假设情况下，干扰项的OLS方差估计量方差估计量是真是真实实的的的无偏估的无偏估计计，即有，即有。但若随机但若随机误误差差项项存

14、在一存在一阶阶序列相关序列相关 则可以证明：则可以证明：式中式中为为X的相的相继观测值继观测值之之间间的的样样本相关系数。本相关系数。3 3拟合优度检验拟合优度检验R2统计量和方程显著性检验统计量和方程显著性检验F统计量无效统计量无效 由于在序列相关时由于在序列相关时OLS对随机误差方差估计有偏，结果基于对随机误差方差估计有偏，结果基于OLS残差平方和计算出来的拟合优度检验统计量残差平方和计算出来的拟合优度检验统计量R2也失去意义，也失去意义，相应的方程显著性检验统计量相应的方程显著性检验统计量F统计量也无效。统计量也无效。4 4变量的显著性检验变量的显著性检验t t 检验统计量和相应的参数置

15、检验统计量和相应的参数置 信区间估计失去意义信区间估计失去意义 用用OLS法估计序列相关的模型得到的随机误差项的方差不仅是法估计序列相关的模型得到的随机误差项的方差不仅是有偏的，而且这一偏误也将传递到用有偏的，而且这一偏误也将传递到用OLS方法得到的参数估计量方法得到的参数估计量的方差中来，从而使得建立在的方差中来，从而使得建立在OLS参数估计量方差基础上的变量参数估计量方差基础上的变量显著性检验失去意义。显著性检验失去意义。没有被低估，通常没有被低估，通常OLS参数估参数估计计量的方差式（量的方差式（7-16）即使随机误差的方差即使随机误差的方差也是存在一阶序列相关时参数估计量方差的偏误估计

16、量。也是存在一阶序列相关时参数估计量方差的偏误估计量。以一元回以一元回归归模型模型为为例，例，5 5模型的预测失效模型的预测失效 在存在序列相关时在存在序列相关时OLS估计的随机误差项方差有偏，参数估计量方估计的随机误差项方差有偏，参数估计量方差非有效，这样回归模型的被解释变量的预测值及预测区间就不准确，差非有效，这样回归模型的被解释变量的预测值及预测区间就不准确，预测精度降低。预测精度降低。被解释变量预测值区间与模型参数和随机误差的估计量的方差有关。被解释变量预测值区间与模型参数和随机误差的估计量的方差有关。所以，当模型出现序列相关时，它的预测功能失效。所以，当模型出现序列相关时，它的预测功

17、能失效。第三节第三节 序列相关性的序列相关性的检验检验不同的检验方法的共同思路不同的检验方法的共同思路:序列相关性的检验方法有多种，如冯诺曼比检验法、回归检验法、序列相关性的检验方法有多种，如冯诺曼比检验法、回归检验法、D.W.检验法等。检验法等。首先采用普通最小二乘法估首先采用普通最小二乘法估计计模型，模型，以得到随机干扰项的近似估以得到随机干扰项的近似估计量，我们用计量，我们用表示表示近似估计量：近似估计量：（7-19）然后通过分析这些近似估计量之间的相关性以达到判断随机干扰然后通过分析这些近似估计量之间的相关性以达到判断随机干扰项是否具有序列相关性的目的。项是否具有序列相关性的目的。序列

18、相关性的检验方法序列相关性的检验方法一、图示法一、图示法二、回归检验法二、回归检验法三、杜宾三、杜宾沃森检验沃森检验四、拉格朗日乘子检验四、拉格朗日乘子检验一、图示法一、图示法 由于残差由于残差 可以作可以作为为随机随机误误差差 的估的估计计，因此，如果，因此，如果 存在序列相关性，存在序列相关性，反映出来，因此可以利用反映出来，因此可以利用 的的变变化来判断随机干化来判断随机干扰项扰项的序列的序列必然会由残差项必然会由残差项相关性，如图相关性，如图71所示。所示。二二、回归检验法回归检验法，（7-20）（7-21）等等为为解解释变释变量，量，以以 为为解解释变释变量，以各种可能的相关量，以各

