高考数学一轮复习第8章平面解析几何热点探究课5平面解析几何中的高考热点问题教师用书文新人教A版.doc

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1、1 / 16【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第精选高考数学一轮复习第 8 8 章平面解析几何章平面解析几何热点探究课热点探究课 5 5 平面解析几何中的高考热点问题教师用书文平面解析几何中的高考热点问题教师用书文新人教新人教 A A 版版命题解读 圆锥曲线是平面解析几何的核心内容，每年高考必考一道解答题，常以求圆锥曲线的标准方程、位置关系、定点、定值、最值、范围、探索性问题为主这些试题的命制有一个共同的特点，就是起点低，但在第(2)问或第(3)问中一般都伴有较为复杂的运算，对考生解决问题的能力要求较高，通常作为压轴题的形式出现热点 1 圆锥曲线的标准方程与性质圆锥曲线的标准

2、方程在高考中占有十分重要的地位一般地，求圆锥曲线的标准方程是作为解答题中考查“直线与圆锥曲线”的第一小题，最常用的方法是定义法与待定系数法离心率是高考对圆锥曲线考查的另一重点，涉及 a，b，c 三者之间的关系另外抛物线的准线，双曲线的渐近线也是命题的热点(2017石家庄质检)如图 1，椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F2 的直线交椭圆于 P，Q 两点，且 PQPF1.图 1(1)若|PF1|2，|PF2|2，求椭圆的标准方程；(2)若|PF1|PQ|，求椭圆的离心率 e.【导学号：31222329】解 (1)由椭圆的定义，2a|PF1|PF2|(2)(2)4，故 a2.2

3、/ 16设椭圆的半焦距为 c，由已知 PF1PF2，因此 2c|F1F2|PF1|2|PF2|22.3 分即 c，从而 b1，故所求椭圆的标准方程为y21.5 分(2)连接 F1Q，如图，由椭圆的定义知|PF1|PF2|2a，|QF1|QF2|2a，又|PF1|PQ|PF2|QF2|(2a|PF1|)(2a|QF1|)，可得|QF1|4a2|PF1|. 又因为 PF1PQ 且|PF1|PQ|，所以|QF1|PF1|. 8 分由可得|PF1|(42)a，从而|PF2|2a|PF1|(22)a.由 PF1PF2，知|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，即(42)2a2(22)2a24c2，10

4、分可得(96)a2c2，即96，因此 e.12 分规律方法 1.用定义法求圆锥曲线的标准方程是常用的方法，同时应注意数形结合思想的应用2圆锥曲线的离心率刻画曲线的扁平程度，只需明确 a，b，c中任意两量的关系都可求出离心率，但一定注意不同曲线离心率取值范围的限制对点训练 1 已知椭圆中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，离心率为，它的一个顶点为抛物线 x24y 的焦点(1)求椭圆的标准方程；3 / 16(2)若直线 yx1 与抛物线相切于点 A，求以 A 为圆心且与抛物线的准线相切的圆的方程解 (1)椭圆中心在原点，焦点在 x 轴上设椭圆的方程为1(ab0)，因为抛物线 x24y 的焦点为(0,1

5、)，所以 b1.2 分由离心率 e，a2b2c21c2，从而得 a，所以椭圆的标准方程为y21.5 分(2)由解得所以点 A(2,1).8 分因为抛物线的准线方程为 y1，所以圆的半径 r1(1)2，所以圆的方程为(x2)2(y1)24.12分热点 2 圆锥曲线中的定点、定值问题定点、定值问题一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的定值问题以及与圆锥曲线有关的弦长、面积、横(纵)坐标等的定值问题角度 1 圆锥曲线的定值问题(2016北京高考)已知椭圆 C：1 过 A(2,0)，B(0,1)两点.【导学号：31222330】(1)求椭圆 C 的方程及离心率；(2)设 P 为第三象限内一点且在椭圆

