苏教版高三数学复习课件3.5两角和与差的三角函数.ppt

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1、1会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式2能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦和正切公式能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦和正切公式第第5 5课时课时 两角和与差的三角函数两角和与差的三角函数和差角公式的考查方式主要有：一是利用公式进行化简与求值；二是利和差角公式的考查方式主要有：一是利用公式进行化简与求值；二是利用和角公式证明三角恒等式；三是关于和角公式和其他知识的综合应用和角公式证明三角恒等式；三是关于和角公式和其他知识的综合应用在高考中，在考查三角公式的掌握和运用的同时，还注重考查思维用在高考中，在考查三角公式的掌握和运用的同时

2、，还注重考查思维的灵活性和发散性，以及运算能力和综合分析能力的灵活性和发散性，以及运算能力和综合分析能力【命题预测】【命题预测】1用向量的知识来解决三角函数问题，重视知识的发散能力和联想能力，用向量的知识来解决三角函数问题，重视知识的发散能力和联想能力，注意培养数形结合思想注意公式的使用范围，在注意培养数形结合思想注意公式的使用范围，在T()中，中，都不等于都不等于k k (k kZ)，即保证，即保证tan，tan，tan()都有意义都有意义2在解决问题过程中，应创造条件应用公式，特别注意角与角之间的关系，在解决问题过程中，应创造条件应用公式，特别注意角与角之间的关系，善于拆角、拼角，如善于拆

3、角、拼角，如2()(),2()()，()，2()，等，等，特殊情况有特殊情况有【应试对策】【应试对策】辅助角公式辅助角公式(1)由由S，我们可以得出辅助角公式，即，我们可以得出辅助角公式，即asin xbcos x sin(x)(其中其中角的终边所在象限由角的终边所在象限由a，b的符号确定，的符号确定，角满足角满足cos ，sin )，这是经常用到的一个公式，它可把含，这是经常用到的一个公式，它可把含sin x、cos x的一次式的一次式的三角函数式化为的三角函数式化为Asin(x)的形式，从而进一步探索三角函数的性质，这个的形式，从而进一步探索三角函数的性质，这个公式称为辅助角公式公式称为辅

4、助角公式【知识拓展】【知识拓展】(2)常用结论：常用结论：sin x cos x2sin ；sin xcos x sin x cos x2cos1两角和与差的正弦、余弦和正切公式两角和与差的正弦、余弦和正切公式C()：cos()；C()：cos()；S()：sin()；S()：sin()；T()：tan()；T()：tan().coscossinsincoscossinsinsincoscossinsincoscossin思考：思考：已知已知sin()，sin()，能求，能求 的值吗？的值吗？提示：提示：.5.2形如形如asin bcos 的化简的化简asin bcos sin()，其中，其中

5、cos ，sin ，tan ，的终边所在象限由的终边所在象限由 的值来确定的值来确定a、b1(2010海海门门中中学学高高三三调调研研)在在ABC中中，已已知知sin A2sin Bcos C且且sin B ，则，则sin A的值为的值为_ 答案：答案：2若若A、B是是ABC的内角，并且的内角，并且(1tan A)(1tan B)2，则则AB等于等于_ 解析：解析：由由(1tan A)(1tan B)2得得1tan Atan Btan Atan B2.所以所以tan Atan B1tan Atan B，由由tan(AB)1.又又A、B是是ABC的内角，的内角，0AB90，则，则tan Atan

6、 B与与1的关系的关系_ (填填，90，所以，所以AB0，tan Atan B0.所以所以1tan Atan B0，tan Atan B1.答案：答案：若若sin sin 1 ，cos cos ，则则cos()的值为的值为_解析：解析：由由sin sin 1 得：得：sin22sin sin sin2 .由由cos cos 得：得：cos22cos cos cos2 .得得112(cos cos sin sin)2 ，即即2cos().cos().答案：答案：51三角函数式的化简要遵循三角函数式的化简要遵循“三看三看”原则：原则：(1)一一看看“角角”，这这是是最最重重要要的的一一环环，通通过

