苏教版高三数学复习课件3.8正余弦定理的应用.ppt

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1、n能能够够运用正弦定理、余弦定理等知运用正弦定理、余弦定理等知识识和方法解决一些与和方法解决一些与测测量和几何量和几何计计算有关的算有关的实际问题实际问题第第8 8课时课时 正弦定理、余弦定理的应用正弦定理、余弦定理的应用n1利利用用正正弦弦定定理理，余余弦弦定定理理等等知知识识和和方方法法解解决决一一些些与与测测量量和和几几何何计计算有关的算有关的实际问题实际问题n2高高考考题题型型主主要要考考查查与与距距离离、角角度度、高高度度、几几何何等等有有关关的的实实际际问问题题近近几几年年主主要要是是以以解解答答题题形形式式出出现现，难难度度不不高高，所所以以，在在备备考中，重在熟考中，重在熟练对

2、练对正、余弦定理的运用正、余弦定理的运用【命题预测】【命题预测】1解解与与三三角角形形有有关关的的实实际际问问题题时时，要要注注意意对对仰仰角角、俯俯角角、方方位位角角、方方向向角角、铅铅直平面等术语的理解直平面等术语的理解与与角角度度有有关关的的实实际际问问题题，除除了了仍仍要要合合理理应应用用正正、余余弦弦定定理理和和三三角角形形知知识识外外，还还要要注注意意弄弄清清仰仰角角、俯俯角角、方方向向角角、方方位位角角等等有有关关术术语语解解决决这这类类问问题题的的基本步骤：基本步骤：(1)弄弄清清题题意意，作作出出示示意意图图，标标明明相相关关角角度度和和长长度度；(2)选选用用正正确确的的定

3、定理理或或三三角公式求解；角公式求解；(3)作答作答【应试对策】【应试对策】2解决与高度有关的实际问题的基本步骤：解决与高度有关的实际问题的基本步骤：(1)准准确确理理解解题题意意和和相相关关名名词词、术术语语；(2)画画出出示示意意图图，标标出出已已知知条条件件；(3)分分析析与与问问题题有有关关的的一一个个或或几几个个三三角角形形，结结合合直直角角三三角角形形的的知知识识和和正正、余弦定理正确求解余弦定理正确求解射影定理：在射影定理：在ABC中，中，abcos Cccos B；bacos Cccos A；cbcosAacos B.【知识拓展】【知识拓展】1实际问题中的常用角实际问题中的常用

4、角(1)仰角和俯角仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线在视线和水平线所成的角中，视线在水平线 的角叫仰角，的角叫仰角，在水平线在水平线 的角叫俯角的角叫俯角(如图如图)(2)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如如B点的方位角为点的方位角为(如图如图)上方上方下方下方2ABC的面积公式有的面积公式有(1)S a ah ha a(h ha a表示表示a边上的高边上的高)；(2)S absin C (R为外接圆半径为外接圆半径)；(3)S r(abc)(r为内切圆半径为内切圆半径)1在在ABC中，若中，若A120，AB5，BC

5、7，则，则ABC的面积的面积S_.解析：解析：由余弦定理由余弦定理BC2AB2AC22ABACcos 120，解得解得AC3，因此，因此ABC的面积的面积S ABACsin 120 .答案：答案：2 如如图图，A、B两两点点间间隔隔有有一一小小山山，现现选选定定能能直直接接到到达达点点A、B的的C点点，并并测测得得AC60 m，BC160 m，ACB60，则则A、B两两点点间间的的距距离离为为_m.解析：解析：AB 140(m)答案：答案：1403(2010济宁一中调研济宁一中调研)某人坐在火车上看风景，他看见远处有一座宝某人坐在火车上看风景，他看见远处有一座宝塔在与火车前进方向成塔在与火车前

6、进方向成30角的直线上，角的直线上，1分钟后，他看这宝塔在与火分钟后，他看这宝塔在与火车前进方向成车前进方向成45角的直线上，设火车的速度是角的直线上，设火车的速度是100 km/h，则宝塔到铁，则宝塔到铁路线的垂直距离等于路线的垂直距离等于_km.解析：解析：如图如图，BCA=4530=15，AB=(km)，AC=sinABC=(km)，所以宝塔到铁路线的垂直距离所以宝塔到铁路线的垂直距离=AC sin 30=(km)答案答案：4某某人人站站在在山山顶顶向向下下看看一一列列车车队队向向山山脚脚驶驶来来，他他看看见见第第一一辆辆车车与与第第二二辆辆车车的的俯俯角角差差等等于于他他看看见见第第二

7、二辆辆车车与与第第三三辆辆车车的的俯俯角角差差，则则第第一一辆辆车车与与第第二二辆辆车车的的距距离离d1与与第第二辆车与第三辆车的距离二辆车与第三辆车的距离d2之间的大小关系为之间的大小关系为_ 解析解析：由正弦定理，：由正弦定理，在在BCP中，中，在在DCP中，中，由于由于，BCPDCP，/得，得，又，又PBPD，d1d2.答案：答案：d13，所以此时没有触礁的危险所以此时没有触礁的危险(2)要使船没有触礁的危险，只要使要使船没有触礁的危险，只要使d3，即，即 3成立即可成立即可00，tan tan ，所以当所以当与与满足满足0tan tan AC，C60或或120.当当C60时，时，SAB