19、种可能的相关变变量，量，诸诸如如 ，建立各种方程：建立各种方程：对方程进行估计并进行显著性检验，如果存在某一种函数形式，使得方对方程进行估计并进行显著性检验，如果存在某一种函数形式，使得方程显著成立，则说明原模型存在序列相关性。程显著成立，则说明原模型存在序列相关性。一旦确定了模型存在序列相关性，也就同时知道了相关的形式，而且它一旦确定了模型存在序列相关性，也就同时知道了相关的形式，而且它适用于任何类型的序列相关性问题的检验。适用于任何类型的序列相关性问题的检验。优点：优点：三、三、杜宾杜宾沃森检验沃森检验 D-W检验是杜宾（检验是杜宾（J.Durbin）和沃森（）和沃森（G.S.Watson

20、）于）于1951年提出年提出的一种检验序列自相关的方法。虽然该方法很常用，但它有一些的一种检验序列自相关的方法。虽然该方法很常用，但它有一些基本假定基本假定：（1）回归含有截距项。）回归含有截距项。（2）解释变量）解释变量X是非随机的，或者在重复抽样中被固定的。是非随机的，或者在重复抽样中被固定的。（3）随机干）随机干扰项扰项 为为一一阶阶自回自回归归形式：形式：。（4）回归模型中不应把滞后应变量作为解释变量之一，即不应出现如下形式模型：）回归模型中不应把滞后应变量作为解释变量之一，即不应出现如下形式模型：（5）没有缺失数据。）没有缺失数据。杜杜宾宾沃森沃森针对针对原假原假设设 ，即，即 不存

21、在一不存在一阶阶自相关，构造如下自相关，构造如下统计统计量：量：（7-22）因因为为D.W.值值要从要从中算出，而中算出，而又依又依赖赖于于给给定的定的X的的值值。检验检验，它没有唯一的，它没有唯一的临临界界值值可以可以导导出拒出拒绝绝或或和下限和下限，且，且这这些上下限只与些上下限只与因此因此D-W检验不同于检验不同于t、F或或接受原假设。但他们成功导出了临界值的上限接受原假设。但他们成功导出了临界值的上限样本容量样本容量n和解释变量的个数有关，而与解释变量的取值无关。和解释变量的个数有关，而与解释变量的取值无关。杜宾杜宾沃森证明该统计量的分布与出现在给定样本中的沃森证明该统计量的分布与出现

22、在给定样本中的X值有复杂的关系，值有复杂的关系，其准确的抽样或概率分布很难得到；其准确的抽样或概率分布很难得到；因此，在运用因此，在运用D-W检验时检验时，只，只须计须计算算该统计该统计量的量的值值，再根据，再根据样样本容量本容量n 和和 ，然后按下列准，然后按下列准则则考察考察 和解释变量数目和解释变量数目k查查D.W.分布表，得到临界值分布表，得到临界值 计算得到的计算得到的D.W.值，以判断模型的自相关状态：值，以判断模型的自相关状态：若若 ，则则存在正自相关；存在正自相关；若若 ，则则不确定；不确定；若若 ，则则无自相关；无自相关；若若 ，则则不确定；不确定；若若 ，则则存在存在负负自

23、相关。自相关。也就是说，当也就是说，当D.W.值在值在2附近时，模型不存在一阶自相关。附近时，模型不存在一阶自相关。例例7-1 7-1 给定一个含有给定一个含有50个观测值的样本和个观测值的样本和3个解释变量个解释变量,如果如果（a）D.W.=1.05，（，（b）D.W.=1.40，（c）D.W.=2.50，（，（d）D.W.=3.97你能对自相关的问题说些什么？你能对自相关的问题说些什么？解：解：根据根据D-W检验判断准则可知检验判断准则可知（b）D.W.=1.40，随机，随机误误差差项项存在一存在一阶阶正自相关；正自相关；（d）4 =2.58 D.W.=3.97，随机，随机误误差差项项存在