7、过看看角角之之间间的的差差别别与与联联系系，把把角角进进行合理的拆分，从而正确使用公式；行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二二看看“函函数数名名称称”，看看函函数数名名称称之之间间的的差差异异，从从而而确确定定使使用用的的公公式式，常常见的有见的有“切化弦切化弦”；(3)三三看看“结结构构特特征征”，分分析析结结构构特特征征，可可以以帮帮助助我我们们找找到到变变形形的的方方向向，常常见的有见的有“遇到分式要通分遇到分式要通分”等等2根式的化简常常需要升幂去根号，在化简中注意角的范围以确根式的化简常常需要升幂去根号，在化简中注意角的范围以确定三角函数值的正负号定三角函数值的正负号.3对于给角

8、求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的的基基本本思思路路有有：(1)化化为为特特殊殊角角的的三三角角函函数数值值；(2)化化为为正正、负负相相消消的项，消去求值；的项，消去求值；(3)化分子、分母出现公约数进行约分求值化分子、分母出现公约数进行约分求值【例【例1】(1)化简化简 (0)；(2)求值：求值：思路点拨：思路点拨：(1)从把角从把角变为变为 入手，合理使用公式入手，合理使用公式(2)注意角之间的关系，切化弦，从题设代数式联系与三角函数公注意角之间的关系，切化弦，从题设代数式联系与三角函数公式式结结构构的的差差异异，寻寻找

9、找解解题题思思路路，同同时时将将非非特特殊殊角角转转化化为为特特殊殊角角或或通过约分消掉通过约分消掉解：解：(1)原式原式 因为因为00，所以原式所以原式cos.(2)sin 50(1 tan 10)sin 50 sin 50 1，cos 80 sin 10 sin210.变式变式1：化简化简：(1)3 sin x3 cos x；(2)解：解：(1)解法一：解法一：解法二：解法二：(2)原式原式 0.变式变式2：计算：计算：解：解：原式原式 三角函数的给值求值问题，解决的关键在于把三角函数的给值求值问题，解决的关键在于把“所求角所求角”用用“已知角已知角”表示表示(1)当当“已知角已知角”有两

10、个时，有两个时，“所求角所求角”一般表示为两个一般表示为两个“已知角已知角”的和或的和或差的形式；差的形式；(2)当当“已知角已知角”有一个时，此时应着眼于有一个时，此时应着眼于“所求角所求角”与与“已知角已知角”的和或差的的和或差的关系，然后应用诱导公式把关系，然后应用诱导公式把“所求角所求角”变成变成“已知角已知角”如：如：()；()()；()()；等等【例【例2】已知已知0 ，求求sin()的值的值思路点拨：思路点拨：比较题设中的角与待求式中的角，不难发现比较题设中的角与待求式中的角，不难发现 ()或将或将cos 变化为变化为sin再由再由 ()求解求解解：解法一：解：解法一：又又cos

11、 ，sin0 ，.cos sin()cos 解法二解法二：，sin()sin变式变式3：(苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查)若若tan()，tan ，则则tan _.解析：解析：=答案：答案：1通过先求角的某个三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：通过先求角的某个三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：(1)已知正切函数值，选正切函数；已知正切函数值，选正切函数；(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数若角的范围是已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数若角的范围是 ，选正、余弦皆可；若角的范围是选正、余弦皆可；若角的范围是(0，)，选余弦较好；

12、，选余弦较好；若角的范围为若角的范围为 ，选正弦较好，选正弦较好2.解给值求角问题的一般步骤为：解给值求角问题的一般步骤为：（1）求角的某一个三角函数值；求角的某一个三角函数值；（2）确定角的范围；确定角的范围；（3）根据角的范围写出所求的角根据角的范围写出所求的角.【例【例3】已知已知A、B均为钝角且均为钝角且sin A ，sin B .求求AB.思路点拨：思路点拨：求出求出AB的某个三角函数值并由的某个三角函数值并由A，B的范围确定的范围确定AB的值的值解：解：A、B均为钝角且均为钝角且sin A ，sin B ，cos B cos(AB)cos Acos Bsin Asin B ，又，又

