经典概率论与数理统计第5章大数定律及中心极限定理.ppt

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1、第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理5.1 大数定律大数定律5.2 中心极限定理中心极限定理5.1大数定律大数定律上一上一页下一下一页返回返回例例 设电站供电网有设电站供电网有10000盏电灯，夜晚每一盏灯开盏电灯，夜晚每一盏灯开灯的概率都是灯的概率都是0.7，而假定开、关时间彼此独立，而假定开、关时间彼此独立，估计夜晚同时开着的灯数在估计夜晚同时开着的灯数在6800与与7200之间的概率之间的概率.22、大数定律定义、大数定律定义定义定义5.1.1设设Xn为随机变量序列，若对任意的为随机变量序列，若对任意的有有则称则称Xn服从大数定律。服从大数定律。定理定理上一上一页下

2、一下一页返回返回契比雪夫大数定律说明契比雪夫大数定律说明：在定理的条件下，当：在定理的条件下，当n充分大充分大时，时，n个独立随机变量的平均数这个随机变量的离散程个独立随机变量的平均数这个随机变量的离散程度是很小的。这意味，经过算术平均以后得到的随机度是很小的。这意味，经过算术平均以后得到的随机变量变量 将比较密的聚集在它的数学期望的将比较密的聚集在它的数学期望的 附近，它与数学期望之差依概率收敛到附近，它与数学期望之差依概率收敛到0.定理定理上一上一页下一下一页返回返回或或证明：设证明：设Xi表示第表示第i 次试验中事件次试验中事件A出现的次数，出现的次数，i=1,2,n,则则X1,X2,X

3、n相互独立且均服从参数为相互独立且均服从参数为p的的(0-1)分布，故有分布，故有E(Xi)=p,D(Xi)=p(1-p)i=1,2,n且且，由契比雪夫大数定律知，对于任意的，由契比雪夫大数定律知，对于任意的，有，有（贝努利大数定律）以（贝努利大数定律）以nA是是n次独立重复试验次独立重复试验中事件中事件A出现的次数出现的次数.p是事件是事件A在每次试验中发生的概在每次试验中发生的概率率(0p0有有:定理定理5.1.3上一上一页下一下一页返回返回说明：说明：1、贝努里大数定律从理论上证明了大量重、贝努里大数定律从理论上证明了大量重复独立试验中，事件复独立试验中，事件A发生的频率具有稳定性，正发

4、生的频率具有稳定性，正因为这种稳定性，概率的概念才有实际意义因为这种稳定性，概率的概念才有实际意义；2、贝努里大数定律还提供了通过试验来确定事件、贝努里大数定律还提供了通过试验来确定事件的概率的方法。的概率的方法。定理定理5.1.4（马尔可夫大数定律）对随机变量序列（马尔可夫大数定律）对随机变量序列Xn，若马尔可夫条件，若马尔可夫条件成立，则成立，则Xn服从大数定律，即对任意的，式服从大数定律，即对任意的，式(5.1.2)成立。成立。例例 设设Xn为一同分布、方差存在的随机变量序列，为一同分布、方差存在的随机变量序列，且且Xn仅与仅与Xn-1和和Xn+1相关，而与其他的相关，而与其他的Xi不相

5、关，不相关，试问该随机变量序列试问该随机变量序列Xn是否服从大数定律？是否服从大数定律？(辛钦大数定律辛钦大数定律)设随机变量设随机变量X1,X2,Xn,相互独立相互独立,服从同一分布，且具有数学期望服从同一分布，且具有数学期望E(Xi)=(i=1,2,)，则对于任意正数，则对于任意正数,有有定理定理上一上一页下一下一页返回返回5.2 中心极限定理中心极限定理 定义定义 若独立随机变量序列若独立随机变量序列X1,X2,Xn,的标准化和的标准化和 使得使得恒成立，恒成立，则称随机变量序列则称随机变量序列Yn服从中心极限定理服从中心极限定理（TheCentralLimitTheorem）。）。(独

6、立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理)设随机变量设随机变量X1,X2,Xn,相互独立相互独立,服从同一分布服从同一分布,且具有数学且具有数学期望和方差，期望和方差，E(Xk)=,D(Xk)=2 0(k=1,2,).则随则随机变量机变量定理定理的分布函数的分布函数Fn(x),对于任意对于任意x,有有上一上一页下一下一页返回返回说明：说明：定理称为林德贝格定理称为林德贝格勒维勒维(Lindeberg-Levy)中心极限定理，也称为独立同分布的中心极限中心极限定理，也称为独立同分布的中心极限定理定理 例例 一个螺丝钉重量是一个随机变量，期望值是一个螺丝钉重量是一个随机变量，期望值是1两，两

7、，标准差是标准差是0.1两两.求一盒求一盒（100个个）同型号螺丝钉的重量同型号螺丝钉的重量超过超过10.2斤的概率斤的概率.(李雅普诺夫定理李雅普诺夫定理)设随机变量设随机变量X1,X2,Xn,相互独立相互独立,它们具有数学期望和方差它们具有数学期望和方差:定理定理上一上一页下一下一页返回返回上一上一页下一下一页返回返回定理定理上一上一页下一下一页返回返回例例某保险公司有某保险公司有10000个同龄又同阶层的人参加人寿保个同龄又同阶层的人参加人寿保险，已知该类人在一年内死亡的概率为险，已知该类人在一年内死亡的概率为0.006，每个，每个参加保险的人在年初付参加保险的人在年初付12元保险费，而

8、在死亡时家元保险费，而在死亡时家属可向公司领得属可向公司领得1000元。问在此项业务活动中：元。问在此项业务活动中：(1)保险公司亏本的概率是多少？保险公司亏本的概率是多少？(2)保险公司获得利润不少于保险公司获得利润不少于40000元的概率是多少？元的概率是多少？上一上一页下一下一页返回返回PX120=1-解：设这解：设这10000人中一年内死亡的人数为人中一年内死亡的人数为X，则，则Xb(10000,0.006),保险公司一年收取保险公司一年收取1000012=120000元元保险费，故仅当每年死亡人数超过保险费，故仅当每年死亡人数超过120人时公司才会亏人时公司才会亏本，当每年死亡人数不超过本，当每年死亡人数不超过80人时公司获利不少于人时公司获利不少于40000元。由此可知，所求的概率分别为元。由此可知，所求的概率分别为PX120及及。上一上一页下一下一页返回返回