24、存在负负一一阶阶自相关。自相关。查查D.W.分布表可知，当分布表可知，当样样本数本数为为n=50，解，解释变释变量数量数k=3时时，在，在5%的的为为1.42，为为1.67。显著性水平下显著性水平下D.W.统计量临界值的下界统计量临界值的下界（a）D.W.=1.05 D.W.=2.504=2.33，不能确定随机，不能确定随机误误差差项项是否是否存在一阶自相关；存在一阶自相关；在在许许多情况下，人多情况下，人们发现们发现上限上限 差不多就是真差不多就是真实实的的显显著性界限，因而，著性界限，因而，如果如果D.W.的估计值落入不能确定的区域，人们可以使用以下修正的的估计值落入不能确定的区域，人们可

25、以使用以下修正的D-W 检验程序。给定显著性水平检验程序。给定显著性水平：（2）原假）原假设为设为，备择备择假假设为设为 （1）原假）原假设为设为 ，备择备择假假设为设为 如果有如果有 ，则则在在显显著性水平著性水平上拒上拒绝绝原假原假设设H0，接受，接受备择假设备择假设H1，也就是存在统计上显著的正相关。，也就是存在统计上显著的正相关。如果有如果有 ，则则在在显显著性水平著性水平上拒上拒绝绝原假原假设设H0，接受，接受备择假设备择假设H1，也就是存在统计上显著的负相关。，也就是存在统计上显著的负相关。在在许许多情况下，人多情况下，人们发现们发现上限上限 差不多就是真差不多就是真实实的的显显著

26、性界限，因而，著性界限，因而，如果如果D.W.的估计值落入不能确定的区域，人们可以使用以下修正的的估计值落入不能确定的区域，人们可以使用以下修正的D-W 检验程序。给定显著性水平检验程序。给定显著性水平：（3）原假）原假设为设为 ，备择备择假假设为设为 如果有如果有 或者或者则则在在显显著性水平著性水平上拒上拒绝绝原假原假设设H0，接受，接受备择备择假假设设H1，也就是存在统计上显著的自相关。也就是存在统计上显著的自相关。四、四、拉格朗日乘子检验拉格朗日乘子检验 拉格朗日乘子检验克服了拉格朗日乘子检验克服了D-W检验的缺陷，适合于高阶序列相关检验的缺陷，适合于高阶序列相关及模型中存在滞后被解释

27、变量的情形。它是由布劳殊（及模型中存在滞后被解释变量的情形。它是由布劳殊（Breusch）与）与戈弗雷（戈弗雷（Godfrey）于）于1978年提出的，也称为年提出的，也称为GB检验检验。对于模型对于模型（7-24）如果要检验随机误差项是否存在如果要检验随机误差项是否存在p阶序列相关：阶序列相关：（7-25）那么检验如下受约束回归方程就是拉格朗日乘子检验：那么检验如下受约束回归方程就是拉格朗日乘子检验：（7-26）约束条件为约束条件为（7-27）如果如果约约束条件束条件为为真，真，则则LM统计统计量服从大量服从大样样本下自由度本下自由度为为p的的渐渐近近分布：分布：（7-28）其中其中n p和

28、和分分别为别为如下如下辅辅助回助回归归方程的方程的样样本容量和可决系数：本容量和可决系数：（7-29）(7-29)中的被解中的被解释变释变量量是是对对原模型（原模型（7-24）进进行行OLS回回归归后得到的残差。后得到的残差。p值即滞后的长度无法预先给定，因此实践操作中可从值即滞后的长度无法预先给定，因此实践操作中可从1阶、阶、2阶阶逐次相更高阶检验，并用辅助回归方程（逐次相更高阶检验，并用辅助回归方程（7-29）式中各个残差项前面的）式中各个残差项前面的参数的显著性来帮助判断序列相关的阶数。参数的显著性来帮助判断序列相关的阶数。（7-29）LM检验的一个缺陷检验的一个缺陷例例7-2 7-2

29、假定用假定用32个样本做个样本做Y对对X(包含截距包含截距)的回归的回归而而这样这样的的数数值对应值对应的概率的概率p为为0.0003，这这是一个很低的概率。是一个很低的概率。因此我们可以拒绝辅助回归方程中原始回归残差序列的全部因此我们可以拒绝辅助回归方程中原始回归残差序列的全部1到到5阶滞后阶滞后序列系数均为零的假设，至少有一个滞后残差序列的系数不为零。序列系数均为零的假设，至少有一个滞后残差序列的系数不为零。这表明原始回归的残差中至少存在这表明原始回归的残差中至少存在1到到5阶中的某一滞后的自相关，当然阶中的某一滞后的自相关，当然要确定到底是几阶序列相关还必须进一步进行要确定到底是几阶序列