6、 C 上，直线 PA 与 y 轴交于点 M，直线 PB 与 x 轴交于点 N，求证：四边形 ABNM 的面积为定值解 (1)由题意得 a2，b1，所以椭圆 C 的方程为y21.3 分4 / 16又 c，所以离心率 e.5 分(2)证明：设 P(x0，y0)(x00，y00)，则 x4y4.又 A(2,0)，B(0,1)，所以直线 PA 的方程为 y(x2).7 分令 x0，得 yM，从而|BM|1yM1.直线 PB 的方程为 yx1.9 分令 y0，得 xN，从而|AN|2xN2.所以四边形 ABNM 的面积 S|AN|BM|1 2(2x0 y01)(12y0 x02)x2 04y2 04x0

7、y04x08y04 2x0y0x02y022.从而四边形 ABNM 的面积为定值.12 分规律方法 1.求定值问题的常用方法：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值2定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思路是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关在这类问题中选择消元的方向是非常关键的角度 2 圆锥曲线中的定点问题设椭圆 E：1(ab0)的离心率为 e，且过点. 【导学号：31222331】(1)求椭圆 E 的方程；(2)设椭圆 E 的左顶点是 A，若直线 l：xmyt0 与椭圆 E相交于不同的两

8、点 M，N(M，N 与 A 均不重合)，若以 MN 为直径的圆5 / 16过点 A，试判定直线 l 是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标解 (1)由 e2，可得 a22b2，2 分椭圆方程为1，代入点可得 b22，a24，故椭圆 E 的方程为1.5 分(2)由 xmyt0 得 xmyt，把它代入 E 的方程得(m22)y22mtyt240，设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1y2，y1y2，x1x2m(y1y2)2t，x1x2(my1t)(my2t)m2y1y2tm(y1y2)t2.8 分因为以 MN 为直径的圆过点 A，所以 AMAN，所以(x12，y1)(x22，y2)x1x2

9、2(x1x2)4y1y224t24 m220.10 分因为 M，N 与 A 均不重合，所以 t2，所以 t，直线 l 的方程是 xmy，直线 l 过定点 T，由于点 T 在椭圆内部，故满足判别式大于 0，所以直线 l 过定点 T.12 分规律方法 1.假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点6 / 16坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点2从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意热点 3 圆锥曲线中的最值、范围问题圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；二是求直线或圆锥曲线中

10、几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问题已知椭圆y21 上两个不同的点 A，B 关于直线 ymx对称图 2(1)求实数 m 的取值范围；(2)求AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)解 (1)由题意知 m0，可设直线 AB 的方程为 yxb.由消去 y，得x2xb210.2 分(1 21 m2)因为直线 yxb 与椭圆y21 有两个不同的交点，所以2b220.将线段 AB 中点 M 代入直线方程 ymx，解得 b.由得 m.故 m 的取值范围是.5 分(2)令 t，则|AB|，且 O 到直线 AB 的距离为 d.7 分设AOB 的面积为 S(t)，所以 S(t)|AB|d，7

11、 / 16当且仅当 t2，即 m时，等号成立故AOB 面积的最大值为.12 分规律方法 范围(最值)问题的主要求解方法：(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决(2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数或等量关系，利用判别式、基本不等式、函数的性质、导数法进行求解对点训练 2 已知椭圆 C：1(ab0)的焦距为 4，且过点(，2)(1)求椭圆 C 的方程；(2)过椭圆焦点的直线 l 与椭圆 C 分别交于点 E，F，求的取值范围. 【导学号：31222332】解 由椭圆 C：1(ab0)的焦距为 4.得曲线 C 的焦点

12、 F1(0，2)，F2(0,2).2 分又点(，2)在椭圆 C 上，2a4，所以 a2，b2，即椭圆 C 的方程是1.5 分(2)若直线 l 垂直于 x 轴，则点 E(0,2)，F(0，2)，8.若直线 l 不垂直于 x 轴，设 l 的方程为 ykx2，点 E(x1，y1)，F(x2，y2)，将直线 l的方程代入椭圆 C 的方程得到：8 / 16(2k2)x24kx40，则 x1x2，x1x2，8 分所以x1x2y1y2(1k2)x1x22k(x1x2)448.10 分因为 0b0)的离心率是，点P(0,1)在短轴 CD 上，且1.图 3(1)求椭圆 E 的方程；(2)设 O 为坐标原点，过点

