学年线性代数试题及答案.ppt

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1、06-07学年线性代数试题一、填空题一、填空题（每小题（每小题2分，共分，共14分）分）1、设、设A是是3阶矩阵，且阶矩阵，且 ，是是A的伴随矩阵，则：的伴随矩阵，则：2、设四元非齐次线性方程组、设四元非齐次线性方程组 的系数矩阵的系数矩阵A的秩为的秩为3，且，且是该方程组的两个解，则是该方程组的两个解，则方程组方程组 的通解为的通解为:3、已知三阶方阵、已知三阶方阵A的特征值为的特征值为1，-1，2，则矩阵，则矩阵的特征值为：的特征值为：，4、设有向量组、设有向量组问问时向量组时向量组 线性相关。线性相关。5、设、设3阶矩阵阶矩阵 ，且，且则则6、已知矩阵、已知矩阵 与与 相似，相似，则则7

2、、已知实二次型、已知实二次型经正交变换经正交变换 可化为标准形可化为标准形 ，则，则a=二、单项选择题（每小题二、单项选择题（每小题2分，共分，共10 分）分）1、若、若4阶矩阵阶矩阵A的元素均为的元素均为1，则，则A的特征值为（的特征值为（B ）（A）1，1，1，1；（B）4，0，0，0；（C）1，1，0，0；（D）1，0，0，0.2、设、设A为为m*n矩阵，且矩阵，且R(A)=mn，则（，则（D）（A）A的任意的任意m个列向量线性无关；个列向量线性无关；（B）A经过若干交初等行变换可化为（经过若干交初等行变换可化为（Em,0)的形式；的形式；（C）A中任一中任一m阶子式为零；阶子式为零；（

3、D）Ax=0必有无穷多解。必有无穷多解。3、设、设A为为n阶方阵，则方阵（阶方阵，则方阵（C ）为对称矩阵。）为对称矩阵。（A）A-AT；（B）CACT（C为任意为任意n阶矩阵）阶矩阵）（C）AAT；（D）(AAT)B(B为任意为任意n阶对称矩阵）阶对称矩阵）4、设、设A为为n阶方阵，且阶方阵，且 ，则，则 （A）5、设、设A，B为满足为满足AB=0的任意两个非零矩阵，则必有（的任意两个非零矩阵，则必有（A ）（A）A的列向量组线性相关，的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关；的行向量组线性相关；（B）A的列向量组线性相关，的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关；的列向量组线性相关；（C）

4、A的行向量组线性相关，的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关；的行向量组线性相关；（D）A的行向量组线性相关，的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关；的列向量组线性相关；三、计算行列式（每小题三、计算行列式（每小题5分，共分，共10 分）分）1、2、其中其中四、完成下列各题（四、完成下列各题（1、2小题小题3分，分，3题题4分，共分，共10 分）分）1、已知、已知n阶矩阵阶矩阵A满足满足A2+2A-3E=0，试证：，试证：A+4E可逆，可逆，并求出（并求出（A+4E）-1.2、已知向量组、已知向量组 线性无关，试证向量组：线性无关，试证向量组：线性无关。线性无关。3、设、设4阶方阵阶方阵A

5、满足条件满足条件求求A的伴随矩阵的伴随矩阵 的一个特征值。的一个特征值。五、解矩阵方程（满分五、解矩阵方程（满分7分）分）设矩阵设矩阵且且，求矩阵，求矩阵B。六、（满分六、（满分9分）分）设有线性方程组设有线性方程组问当问当a,b取何值时，方程组有惟一解、无解、有无穷多解，取何值时，方程组有惟一解、无解、有无穷多解，并求有无穷多解时的通解。并求有无穷多解时的通解。七、（满分七、（满分10分）分）求一正交变换求一正交变换 ，将二次型，将二次型 化为标准形。化为标准形。八、（每小题八、（每小题5分，满分分，满分10分）分）1、设线性方程组、设线性方程组的系数矩阵的系数矩阵A，三阶，三阶矩阵矩阵B不

6、等于零，且不等于零，且AB=0，试求，试求 的值，并证明的值，并证明2、设矩阵、设矩阵 ，矩阵，矩阵，其中，其中k为为实数，实数，E为为3阶单位阵，试求对角矩阵阶单位阵，试求对角矩阵 ，使，使B与对角阵与对角阵相似，并求相似，并求k为何值时，为何值时，B为正定矩阵。为正定矩阵。四、四、2）证：设有数）证：设有数使得使得即：即：整理得：整理得：国为向量组国为向量组 线性无关，所以线性无关，所以由此求方程组的系数行列式由此求方程组的系数行列式只有惟一零解，所以线只有惟一零解，所以线性无关。性无关。四、四、3）解：由）解：由若若 是是 A的一个特征值，则的一个特征值，则 是是 的特征值。的特征值。可知可知是是A的一个特征值。的一个特征值。所以所以而因为而因为 故故从而有从而有 是是 的一个特征值。的一个特征值。第七题、第七题、八、八、1）解：）解：并且并且因为因为1）可知）可知八、八、2）解：）解：所以，所以，A 的特征的特征值为值为 所以，所以，B 的特征的特征值为值为 则则B与与 相似，相似，当当 时时特征值都大于特征值都大于0，并且，并且所以为正定阵。所以为正定阵。