计算方法PPT课件第五章插值与拟合.pptx

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1、第五章 插值与拟合23 二月 2023主讲 韩光朋223 二月 2023主讲 韩光朋35.1 5.1 插值与拟合的基本概念插值与拟合的基本概念23 二月 2023主讲 韩光朋423 二月 2023主讲 韩光朋523 二月 2023主讲 韩光朋623 二月 2023主讲 韩光朋7且用此方法可得到插值多项式且用此方法可得到插值多项式PnPn。但这种方法不适用，只能但这种方法不适用，只能用用作理论研究。作理论研究。23 二月 2023主讲 韩光朋8图图5.15.1插值余項插值余項23 二月 2023主讲 韩光朋9 定理5.2 设f(x)在a,b上n+1阶导数存在，则插值多项式(5.2)的余项为23

2、二月 2023主讲 韩光朋1023 二月 2023主讲 韩光朋115.2 拉格朗日(Lagrange)插值5.2.1 拉格朗日插值基函数 对于给定的n+1个互异的节点 ，为了构造求解n次多项式插值问题的可行算法可行算法，我们首先考虑一个简单的n次多项式插值问题。已知 y=f(x)的如下函数值表0 0 0 1 0 0(5.8)23 二月 2023主讲 韩光朋1223 二月 2023主讲 韩光朋1323 二月 2023主讲 韩光朋145.2.2 拉格朗日插值多项式 设用试验或观测方法得到函数 的如下函数值表xiyi(5.11)23 二月 2023主讲 韩光朋15这表明式这表明式(5.12)(5.1

3、2)就是满足插值条件式就是满足插值条件式(5.11)(5.11)的多项式插值函数，它是插值基函数的多项式插值函数，它是插值基函数的的线性组合线性组合。由插值多项式的由插值多项式的存在唯一性存在唯一性知，将知，将Ln(x)Ln(x)化简成化简成n n次多项式标准形式次多项式标准形式(5.2)(5.2)后，后，与用求解方程组与用求解方程组(5.3)(5.3)而得的插值多项式是相同的，称形如式而得的插值多项式是相同的，称形如式(5.12)的插值多项式的插值多项式Ln(x)Ln(x)为为拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式。讨论，在（讨论，在（5.125.12）式中：）式中：当当n n1 1时时，是一

4、次插值多项式（也称，是一次插值多项式（也称线性插值线性插值）23 二月 2023主讲 韩光朋1623 二月 2023主讲 韩光朋17例例1 1 已知已知 的值如下：（的值如下：（重点重点）xi 1 2 3yi0.7 1.1 1.4求拉格朗日插值多项式求拉格朗日插值多项式L L2 2(x););求求L L2 2(2.5);(2.5);求插值余项求插值余项R R2 2(x)并估计并估计R R2 2(x)。23 二月 2023主讲 韩光朋1823 二月 2023主讲 韩光朋1923 二月 2023主讲 韩光朋20略略23 二月 2023主讲 韩光朋2123 二月 2023主讲 韩光朋22略略23 二

5、月 2023主讲 韩光朋235.3 5.3 牛顿插值牛顿插值23 二月 2023主讲 韩光朋24（略）（略）23 二月 2023主讲 韩光朋25（略）（略）23 二月 2023主讲 韩光朋2623 二月 2023主讲 韩光朋27各阶差商可按差商表差商表（见表5.1）计算。(重点）重点）23 二月 2023主讲 韩光朋28插值多项式插值多项式23 二月 2023主讲 韩光朋2923 二月 2023主讲 韩光朋3023 二月 2023主讲 韩光朋3123 二月 2023主讲 韩光朋32（另见（另见P121P121例例3 3）23 二月 2023主讲 韩光朋33解：先造差商表解：先造差商表(重点）重

6、点）23 二月 2023主讲 韩光朋34 由由NewtonNewton公式得四次插值多项式为：公式得四次插值多项式为：23 二月 2023主讲 韩光朋355.2(5.4略略)(5.5带导数的插值略带导数的插值略)23 二月 2023主讲 韩光朋36(5.28)(5.28)(5.28)(5.28)23 二月 2023主讲 韩光朋3723 二月 2023主讲 韩光朋3823 二月 2023主讲 韩光朋3923 二月 2023主讲 韩光朋4023 二月 2023主讲 韩光朋415.6 5.6 分段插值分段插值 （一般了解一般了解）23 二月 2023主讲 韩光朋4223 二月 2023主讲 韩光朋4