13、 P 的动直线与椭圆交于 A，B 两点是否存在常数 ，使得为定值？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由解 (1)由已知，点 C，D 的坐标分别为(0，b)，(0，b)又点 P 的坐标为(0,1)，且1，于是解得 a2，b.4 分所以椭圆 E 的方程为1.5 分(2)当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为ykx1，A，B 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)联立得(2k21)x24kx20.8 分其判别式 (4k)28(2k21)0，所以 x1x2，x1x2.从而，PBx1x2y1y2x1x2(y11)(y21)(1)(1k2)x1x2k(x1x2)12.所以，当 1 时，2

14、3.10 分此时，3 为定值11 / 16当直线 AB 斜率不存在时，直线 AB 即为直线 CD.此时，213.故存在常数 1，使得为定值3.12 分热点探究训练热点探究训练( (五五) )平面解析几何中的高考热点问题平面解析几何中的高考热点问题1(2014全国卷)设 F1，F2 分别是椭圆 C：1(ab0)的左、右焦点，M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直，直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N.(1)若直线 MN 的斜率为，求 C 的离心率；(2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2，且|MN|5|F1N|，求 a，b.解 (1)根据 c及题设知 M，2b23ac.2 分将 b

15、2a2c2 代入 2b23ac，解得，2(舍去)故 C 的离心率为.5 分(2)由题意，原点 O 为 F1F2 的中点，MF2y 轴，所以直线 MF1 与 y 轴的交点 D(0,2)是线段 MF1 的中点，故4，即 b24a. 8 分由|MN|5|F1N|得|DF1|2|F1N|.设 N(x1，y1)，由题意知 y1b0)的离心率为，点 P(0,1)和点 A(m，n)(m0)都在椭圆 C 上，直线 PA 交 x 轴于点 M. 【导学号：31222334】(1)求椭圆 C 的方程，并求点 M 的坐标(用 m，n 表示)；(2)设 O 为原点，点 B 与点 A 关于 x 轴对称，直线 PB 交 x

16、 轴于点 N.问：y 轴上是否存在点 Q，使得OQMONQ？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由解 b1，e，14 / 16解得 a22.3 分故椭圆 C 的方程为y21.设 M(xM,0)，由于点 A(m，n)在椭圆 C 上，1b0)的右焦点为 F(1,0)，右顶点为A，且|AF|1.图 5(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)若动直线 l：ykxm 与椭圆 C 有且只有一个交点 P，且与直线 x4 交于点 Q，问：是否存在一个定点 M(t,0)，使得 0.若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由. 【导学号：15 / 1631222335】解 (1)由 c1，ac1，得 a2，b

17、，3 分故椭圆 C 的标准方程为1.5 分(2)由Error!消去 y 得(34k2)x28kmx4m2120，64k2m24(34k2)(4m212)0，即 m234k2.8 分设 P(xP，yP)，则 xP，yPkxPmm，即 P.M(t,0)，Q(4,4km)，(4t,4km)，10 分(4t)(4km)t24t3(t1)0 恒成立，故即 t1.存在点 M(1,0)符合题意.12 分6(2016全国卷)已知抛物线 C：y22x 的焦点为 F，平行于 x 轴的两条直线 l1，l2 分别交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于P，Q 两点(1)若 F 在线段 AB 上，R 是 PQ 的中点

18、，证明 ARFQ；(2)若PQF 的面积是ABF 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程解 由题意知 F，设直线 l1 的方程为 ya，直线 l2 的方程为 yb，则 ab0，且 A，B，P，Q，R.记过 A，B 两点的直线为 l，则 l 的方程为 2x(ab)yab0.2分16 / 16(1)证明：由于 F 在线段 AB 上，故 1ab0.记 AR 的斜率为 k1，FQ 的斜率为 k2，则k1bk2.所以 ARFQ.5 分(2)设 l 与 x 轴的交点为 D(x1,0)，则 SABF|ba|FD|ba|，SPQF.8 分由题意可得|ba|，所以 x10(舍去)或 x11.设满足条件的 AB 的中点为 E(x，y)当 AB 与 x 轴不垂直时，由 kABkDE 可得(x1).10 分而y，所以 y2x1(x1)当 AB 与 x 轴垂直时，E 与 D 重合，此时 E 点坐标为(1,0)，满足方程 y2x1.所以，所求的轨迹方程为 y2x1.12 分