高考数学一轮复习第8章平面解析几何第4讲直线与圆圆与圆的位置关系学案.doc

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1、1 / 17【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第精选高考数学一轮复习第 8 8 章平面解析章平面解析几何第几何第 4 4 讲直线与圆圆与圆的位置关系学案讲直线与圆圆与圆的位置关系学案板块一 知识梳理自主学习必备知识考点 2 圆与圆的位置关系(O1、O2 半径r1、r2，d|O1O2|)必会结论1关注一个直角三角形当直线与圆相交时，由弦心距(圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成一个直角三角形2圆心在过切点且垂直于切线的直线上3两圆相交时公共弦的方程设圆 C1：x2y2D1xE1yF10，圆 C2：x2y2D2xE2yF20，若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由

2、所得，即：(D1D2)x(E1E2)y(F1F2)0.4两圆相切时，切点与两圆心三点共线5两圆不同的位置关系与对应公切线的条数(1)两圆外离时，有 4 条公切线；(2)两圆外切时，有 3 条公切线；(3)两圆相交时，有 2 条公切线；(4)两圆内切时，有 1 条公切线；(5)两圆内含时，没有公切线考点自测1判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”)(1)“k1”是“直线 xyk0 与圆 x2y21 相交”的必要不充分条件( )2 / 17(2)过圆 O：x2y2r2 上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程是x0xy0yr2.( )(3)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆

3、外切( )(4)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交( )(5)“m0”是“直线 xym0 与圆(x1)2(y1)22相切”的充分不必要条件( )答案 (1) (2) (3) (4) (5)2课本改编直线 l：xy10 与圆C：x2y24x2y10 的位置关系是( )B相切A相离 D相交但不过圆心C相交且过圆心 答案 D解析 圆的方程化为(x2)2(y1)24，圆心为(2,1)，半径为 2，圆心到直线 l 的距离为0，所以直线 l 与圆 C 相交故选 A.解法二：因为圆心(0,1)到直线 l 的距离 dr相离【变式训练 1】 2018深圳模拟已知点 M(a，b)在圆O：x2y21 外

4、，则直线 axby1 与圆 O 的位置关系是( )A相切 B相交 C相离 D不确定答案 B解析 因为 M(a，b)在圆 O：x2y21 外，所以 a2b21，而圆心 O 到直线 axby1 的距离 d4，所以点 M 在圆 C 外部当过5 / 17点 M 的直线斜率不存在时，直线方程为 x3，即 x30.又点 C(1,2)到直线 x30 的距离 d312r，即此时满足题意，所以直线 x3 是圆的切线当切线的斜率存在时，设切线方程为 y1k(x3)，即kxy13k0，则圆心 C 到切线的距离 dr2，解得 k.所以切线方程为 y1(x3)，即 3x4y50.综上可得，过点 M 的圆 C 的切线方程

5、为 x30 或3x4y50.因为|MC|，所以过点 M 的圆 C 的切线长为1.触类旁通圆的切线有关的结论(1)过圆 x2y2r2 上一点 P(x0，y0)的切线方程为x0xy0yr2.(2)过圆(xa)2(yb)2r2 上一点 P(x0，y0)的切线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.(3)过圆 x2y2r2 外一点 P(x0，y0)作圆的两条切线，切点为 A，B，则过 A、B 两点的直线方程为 x0xy0yr2.(4)过圆 x2y2DxEyF0(D2E24F0)外一点P(x0，y0)引圆的切线，切点为 T，则切线长为|PT|.(5)过圆 C：(xa)2(yb)2r2(r0)外一

6、点 P(x0，y0)作圆C 的两条切线，切点分别为 A，B，则切点弦 AB 所在直线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.(6)若圆的方程为(xa)2(yb)2r2(r0)，则过圆外一点P(x0，y0)的切线长d.【变式训练 2】 2015广东高考平行于直线 2xy10且与圆 x2y25 相切的直线的方程是( )A2xy50 或 2xy50B2xy0 或 2xy06 / 17C2xy50 或 2xy50D2xy0 或 2xy0答案 A解析 设与直线 2xy10 平行的直线方程为2xym0(m1)，因为直线 2xym0 与圆 x2y25 相切，即点(0,0)到直线 2xym0 的距离为

7、，所以，|m|5.故所求直线的方程为 2xy50 或 2xy50.命题角度 2 圆的弦长问题例 3 过点(4,0)作直线 l 与圆 x2y22x4y200 交于A，B 两点，若|AB|8，则直线 l 的方程为( )A5x12y200B5x12y200 或 x40C5x12y200D5x12y200 或 x40答案 B解析 圆的标准方程为(x1)2(y2)225，由|AB|8 知，圆心(1,2)到直线 l 的距离 d3.当直线 l 的斜率不存在，即直线 l 的方程为 x4 时，符合题意当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 yk(x4)，即kxy4k0.则有3，k.此时直线 l 的方程为

8、 5x12y200.命题角度 3 圆中的最值问题斜率型最值例 4 已知实数 x，y 满足方程 x2y24x10，则的最大值为_，最小值为_答案 3解析 原方程可化为(x2)2y23，表示以(2,0)为圆心，为7 / 17半径的圆.的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设k，即 ykx.当直线 ykx 与圆相切时，斜率 k 取最大值或最小值(如图)，此时，解得 k.所以的最大值为，最小值为.截距型最值例 5 2018郑州模拟已知实数 x，y 满足 x2y24(y0)，则 mxy 的取值范围是( )B2，4A(2，4) D4,2C4,4 答案 B解析 由于 y0，所以 x2y24(y0)为上半