7、323 二月 2023主讲 韩光朋4423 二月 2023主讲 韩光朋45（一般了解）（一般了解）23 二月 2023主讲 韩光朋4623 二月 2023主讲 韩光朋4723 二月 2023主讲 韩光朋4823 二月 2023主讲 韩光朋4923 二月 2023主讲 韩光朋5023 二月 2023主讲 韩光朋5123 二月 2023主讲 韩光朋5223 二月 2023主讲 韩光朋535.8 5.8 最小二乘法与曲线拟合最小二乘法与曲线拟合23 二月 2023主讲 韩光朋54 实际中，当数据量特别大时一般不用插值法。实际中，当数据量特别大时一般不用插值法。这是因为数据量很大时所求插值曲线中的未知

8、参数这是因为数据量很大时所求插值曲线中的未知参数就很多，而且数据量很大时，多项式插值会出现就很多，而且数据量很大时，多项式插值会出现高高次次插值（效果不理想）或分段低次插值（精度不高）插值（效果不理想）或分段低次插值（精度不高）；另外，测量数据本身往往就有误差，所以，使插；另外，测量数据本身往往就有误差，所以，使插值曲线刻意经过这些点也没有必要。值曲线刻意经过这些点也没有必要。而曲线拟合是：首先根据物理规律或描点画草而曲线拟合是：首先根据物理规律或描点画草图，确定一条用来拟合的函数曲线形式，也可选择图，确定一条用来拟合的函数曲线形式，也可选择低次多项式形式（所含参数比较少），然后按最小低次多项

9、式形式（所含参数比较少），然后按最小二乘法求出该曲线，它二乘法求出该曲线，它未必经过未必经过所有已知点，但它所有已知点，但它能反映出数据的基本趋势，且误差最小，效果比较能反映出数据的基本趋势，且误差最小，效果比较好。好。23 二月 2023主讲 韩光朋5523 二月 2023主讲 韩光朋565.8.1 5.8.1 矛盾方程组与最小二乘法矛盾方程组与最小二乘法1.1.矛盾方程组矛盾方程组 (预备知识预备知识:矛盾方程组的矛盾方程组的定义定义)设有线性方程组设有线性方程组23 二月 2023主讲 韩光朋572.2.最小二乘法最小二乘法 (方法的方法的推导推导与与求法求法)23 二月 2023主讲

10、韩光朋5823 二月 2023主讲 韩光朋5923 二月 2023主讲 韩光朋60 （5.755.75）式是）式是n阶方程组阶方程组,称为原矛盾方程组对应的称为原矛盾方程组对应的法法方程组方程组(或或正则正则方程组，方程组，正正规规方程组方程组)。故矛盾方程组的最小二乘解一定是相应的。故矛盾方程组的最小二乘解一定是相应的法法方程组的解，反之结论是否方程组的解，反之结论是否成立呢成立呢?3.3.理论讨论理论讨论 不难理解，偏差总量不难理解，偏差总量Q Q无最大值，但有最小值，又无最大值，但有最小值，又Q Q只有一个驻点只有一个驻点(偏导为零的偏导为零的点点)，故该驻点一定就是最小值点，故该驻点一

11、定就是最小值点，亦即法方程组亦即法方程组(5.75)(5.75)的解一定就是矛盾方程组的的解一定就是矛盾方程组的最小二乘解。最小二乘解。当然当然,也可从数学上更严格推证这个结论也可从数学上更严格推证这个结论(略略)。23 二月 2023主讲 韩光朋615.8.2 5.8.2 几种具体的拟合曲线类型几种具体的拟合曲线类型多项式拟合多项式拟合(多种拟合方法中的一种多种拟合方法中的一种)23 二月 2023主讲 韩光朋6223 二月 2023主讲 韩光朋6323 二月 2023主讲 韩光朋6423 二月 2023主讲 韩光朋6523 二月 2023主讲 韩光朋66注：见最后一屏例注：见最后一屏例2

12、223 二月 2023主讲 韩光朋6723 二月 2023主讲 韩光朋68(了解）了解）23 二月 2023主讲 韩光朋69解解 将已给数据标在坐标纸上，见右图。由图将已给数据标在坐标纸上，见右图。由图我们看到，开始时浸蚀速度较快，然后逐渐减我们看到，开始时浸蚀速度较快，然后逐渐减弱，到一定的时候就基本稳定，因此可以认为弱，到一定的时候就基本稳定，因此可以认为当当xx时，时，y y趋于某个定数，即有一条水平渐趋于某个定数，即有一条水平渐近线，另外当近线，另外当x x0 0时容积的增大为时容积的增大为0 0。根据这。根据这些特点，我们选取数据拟合的曲线为双曲线型，些特点，我们选取数据拟合的曲线为双曲线型，即取有理函数即取有理函数23 二月 2023主讲 韩光朋70