30、相关还必须进一步进行4阶、阶、3阶阶等不同阶数的拉格等不同阶数的拉格朗日乘子检验。朗日乘子检验。如果我如果我们怀们怀疑回疑回归归残差序列有残差序列有5阶阶滞后相关，那么滞后相关，那么辅辅助回助回归归方程中我方程中我们们可以用残差对可以用残差对X以及残差序列的以及残差序列的1到到5阶滞后序列进行回归，假定从辅助回归方阶滞后序列进行回归，假定从辅助回归方程中回归得到的拟合优度程中回归得到的拟合优度R2为为0.8860。由于原始回由于原始回归归中有中有32个个样样本，而本，而辅辅助回助回归归中用了中用了5个滞后个滞后值值，这样辅这样辅助助等于等于(32-5)0.886即等于即等于23.382。回归方

31、程中仅有回归方程中仅有27个样本，因此个样本，因此第四节第四节 序列相关的补救序列相关的补救 由于序列相关出现时由于序列相关出现时OLS估计量是非有效的，因此如果回归模型被证明估计量是非有效的，因此如果回归模型被证明存在序列相关性，则应该发展新的方法来估计模型。类似于处理异方差的情存在序列相关性，则应该发展新的方法来估计模型。类似于处理异方差的情况，在大样本下我们也可以用与自相关相一致的况，在大样本下我们也可以用与自相关相一致的OLS回归残差的方差协方差回归残差的方差协方差矩阵来处理随机误差项的自相关情况，这样矩阵来处理随机误差项的自相关情况，这样OLS估计也仍然是有效的，只是估计也仍然是有效

32、的，只是我们需要报告相应的自相关稳健标准差和相应的统计量，其处理方法完全类我们需要报告相应的自相关稳健标准差和相应的统计量，其处理方法完全类似于异方差稳健推断，这里我们不再对自相关稳健推断详细论述，我们详细介似于异方差稳健推断，这里我们不再对自相关稳健推断详细论述，我们详细介绍一般情况下处理序列相关最常用的绍一般情况下处理序列相关最常用的广义最小二乘法广义最小二乘法（GLS）和）和广义差分法广义差分法。一、广义最小二乘法一、广义最小二乘法定义定义:最具有普遍意义的最小二乘法最具有普遍意义的最小二乘法.普通最小二乘法普通最小二乘法和和加权最小二乘法加权最小二乘法是它的特例。是它的特例。一般情况下

33、，对于模型一般情况下，对于模型（7-30）如果存在序列相关性，同时存在异方差，即有如果存在序列相关性，同时存在异方差，即有显显然，然，是一是一对对称矩称矩阵阵，因此存在一可逆矩，因此存在一可逆矩阵阵，使得，使得用用左乘（左乘（7-30）式两）式两边边，得到一个新的模型，得到一个新的模型（7-31）即即 该模型具有同方差性和随机干扰项相互独立性。因为该模型具有同方差性和随机干扰项相互独立性。因为则则这就是原模型（这就是原模型（7-30）式的广义最小二乘估计量，它是无偏有效的估计量。）式的广义最小二乘估计量，它是无偏有效的估计量。于是，可以用普通最小二乘法估于是，可以用普通最小二乘法估计计模型（模

34、型（7-31）式，）式，记记参数估参数估计计量量为为，由上面的推由上面的推导过导过程可知，只要知道随机干程可知，只要知道随机干扰项扰项的方差的方差-协协方差矩方差矩阵阵，就可以采用广义最小二乘法得到参数的最佳线性无偏估计量。就可以采用广义最小二乘法得到参数的最佳线性无偏估计量。然而若只有然而若只有n个个样样本点，要本点，要对对包括各个包括各个 在内的在内的进进行估行估计计是困是困难难的，在的，在实实践操作中，往往通践操作中，往往通过过广广义义差分法来差分法来实现实现广广义义最小二乘估最小二乘估计计。+k+1个未知参数个未知参数二、广义差分法二、广义差分法 广义差分法需要对随机干扰项自相关系数事

