苏教版高三数学复习课件6.3基本不等式.ppt

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1、1了解基本不等式的证明过程了解基本不等式的证明过程2会用基本不等式解决简单的最大会用基本不等式解决简单的最大(小小)值问题值问题第第3 3课时课时 基本不等式基本不等式 (a0，b0)n1基基本本不不等等式式是是不不等等式式中中的的重重要要内内容容，也也是是历历年年高高考考的的重重点点，它它应应用用范范围围较较广广，几几乎乎可可以以涉涉及及高高中中数数学学的的所所有有章章节节，且且常常考考常常新新，内内容容无无外外乎乎就就是大小判断、求最是大小判断、求最值值、求取、求取值值范范围围等等n2基基本本不不等等式式在在每每年年的的高高考考题题中中几几乎乎都都有有所所体体现现，特特别别是是在在求求有有

2、关关最最值值中中，往往往往和和应应用用题题结结合合，同同时时常常在在基基本本不不等等式式的的使使用用条条件件上上设设置置一一些些问问题题，应谨应谨慎慎处处理理【命题预测】【命题预测】n1利用基本不等式利用基本不等式证证明其他不等式明其他不等式时时，一是要，一是要创设创设一个一个应应用基本不等式用基本不等式的情境，二是的情境，二是选择选择恰当的公式及其恰当的公式及其变变形形式，如形形式，如a2b22ab(a，bR),2(a2b2)(ab)2，(ab)24ab，同，同时时也要从整体上把握基本不等式也要从整体上把握基本不等式【应试对策】【应试对策】n2用用基基本本不不等等式式求求函函数数的的最最值值

3、时时，关关键键在在于于将将函函数数变变形形为为两两项项的的和和或或积积，使使这这两两项项的的和和或或积积或或平平方方和和为为定定值值，然然后后利利用用基基本本不不等等式式求求出出最最值值在在求求解解最最值值时时，一一种种方方法法是是消消元元，转转化化为为函函数数的的最最值值；另另一一种种方方法法是是将将要要求求最最值值的的表表达达式式进进行行变变形形，然然后后用用基基本本不不等等式式使使要要求求最最值值的的表表达达式式放放缩缩为为一一个个定定值值在在用用基基本本不不等等式式时时都都必必须须要要验验证证等等号号成成立立的的条件条件n3利利用用基基本本不不等等式式求求最最值值时时，必必须须满满足足

4、三三个个条条件件：一一正正二二定定三三相相等等，也也就就是是先先满满足足是是正正数数，然然后后有有定定值值(和和定定积积最最大大，积积定定和和最最小小)，三三是是要要看看能能不不能能取取等等号号“当当且且仅仅当当xy时时等等号号成成立立”有有两两层层意意思思：一一是是当当xy时时，取取“”；二二是是取取到到“”时时，必必有有xy.所所以以，在在运运用用此此定定理理解解题题时时一定要重一定要重视这视这一点一点n1证证明：不等式明：不等式a3b3c33abc(a、b、c均均为为正数正数)n 证明：证明：a3b3c33abc(ab)3c33a2b3ab23abcn(abc)(ab)2(ab)cc23

5、ab(abc)n (abc)(a2b2c2abbcca)n (abc)(ab)2(bc)2(ca)20，n a3b3c33abcn 很很显显然，当且然，当且仅仅当当abc时时取取“”号号n 推论：推论：如果如果a，b，c为为正正实实数，那么数，那么 n(当且当且仅仅当当abc时时，取，取“”号号)【知识拓展】【知识拓展】n1算术平均数与几何平均数算术平均数与几何平均数n对于正数对于正数a，b，我们把我们把 称为称为a，b的算术平均数的算术平均数，称为称为a，b 的几何的几何n平均数平均数 n2基本不等式基本不等式n(1)基本不等式成立的条件基本不等式成立的条件：.n(2)等号成立的条件：当且仅

6、当等号成立的条件：当且仅当 时取等号时取等号n(3)结论：两个正数结论：两个正数a，b的的算术平均数算术平均数 其几何平均数其几何平均数n思考：思考：你能用数列的知识解释你能用数列的知识解释 (a0，b0)的的意意义义吗吗？n提示：提示：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项两个正数的等差中项不小于它们的等比中项a0，b0ab不小于不小于n3几个重要的不等式几个重要的不等式n(1)a2b2 (a，bR)(2)(a，b同号同号)n(3)ab (a，bR)n4运用基本不等式求函数的最大值、最小值运用基本不等式求函数的最大值、最小值n对于非负数对于非负数a，b，n(1)和和ab一一定定时时，积积ab

