结构力学教学课件-12结构的极限荷载-1补充弯曲应力.pptx

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1、弯曲应力使杆件发生纯弯曲变形后,纵向线aa和bb弯成弧线,但横向直线mm和nn仍保持为直线,它们相对旋转一个角度后,仍然垂直于弧线aa和bb。纯弯曲时梁横截面上的正应力mmnnaabbxbbaammnnMM纯弯曲时梁横截面上的正应力1.变形几何关系 用两个横截面从纯弯曲梁中假想地截取长为dx的一段。平面假设：在梁弯曲变形后这两个横截面将相对地旋转一个角度d,并仍保持为平面。距中性层为y的纤维bb的长度变为 这里r为中性层的曲率半径。纤维bb的原长度为dx,且因为变形前、后中性层内纤维OO的长度不变,故有 根据应变的定义,求得纤维bb的应变为 纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比。2.物理关系

2、 因为纵向纤维之间无正应力,每一纤维都是单向拉伸或压缩。当应力小于比例极限时,由胡克定律知 这表明,任意纵向纤维的正应力与它到中性层的距离成正比。在横截面上,任意点的正应力与该点到中性轴的距离成正比。亦即沿截面高度,正应力按直线规律变化。现在的问题是中性轴在何处？3.静力关系 横截面上的微内力 dA组成垂直于横截面的空间平行力系,这一力系只可能简化成三个内力分量:纯弯曲时梁横截面上的正应力根据梁段作纯弯曲这一条件可知,上式中的FN和My均等于零,而Mz就是横截面上的弯矩M。纯弯曲时梁横截面上的正应力yCSz为截面图形对z的静矩,因E/r0,必有Sz 0,所以中性轴必通过横截面形心。中性轴(z轴

3、)过形心且与横截面的对称轴y垂直。z中性轴纯弯曲时梁横截面上的正应力这是保证梁为平面弯曲的条件。称为横截面对y、z轴的惯性积,只要截面图形对称于y、z中的任一轴,其值必为零。由于前已设定横截面的对称轴为y轴,故上式自然满足。称为横截面对中性轴z轴的惯性矩。是梁中性层的曲率表达式。EIz称为梁的抗弯刚度。该式为等直梁纯弯曲时横截面上任一点处正应力的计算公式。M -横截面上的弯矩y -求应力的点到中性轴的距离Iz -横截面对中性轴的惯性矩纯弯曲时梁横截面上的正应力应用公式时,一般将M,y以绝对值代入。根据梁变形的情况直接判断的正负号。以中性轴为界,梁变形后凸出边的应力为拉应力(为正号)。凹入边的应

4、力为压应力(为负号)。讨论：纯弯曲时梁横截面上的正应力最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处。当中性轴为对称轴时,ymax表示最大应力点到中性轴的距离,横截面上的最大正应力为yzCymaxymaxMt maxc max矩形截面梁横截面上正应力分布如图所示纯弯曲时梁横截面上的正应力Wz称为弯曲截面系数。是截面的几何性质之一,其值与横截面的形状和尺寸有关,单位是m3。令yzCymaxymax得纯弯曲时梁横截面上的正应力dyz矩形截面的抗弯截面系数圆形截面的抗弯截面系数yhbz纯弯曲时梁横截面上的正应力应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离yt max和yc max直接代入公式对于中性轴不是对称轴的横截面求得相应的最大正应力。5.2 纯弯曲时梁横截面上的正应力yt maxyc maxzyM压边压边拉边拉边zyMc maxt max5.2 纯弯曲时梁横截面上的正应力压边压边拉边拉边