35、先给出必要的假设，广义差分法需要对随机干扰项自相关系数事先给出必要的假设，可区分为两种情形：自相关系数已知和未知。可区分为两种情形：自相关系数已知和未知。1）自相关系数已知时）自相关系数已知时 由于干由于干扰项扰项 是不可是不可观测观测的，关于序列相关的性的，关于序列相关的性质质往往是一种猜往往是一种猜测测 遵循形如遵循形如(7-4)式那式那样样的一的一阶阶自回自回归归方式，方式，或实际体验。实践中，常假定或实际体验。实践中，常假定 （7-32）即：即：（7-32）式中自回）式中自回归归系数和随机干系数和随机干扰项满扰项满足足(7-4)的假定。若假定的假定。若假定(7-32)是是为为已知已知时

36、时，序列相关，序列相关问题问题就可以就可以圆满圆满解决。解决。真实的，当自相关系数真实的，当自相关系数为说明这一点，考虑以下多元回归模型为例：为说明这一点，考虑以下多元回归模型为例：（7-33）如果（如果（7-33）在时刻）在时刻t成立，则在时刻成立，则在时刻t-1也成立，因此有：也成立，因此有：（7-34）用用乘（乘（7-34）两）两边边，得到：，得到：（7-35）（7-37）其中，其中，由于由于 满满足全部足全部OLS假定，故可以直接假定，故可以直接对对方程（方程（7-37）进进行行OLS回回归归得到具有得到具有BLUE性质的估计量。性质的估计量。将（将（7-36）式简写为）式简写为用（用

37、（7-33）减去（）减去（7-35）得到）得到（7-36）更一般地如果多元回归模型更一般地如果多元回归模型 （7-38）中的随机干扰项存在中的随机干扰项存在p阶序列相关：阶序列相关：（7-39）那么可以将原模型（那么可以将原模型（7-38）式）式变换为变换为（7-40）（7-40）式即为多元回归形式的广义差分模型，该模型不存在序列相关性。）式即为多元回归形式的广义差分模型，该模型不存在序列相关性。采用采用OLS法估计该模型得到的参数估计量即为原模型参数的无偏有效法估计该模型得到的参数估计量即为原模型参数的无偏有效估计量，这样处理序列相关的方法就是估计量，这样处理序列相关的方法就是广义差分法广义

38、差分法。广义差分法就是前面我们讨论过的广义最小二乘法（广义差分法就是前面我们讨论过的广义最小二乘法（GLS），但应注），但应注意滞后的观测值被排除了。意滞后的观测值被排除了。为看清这一点，我们仍然考虑前面的一阶序列相关的情况为看清这一点，我们仍然考虑前面的一阶序列相关的情况我们用矩阵形式把上述估计过程重写一遍。对于一阶序列相关的随机误差项我们用矩阵形式把上述估计过程重写一遍。对于一阶序列相关的随机误差项 我们可以证明该随机干我们可以证明该随机干扰项的方差和协方差分别为扰项的方差和协方差分别为用矩阵表示为用矩阵表示为根据线性代数易知根据线性代数易知从而有从而有用用左乘矩左乘矩阵阵形式的多元回形式

39、的多元回归归模型模型,得到得到 （7-41）然后展开（然后展开（7-41）式中所有矩阵乘积，去掉展开式的第一行就得到（）式中所有矩阵乘积，去掉展开式的第一行就得到（7-36）一样的结果。一样的结果。（7-41）类似地对具有类似地对具有p阶序列相关的多元回归模型的广义差分法估计也等同于广义阶序列相关的多元回归模型的广义差分法估计也等同于广义最小二乘估计，但我们损失了前面最小二乘估计，但我们损失了前面p个样本观测值，这一点可以从广义差分模个样本观测值，这一点可以从广义差分模型（型（7-40）式看出来。在样本规模较大而误差序列相关阶数较小时，广义差分）式看出来。在样本规模较大而误差序列相关阶数较小时