13、 A，B，AB2，AB .变式变式4：已知已知0 ，0 ，且，且3sin sin(2),4tan 1tan2 ，求求的值的值解：解：由由4tan 1tan2 得得tan 由由3sin()sin()得得tan()2tan，tan()1.又又0 ，0 ，0 .化成一个角的一个三角函数的问题，就是指利用公式化成一个角的一个三角函数的问题，就是指利用公式asin bcos sin()来解决的问题，通过公式来解决的问题，通过公式asin bcos sin()的转化，的转化，实际上就把实际上就把asin xbcos x问转化成了问转化成了Asin(x)的问题的问题【例【例4】已知函数已知函数y cos2x

14、 sin x cos x1，xR.(1)当函数当函数y取得最大值时，求自变量取得最大值时，求自变量x的集合的集合(2)该函数的图象可由该函数的图象可由ysin x(xR)的图象经过怎样的平移和伸缩的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？变换得到？思路点拨：思路点拨：将函数将函数y转化为转化为Asin(x)m的形式解之的形式解之解：解：(1)y cos2x sin xcos x1 y取得最大值必须且只需取得最大值必须且只需2x 2k k(k kZ)，即即x k k(k kZ)，所以当所以当y取最大值时，自变量取最大值时，自变量x的集合为的集合为(2)将函数将函数ysin x依次进行如下变换：依次进行

15、如下变换：把函数把函数ysin x的图象向左半移的图象向左半移 ，得到，得到ysin 的图象；的图象；把得到的图象上各点横坐标缩短到原来把得到的图象上各点横坐标缩短到原来 的倍的倍(纵坐标不变纵坐标不变)，得到函数得到函数ysin 的图象；的图象；把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的 倍倍(横坐标不变横坐标不变)，得到函数得到函数y sin 的图象；的图象；把得到的图象向上平移把得到的图象向上平移 个单位，个单位，得到函数得到函数y cos2x sin xcos x1的图象的图象变式变式5：(江苏省高考命题研究专家原创卷江苏省高考命题研究专家原创卷)已知向量

16、已知向量a(2sin x，cos x)，b(cos x，acos x)，a为常数，函数为常数，函数f(x)ab，aR，且且x 是方程是方程f(x)0 0的解的解(1)求函数求函数f(x)的解析式的解析式；(2)求函数求函数f(x)的单调递增区间；的单调递增区间；(3)求求x 时，求函数时，求函数f(x)的最值的最值解：解：(1)因为因为a(2sin x，cos x)，b(cos x，acos x)，函数函数f(x)ab，所以所以，f(x)ab2sin xcos xacos2xsin 2xacos2x.又又x 是方程是方程f(x)0的解的解，所以所以 ，所以，所以1 a0，解得解得a2.所以所以

17、f(x)sin 2x2cos2xsin 2xcos 2x1，故故f(x)1.(2)由由(1)得得f(x)1.所以由题意得所以由题意得 (k kZ)，所以所以k k xk k (k kZ)故函数故函数f(x)的单调递增区间为的单调递增区间为 (k kZ)(3)因为因为x ，所以，所以2x ，所以，所以 所以所以 ，故，故 所以函数所以函数f(x)的最大值与最小值分别为的最大值与最小值分别为 1和和2.把公式把公式tan()的分母去掉后可整理成的分母去掉后可整理成tan tan tan()tan()tan tan，利用这种变形化简或证明一些含有，利用这种变形化简或证明一些含有tan tan 及及t

18、an tan 的式子时，有时能起到事半功倍的效果的式子时，有时能起到事半功倍的效果【例【例5】化简化简tan 20tan 40 tan 20tan 40.思路点拨：思路点拨：题目中出现了题目中出现了tan 20tan 40与与tan 20tan 40，因此考虑用两角和的正切公式变形形式进行化简因此考虑用两角和的正切公式变形形式进行化简解：解：原式原式tan(2040)(1tan 20tan 40)tan 20tan 40 tan 20tan 40 tan 20tan 40 .变式变式6：化简：化简：(1)tan 19tan 26tan 19tan 26；(2)tan 71tan 11 tan