7、有有最最 ，用用基基本本不不等等式式的的变变形形式式 ；n(2)积积 ab一定时，和一定时，和 a b有最有最 ，用用 基基 本本 不不 等等 式式 的的 变变 形形 式式 .2ab2大值大值小值小值n1(2010江苏通州市高三素质检测江苏通州市高三素质检测)已知已知a，b(0，)，ab1，n则则ab的最大的最大值为值为_n答案：答案：n2设设x，y为为正数，正数，则则(xy)()的最小的最小值为值为_n解析：解析：(xy)()5 (x0，y0)5229，n当且仅当当且仅当y2x时取时取 得最小值得最小值9.n答案：答案：9n3已知已知 1(x0，y0)，则则xy的最小的最小值为值为_n 解析

8、：解析：1 2 ，xy60.n当且仅当当且仅当 ，即，即x10，y6时，时，xy有最小值有最小值60.n 答案：答案：60n4函数函数yx 的的值值域域为为_n解析：解析：当当x0时，时，x 2；当；当x0，b0，ab1，求求证证：4.(2)证证明明：a4b4c4d44abcd.n思路点拨：思路点拨：(1)利用利用ab1将要证不等式中的将要证不等式中的1代换，即可得证代换，即可得证n(2)利利用用a2b22ab两两两两结结合合即即可可求求证证但但需需两两次次利利用用不不等等式式，注注意意等等号成立的条件号成立的条件n证明：证明：(1)a0，b0，ab1，nn 4.原原不等式成立不等式成立n(2

9、)a4b4c4d42a2b22c2d22(a2b2c2d2)22abcd4abcd.n故原不等式得故原不等式得证证，等号成立的条件是，等号成立的条件是a2b2且且c2d2且且a2b2c2d2.n变式变式1：已已知知a，b(0，)且且ab1，求求证证：n(1)16；(2)a2b2 ；(3)(1 )(1 )9；n(4)2.n应应用基本不等式求最用基本不等式求最值应值应注意：注意：n(1)合合理理拆拆分分项项或或配配凑凑因因式式是是常常用用的的技技巧巧，而而拆拆与与凑凑的的目目标标在在于于使使等等号号成成立，每立，每项为项为正正值值，必要，必要时时需出需出现积为现积为定定值值或和或和为为定定值值n(

10、2)当当多多次次使使用用基基本本不不等等式式时时，一一定定要要注注意意每每次次是是否否能能保保证证等等号号成成立立，并并且且要要注注意意取取等等号号的的条条件件的的一一致致性性，否否则则就就会会出出错错，因因此此在在利利用用基基本本不不等等式式处处理理问问题题时时，列列出出等等号号成成立立的的条条件件不不仅仅是是解解题题的的必必要要步步骤骤，而而且且也也是是检检验验转换转换是否有是否有误误的一种方法的一种方法n【例【例2】(1)已已知知x0，y0，lgxlgy1，求求z 的最小的最小值值n(2)已知已知x ，求函数求函数y4x2 的最大的最大值值n思路点拨：思路点拨：(1)由由lgxlgy1得

11、得xy10，故可用基本不等式，故可用基本不等式n(2)由由x ，可可知知4x50，故故可可以以对对4x2进进行行拆拆项项，再再调调整整符符号号n解：解：(1)由由已知条件已知条件lgxlgy1，可得可得xy10.n则则 2.当且仅当当且仅当2y5x，n即即x2，y5时时等号成立等号成立 2.n(2)x ，4x50，ny4x2 3231，n当且当且仅仅当当54x 即即x1时时，上上式式等等号号成成立立当当x1时时，y取得最大取得最大值值1.n变式变式2：已已知知x0，y0，且且xy1，则则的的最最小小值值是是_n解析：解析：由已知，得由已知，得 2 13，n当且仅当当且仅当 且且x0，y0，即即

12、xy 时时，取取等等号号n n答案：答案：3n3x3，求，求f(x)x的最大的最大值值n解：解：x3，x30，nf(x)n1，当且，当且仅仅当当3x，即即x1时时，等等号号成成立立故故f(x)的的最最大大值为值为1.n有关基本不等式的有关基本不等式的实际应实际应用用问题问题，在利用基本不等式求有关代数式的最，在利用基本不等式求有关代数式的最值值的的过过n程中，要注意相程中，要注意相应应的前提条件是否具的前提条件是否具备备，否，否则则就会得出就会得出错误错误的的结结果果 n【例例3】某某村村计计划划建建造造一一个个室室内内面面积积为为800 m2的的矩矩形形蔬蔬菜菜温温室室在在温温室室内内，沿左

13、、沿左、n 右右两两侧侧与与后后侧侧内内墙墙各各保保留留1 m宽宽的的通通道道，沿沿前前侧侧内内墙墙保保留留3 m宽宽的的空空地地n 当当矩矩形形温温室室的的边边长长各各为为多多少少时时，蔬蔬菜菜的的种种植植面面积积最最大大？最最大大种种植植面面积积是多少？是多少？思路点拨：本题主要思路是把实际问题抽象为数学问题，灵活地应用不等式等思路点拨：本题主要思路是把实际问题抽象为数学问题，灵活地应用不等式等基础知识和方法解决问题基础知识和方法解决问题.n解：解：设矩形温室的左侧边长为设矩形温室的左侧边长为a m，后侧边长为后侧边长为b m，则则ab800.n蔬蔬菜菜的的种种植植面面积积是是S(a4)(