40、，广义差分法与广义最小二乘法的估计结果很接近。但在小样本或误差呈现较大的高阶序法与广义最小二乘法的估计结果很接近。但在小样本或误差呈现较大的高阶序列相关时，观测值的损失可能会对估计结果有影响。因此在广义差分变换中，列相关时，观测值的损失可能会对估计结果有影响。因此在广义差分变换中，有时需弥补这一损失。有时需弥补这一损失。这样广义差分法的估计结果就完全等同于广义最小二乘估计量。这样广义差分法的估计结果就完全等同于广义最小二乘估计量。例如，在一阶序列相关情况下，对损失的第一次观测值可进行如下的例如，在一阶序列相关情况下，对损失的第一次观测值可进行如下的 普莱斯普莱斯-温斯特（温斯特（Prais-W

41、insten）变换）变换：2 2）自相关系数未知时的处理）自相关系数未知时的处理 尽管广义差分回归直接明了，但通常情况下我们并不知道总体模型中随尽管广义差分回归直接明了，但通常情况下我们并不知道总体模型中随机干扰项的真实自回归系数机干扰项的真实自回归系数是多少，故广义差分法一般难以实现。是多少，故广义差分法一般难以实现。（1 1）一次差分法）一次差分法（2 2）根据）根据D.W.D.W.统计量来估计统计量来估计（3 3）科克伦）科克伦-奥科特（奥科特（Cochrane-OrcuttCochrane-Orcutt）迭代法）迭代法（4 4）杜宾两步法）杜宾两步法因此我们需要另想办法来处理序列相关问

42、题，我们介绍几种常用的方法。因此我们需要另想办法来处理序列相关问题，我们介绍几种常用的方法。（1 1）一次差分法）一次差分法 因为自回归系数因为自回归系数介于（介于（-1，1）之间，我们考虑极端的序列相关情况，）之间，我们考虑极端的序列相关情况，即完全的正相关或负相关，此时即完全的正相关或负相关，此时等于等于1或或 1。考虑简单的一元回归模型：考虑简单的一元回归模型：（7-42）假定该模型中随机干扰项为完全一阶正相关，即有假定该模型中随机干扰项为完全一阶正相关，即有（7-43）对（对（7-42）进行一次差分得到）进行一次差分得到即即 （7-44）（7-44）的差分回）的差分回归归方程没有截距，

43、随机干方程没有截距，随机干扰项扰项没有序列自相关，因此可以没有序列自相关，因此可以 对对它采取它采取过过原点原点OLS回回归归得到得到的的BLUE估估计计量，注意此量，注意此时时原模型中的截距原模型中的截距就不能估就不能估计计出来了。出来了。如果原模型为包含时间趋势的模型：如果原模型为包含时间趋势的模型：（7-45）那么对它进行一次差分后得到那么对它进行一次差分后得到（7-46）该该差分模型中含有一截距，因此含有截距的一次差分模型意味着在原模型差分模型中含有一截距，因此含有截距的一次差分模型意味着在原模型中存在一中存在一线线性性时间趋势项时间趋势项，而且一次差分模型中的截距就是原模型中，而且一

44、次差分模型中的截距就是原模型中时间趋势时间趋势项项的系数。如果的系数。如果是正的是正的话话，这这表明原模型中表明原模型中Y除了受除了受X的影响外的影响外还还有一上升有一上升的趋势。的趋势。如果原模型中随机干扰项是完全一阶负相关的，那么一次差分处理的方法就是相反了。思考思考:析析:要注意它是以假定要注意它是以假定=1为前提的，如果随机干扰项不是完全一阶为前提的，如果随机干扰项不是完全一阶正相关，就不能进行这样的一次差分变换。正相关，就不能进行这样的一次差分变换。怎样知道假定怎样知道假定=1是否合理呢？是否合理呢？为检验假设为检验假设=1，贝伦布鲁特，贝伦布鲁特韦布推出如下韦布推出如下g检验统计量

45、：检验统计量：（7-47）用贝伦布鲁特用贝伦布鲁特-韦布（韦布（Belenblutt-Webbtest）统计量来检验。）统计量来检验。其中其中是原始模型的是原始模型的OLS残差，而残差，而是被解是被解释变释变量量Y的一的一阶阶差分差分各个解各个解释变释变量量X的一的一阶阶差分差分OLS回回归归得到的残差（注意无截距得到的残差（注意无截距项项）。）。对对进行进行例例7-3 7-3 假定用假定用32个样本做个样本做Y对对X的的OLS回归得到的残差平方和回归得到的残差平方和RSS1=204.2934，再做再做Y对对X的的OLS回归（注意在此回归中没有截距）得到残差平方和回归（注意在此回归中没有截距）