8、C ACABsin A 22 sin 902；当当C120时，时，SABC ACABsin A 22 sin 30 .n4如如图图，ABC是是简简易遮阳棚，易遮阳棚，A、B是南北方向上两个定点，是南北方向上两个定点，n正正东东方向射出的太阳光方向射出的太阳光线线与地面成与地面成40角，角，为为了使阴影了使阴影n面面ABD面面积积最大，遮阳棚最大，遮阳棚ABC与地面所成的角与地面所成的角为为_n 解解析析：作作CE平平面面ABD于于E，则则CDE是是太太阳阳光光线线与与地地面面所所成成的的角角，即即CDE=40.延延长长DE交交直直线线AB于于F，连连结结CF，则则CFD是是遮遮阳阳棚棚与与地地

9、面面所所成成的角，的角，设为设为.要使要使SABD最大，只需最大，只需DF最大在最大在CFD中，中，n CF为为定定值值，当当=50时时，DF最大最大n 答案答案：50n1正正弦弦定定理理、余余弦弦定定理理在在实实际际生生活活中中，有有着着广广泛泛的的应应用用，常常见见题题型型有有距离问题、高度问题、角度问题以及平面图形的面积问题等距离问题、高度问题、角度问题以及平面图形的面积问题等n2解解实实际际应应用用问问题题，要要准准确确找找出出仰仰角角、俯俯角角、方方位位角角，同同时时要要注注意意与与平平面面几几何何结结合合，运运用用正正弦弦定定理理、余余弦弦定定理理发发挥挥题题目目的的隐隐含含条条件

10、件，从从而而顺利解决问题顺利解决问题n3解实际问题时，要注意题目中给出的精确度，合理取近似值解实际问题时，要注意题目中给出的精确度，合理取近似值.【规律方法总结规律方法总结】n【例例5】(2009北北京京卷卷)在在ABC中中，角角A、B、C的的对对边边分分别为别为a、b、n c，B ，cos A ，b .n (1)求求sin C的值的值；(2)求求ABC的面积的面积【高考真题高考真题】n分析：分析：(1)根据三角形内角和定理，根据三角形内角和定理，ACB ，即，即C A，只要再根据，只要再根据cos A 求出求出sin A的值，根据两角差的正弦公的值，根据两角差的正弦公式即可求出式即可求出si

11、n C的值；的值；(2)相当于知道了三角形三个内角以及一条相当于知道了三角形三个内角以及一条边长，只要再求出一条边长就可以根据三角形面积公式求出边长，只要再求出一条边长就可以根据三角形面积公式求出ABC的面积的面积n规规范范解解答答：(1)因因为为角角A，B，C为为 ABC的的内内角角，且且B ，cos A ，n所以所以C A，sin A .于是于是sin Csinn n(2)由由(1)知知sin A ，sin C n又因为又因为B ，b ，所以在所以在ABC中，由正弦定理得中，由正弦定理得an于是于是ABC的面积的面积S absin C n本本题题初初看看像像是是一一道道纯纯粹粹的的解解三三

12、角角形形的的题题目目，实实际际上上是是以以考考查查三三角角恒恒等等变变换换为为主主的的一一道道试试题题，我我们们在在求求出出第第(1)问问后后就就可可以以根根据据正正弦弦定定理理和和三三角角形面积公式解决问题了形面积公式解决问题了n【知识链接】【知识链接】n三角形内角间的三角函数关系三角形内角间的三角函数关系n在在ABC中中，sin Asin(BC)，cos Acos(BC)，我们在解题时，要注意这些关系在解决三角形问题中的应用我们在解题时，要注意这些关系在解决三角形问题中的应用【命题探究命题探究】【全解密全解密】n在在三三角角形形中中，当当已已知知两两个个内内角角的的大大小小或或是是已已知知

13、两两个个内内角角的的三三角角函函数数值值时时，一一定定能能根根据据三三角角形形内内角角和和定定理理与与两两角角和和的的正正弦弦公公式式、余余弦弦公式求出第三个内角的大小或其三角函数值公式求出第三个内角的大小或其三角函数值 【方法探究】【方法探究】n 本题第本题第(1)问也可以根据问也可以根据sin Csin(AB)求解，由于求解，由于cos A ，sin A ，n B ，所以，所以sin Csin(AB)sin A cos Bcos Asin B n 第第(2)问也可以根据正弦定理问也可以根据正弦定理 2R(R为为ABC的外接圆半的外接圆半径径)，得，得R1，S absin C 2Rsin A

14、2Rsin Bsin C sin Asin B sin C，n 只要将第只要将第(1)问的结果代入即可问的结果代入即可.【发散思维】【发散思维】n1在在ABC中，角中，角A、B、C所所对对的的边边分分别为别为a，b，c，n 证证明明 n 分分析析：此此题题主主要要考考查查正正、余余弦弦定定理理在在证证明明恒恒等等式式中中的的应应用用，由由等等号号左边的左边的n a2，b2，c2，运运用用余余弦弦定定理理进进行行转转化化，由由等等号号右右边边的的正正弦弦值值，想想到到运运用正弦定用正弦定n 理进行转化理进行转化n证明证明：由余弦定理，知由余弦定理，知a2b2c22bccos A，b2c2a22cacos B，n两式相减，得两式相减，得a2b2b2a22bccos A2cacos B，n.n由正弦定理，知由正弦定理，知 n n2如如图图，在在ABC中中，BAC120，AB2，AC1，D是是边边BC上一点，上一点，n DC2BD，则则 _.n 分分析析：利利用用余余弦弦定定理理求求出出BC边边的的长长，再再利利用用其其变变式式求求出出角角B的的余余弦值，结合向量的数量积求值弦值，结合向量的数量积求值n解：解：由余弦定理得由余弦定理得BC22212221 7，可得可得BC .n又因为又因为cos B n