14、b2)ab4b2a88082(a2b)，n所以所以S8084 648(m2)当当a2b，即即a40(m)，b20(m)时时，nS最大值最大值648(m2)n所所以以，当当矩矩形形温温室室的的左左侧侧边边长长为为40 m、后后侧侧边边长长为为20 m时时，蔬蔬菜菜的的种种植面积最植面积最n大，最大种植面积为大，最大种植面积为648 m2.n池池的的深深度度一一定定，池池的的外外圈圈周周壁壁建建造造单单价价为为每每米米400元元，中中间间一一条条隔隔壁壁建造建造单单n价价为为每米每米100元，池底建造元，池底建造单单价每平方米价每平方米60元元(池壁厚忽略不池壁厚忽略不计计)n(1)污污水水处处理

15、池的理池的长设计为长设计为多少米多少米时时，可使，可使总总造价最低；造价最低；n(2)如果受地形限制，如果受地形限制，污污水水处处理池的理池的长长，宽宽都不能超都不能超过过14.5米，那么此米，那么此时污时污水水处处理理n池的池的长设计为长设计为多少米多少米时时，可使，可使总总造价最低造价最低 变式变式4：某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，平方米的二级污水处理池，n解：解：(1)设污水处理池的长为设污水处理池的长为x米，则宽为米，则宽为 米总造价米总造价f(x)n400(2x2 )100 60200800(x )12 00

16、0n1 600 12 00036 000(元元)，n当且仅当当且仅当x (x0)，即即x15时等号成立时等号成立 n(2)记记g(x)x (0 x14.5)，显然是减函数显然是减函数，x14.5时时，g(x)有最小值，有最小值，n相应造价相应造价f(x)有最小值，此时宽也不超过有最小值，此时宽也不超过14.5米米 n【规律方法总结规律方法总结】n1a2b22ab成立的条件是成立的条件是a，bR，而，而 成立，则要求成立，则要求a0且且b0.使用时，要明确定理成立的前提条件使用时，要明确定理成立的前提条件n2在在运运用用基基本本不不等等式式时时，要要特特别别注注意意“拆拆、拼拼、凑凑”等等技技巧

17、巧，使使其其满满足足基基本本不不等等式式中中“正正”(即即条条件件要要求求中中字字母母为为正正数数)、“定定”(不不等等式式的的另另一一边必须为一定值边必须为一定值)、“等等”(等号取得的条件等号取得的条件)的条件的条件n3注意掌握基本不等式的逆用，变化形式特点注意掌握基本不等式的逆用，变化形式特点n4不等式的应用主要有三方面：一是能转化为求解不等式不等式的应用主要有三方面：一是能转化为求解不等式(组组)的有的有关问题关问题(如求如求n函数的定义域、讨论一元二次方程根的分布等函数的定义域、讨论一元二次方程根的分布等)；二是能转化为；二是能转化为不等式证明的有关问题不等式证明的有关问题(如证明函

18、数的单调性等如证明函数的单调性等)；三是能利用两个重；三是能利用两个重要不等式的极端情形解决的最值问题要不等式的极端情形解决的最值问题.n【例【例4】函函数数yx (x1)的的值值域是域是_ 【错因分析错因分析】应用基本不等式应用基本不等式 时，易忽视时，易忽视a、b同为非负数这一条件而出错，如本同为非负数这一条件而出错，如本题易出现：由题易出现：由yx 13，得出，得出y3，)这一错误结果这一错误结果【答题模板答题模板】解：解：当当x1时时，yx 13，当且当且仅仅当当x1 即即x2时时等号成立；等号成立；当当x0)的特殊的特殊情况，在情况，在应应用均用均值值不等式求函数最不等式求函数最值时

19、值时，一定要注意，一定要注意ax，的符号，必的符号，必要要时时要要进进行分行分类讨论类讨论.【状元笔记状元笔记】n1已知已知a，b，c(0，)，且，且abc1，求，求证证：n 分析：分析：先通分，再通过先通分，再通过abc1转化后利用基本不等式证明转化后利用基本不等式证明 n 证明：证明：n 8(当且当且仅仅当当abc时时取等号取等号)n 原不等式得原不等式得证证 n2已知两正数已知两正数x，y满满足足xy1，则则z 的最小的最小值为值为_ n 解析：解析：z n 令令txy，则，则0txy 由由f(t)t 上单调递减，故当上单调递减，故当n t 时时f(t)t 所以当所以当xy 答案：答案：