46、得到残差平方和RSS2=28.1938。g=28.1938/204.2934=0.1377 查查D.W.分布表发现分布表发现5%的显著性水平下的显著性水平下31个样本和个样本和1个解释变量的个解释变量的D.W.值下界为值下界为1.363，上界为，上界为1.496。因此因此 这样计这样计算的算的g的数的数值值小于小于D.W.统计统计量的下界，我量的下界，我们们不能拒不能拒绝绝 基于基于这这一一结结果，果，对对原模型原模型进进行一次差分后再用行一次差分后再用OLS估估计计是合理的。是合理的。=1的原假设。的原假设。（2 2）根据）根据D.W.D.W.统计量来估计统计量来估计回想我们前面的回想我们前

47、面的D.W.统计量统计量根据根据该该式我式我们们可以得到可以得到的的计计算表达式：算表达式：（7-48）这是从所估计的这是从所估计的D.W.统计量获得统计量获得的一个估计值的简易方法。的一个估计值的简易方法。（7-48）由（由（7-48）可）可见见，仅仅当当 d 等于或接近于等于或接近于0时时，一次差分法中假定，一次差分法中假定才是才是对对的的此外当此外当d=2时时，d=4时时，因此因此D.W.统计统计量量为为我我们们提供了一个估提供了一个估计计的的现现成方法。成方法。但要注意的是，（但要注意的是，（7-48）仅仅提供了一个估提供了一个估计计的近似式，在小的近似式，在小样样本下本下未必可靠，仅

48、在大样本下才具有最优性质。未必可靠，仅在大样本下才具有最优性质。一旦从（一旦从（7-48）估）估计计出出，我，我们们就可以就可以对对原模型原模型进进行广行广义义差分差分变换变换，然后对广义差分后的模型进行然后对广义差分后的模型进行OLS估计。估计。同同样样需要注意的是，由于广需要注意的是，由于广义义差分法中用的是真差分法中用的是真实实的的，而我，而我们们是用是用来代替真来代替真实实的的，因此就会出，因此就会出现现一个一个问题问题：估计的估计的这样估计的回归系数是否有经典回归模型中所说的最优性质呢？这样估计的回归系数是否有经典回归模型中所说的最优性质呢？当用一个估计的量去代替真值时，当用一个估计

49、的量去代替真值时，OLS估计得到的回归系数仅是渐近有估计得到的回归系数仅是渐近有效的，就是说仅在大样本情况下才是最优的，而且通常的假设检验统计量也效的，就是说仅在大样本情况下才是最优的，而且通常的假设检验统计量也仅是渐近有效的仅是渐近有效的。一个一般性的原则：一个一般性的原则：（3 3）科克伦）科克伦-奥科特（奥科特（Cochrane-OrcuttCochrane-Orcutt）迭代法）迭代法利用估利用估计计的残差去的残差去获获得关于未知的得关于未知的的信息。的信息。考虑一元回归模型：考虑一元回归模型：（7-49）假定随机干扰项为一阶自相关，即假定随机干扰项为一阶自相关，即（7-50）按如下步

50、按如下步骤骤来估来估计计自回自回归归系数系数 1对对（7-49）进进行行OLS回回归归得到回得到回归归残差残差 2利用回利用回归归残差残差做如下做如下OLS回回归归：（7-51）3.用（用（7-51）回）回归归得到的得到的，对对（7-49）做广）做广义义差分方程：差分方程：（7-52）对对此式此式进进行行OLS回回归归即可得到即可得到和和的估的估计值计值，然后注意到，然后注意到就可以得到原模型（就可以得到原模型（7-49）中系数）中系数的估的估计值计值。4.将第三步得到的将第三步得到的 的估的估计值计值重新代入原模型（重新代入原模型（7-49）并）并计计算得到新算得到新 。的残差的残差 5.现