19、71tan 11.解：解：(1)原式原式tan(1926)(1tan 19tan 26)tan 19tan 261.(2)原式原式tan(7111)(1tan 71tan 11)tan 71tan 11 .【规律方法总结规律方法总结】1两两角角和和与与差差的的三三角角函函数数公公式式的的内内涵涵是是“揭揭示示同同名名不不同同角角的的三三角角函函数数的的运运算算规规律律”了了解解公公式式能能够够解解决决的的三三类类基基本本题题型型：求求值值题题、化化简简题题、证证明明题题对对公公式式会会“正正用用”、“逆逆用用”、“变变形形用用”掌掌握握角角的的变变化化技技巧巧，如如2()()，()等等将将公公

20、式式和和其其它它知知识识衔衔接接起起来来使使用用，如如与与三三角角函数的性质的衔接等函数的性质的衔接等2求出角的某三角函数值再求角时，应注意确定角的范围求出角的某三角函数值再求角时，应注意确定角的范围3本节体现的数学思想：整体思想、方程思想本节体现的数学思想：整体思想、方程思想.【例【例6】已知偶函数已知偶函数f(x)cos sin xsin(x)(tan 2)sin xsin 的最小值是的最小值是0，求求f(x)的最大值及此时的最大值及此时x的集合的集合偶函数必须对定义域内任意偶函数必须对定义域内任意x都满足都满足f(x)f(x)，本题就是要根据这个恒，本题就是要根据这个恒等关系求出常数等关

21、系求出常数所满足的关系，然后根据函数的最小值为所满足的关系，然后根据函数的最小值为0，确定函数，确定函数的最大值以及取得最大值时的最大值以及取得最大值时x的集合本题容易出错的地方是：的集合本题容易出错的地方是：(1)对关对关于于x的等式恒成立的条件判断错误，求错的等式恒成立的条件判断错误，求错tan 的值；的值；(2)由由tan 的值求解的值求解sin 的值时漏解，只求出的值时漏解，只求出sin ，其结果是导致本题无解，其结果是导致本题无解【错因分析错因分析】解：解：f(x)cos sin xsin(x)(tan 2)sin xsin sin cos x(tan 2)sin xsin，因为因为

22、f(x)是偶函数，所以对任意是偶函数，所以对任意xR，都有都有f(x)f(x)，即即sin cos(x)(tan 2)sin(x)sin sin cos x(tan 2)sin xsin，即即(tan 2)sin x0，所以所以tan 2.【答题模板答题模板】由由 解得解得，或，或此时，此时，f(x)sin(cos x1)当当sin 时，时，f(x)(cos x1)的最大值为的最大值为0，与题意最小值为与题意最小值为0不符，舍去；不符，舍去；当当sin 时，时，f(x)(cos x1)最小值为最小值为0，符合题意，符合题意，故当故当cos x1时，时，f(x)有最大值为有最大值为 ，此时自变量

23、，此时自变量x的集合为的集合为x|x2k k，k kZ【状元笔记状元笔记】三角恒等变换是解决三角函数问题的主要手段，在进行三角恒等变换三角恒等变换是解决三角函数问题的主要手段，在进行三角恒等变换时要注意公式使用正确，变换过程中运算准确；一个关于变量的式子时要注意公式使用正确，变换过程中运算准确；一个关于变量的式子如果对这个变量取任意值时都恒等于如果对这个变量取任意值时都恒等于0，这就说明这个式子中变量的，这就说明这个式子中变量的系数都等于系数都等于0；当已知一个角的正切值求这个角的正弦值、余弦值时，；当已知一个角的正切值求这个角的正弦值、余弦值时，其基本方法就是本题中解答这种方程的方法，要注意解的个数，不要其基本方法就是本题中解答这种方程的方法，要注意解的个数，不要漏解漏解.求值：求值：(1)cos 43cos 77sin 43cos 167；(2)cot 20cos 10 sin 10tan 702cos 40.解解：(1)原式原式cos 43cos 77sin 43sin77cos(4377)cos 120 .(2)cot 20cos 10 sin 10tan 702cos 40tan 70(cos 10 sin 10)2cos 402tan 70sin(3010)2cos 402=2