9、圆.xym0 是直线(如图)，且斜率为，在 y 轴上截距为 m，又当直线过点(2,0)时，m2，所以即Error!解得 m2，4，选 B.触类旁通直线与圆综合问题的解题策略(1)用几何法求圆的弦长：设圆的半径为 r，弦心距为 d，弦长为 l，则 2r2d2.(2)求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点与圆的位置关系，若点在圆内，无解；若点在圆上，有一解；若点在圆外，有两解(3)对于圆的最值问题，一般是根据条件列出关于所求目标的式子函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式的性质求出最值【变式训练 3】 2015江苏高考在平面直角坐标系 xOy 中，以点(1

10、,0)为圆心且与直线 mxy2m10(mR)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_8 / 17答案 (x1)2y22解析 解法一：设 A(1,0)，由 mxy2m10，得 m(x2)(y1)0，则直线过定点 P(2，1)，即该方程表示所有过定点P 的直线系方程当直线与 AP 垂直时，所求圆的半径最大此时，半径为|AP|.故所求圆的标准方程为(x1)2y22.解法二：设圆的半径为 r，根据直线与圆相切的关系得 r ，当 m0 时，m212m(当且仅当 m1 时取等号)所以 r，即 rmax，故半径最大的圆的方程为(x1)2y22.考向 两圆的位置关系 例 6 (1)2016山东高考已知圆 M

11、：x2y22ay0(a0)截直线 xy0 所得线段的长度是 2，则圆 M 与圆 N：(x1)2(y1)21 的位置关系是( )A内切 B相交 C外切 D相离答案 B解析 由题意知圆 M 的圆心为(0，a)，半径 Ra，因为圆 M 截直线 xy0 所得线段的长度为 2，所以圆心 M 到直线 xy0 的距离 d(a0)，解得 a2，又知圆 N 的圆心为(1,1)，半径r1，所以|MN|，则 Rr0)的公共弦的长为 2，则 a_.答案 19 / 17解析 两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为(x2y22ay6)(x2y2)04y，又 a0，结合图形，利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形

12、，可知 1a1.触类旁通如何处理两圆的位置关系判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去 x2、y2 项得到【变式训练 4】 已知圆 C1：x2y22mx4ym250 与圆 C2：x2y22x2mym230，若圆 C1 与圆 C2 相外切，则实数 m( )A5 B5 或 2 C6 D8答案 B解析 对于圆 C1 与圆 C2 的方程，配方得圆 C1：(xm)2(y2)29，圆 C2：(x1)2(ym)24，则圆 C1 的圆心C1(m，2)，半径 r13，圆 C2 的圆心 C2(1，m)

13、，半径 r22.如果圆 C1 与圆 C2 相外切，那么有|C1C2|r1r2，即5，则m23m100，解得 m5 或 m2，所以当 m5 或 m2 时，圆 C1 与圆 C2 相外切核心规律切线、弦长的求解方法(1)求圆的切线方程可用待定系数法，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关系式求出切线的斜率即可(2)几何方法求弦长，利用弦心距，即圆心到直线的距离、弦长的一半及半径构成直角三角形计算满分策略1.过圆外一定点作圆的切线，有两条，若在某种条件下只求出10 / 17一个结果，则要想到还有斜率不存在的情况2.在两个圆相交的情况下，两个圆的方程相减后得到的直线方程才是公共弦所在的直线方程.板块三 启

14、智培优破译高考数学思想系列 8数形结合思想在圆中的妙用 2018江西模拟过点(，0)引直线 l 与曲线 y相交于 A，B两点，O 为坐标原点，当AOB 的面积取最大值时，直线 l 的斜率等于( )A. B C D3解题视点 如果等式、代数式的结构中蕴含着明显的几何特征，就要考虑数形结合法求解，解答本题时首先要看到曲线 y表示的是以原点为圆心，1 为半径的半个圆，作出图形，结合三角形面积公式，确定面积最大时直线 l 的斜率解析 由 y得 x2y21(y0)，即该曲线表示圆心在原点，半径为 1 的半圆，如图所示故 SAOB|OA|OB|sinAOBsinAOB.所以当sinAOB1，即 OAOB

15、时，SAOB 取得最大值，此时点 O 到直线l 的距离 d|OA|sin45.设此时直线 l 的斜率为 k，则方程为yk(x)，即 kxyk0，则有，解得 k，由图可知直线l 的倾斜角为钝角，故取 k.答案 B答题启示 “数”与“形”是数学这座高楼大厦的两块最重要的基石，二者在内容上互相联系，在方法上互相渗透，在一定条件下可以互相转化，而数形结合法正是在这一学科特点的基础上发展而来的.在解答选择题的过程中，可以先根据题意，作出草图，然后参照图形的作法、形状、位置、性质，综合图象的特征，得出结论.跟踪训练2018湖北模拟若直线 yxb 与曲线 y3有公共点，则b 的取值范围是( )11 / 17

16、B1，3A12，12 D12，3C1,12 答案 D解析 y3，1y3，(x2)2(y3)24(1y3)，即曲线 y3表示以(2,3)为圆心，2 为半径的下半圆直线yxb 与曲线 y3有公共点，表示两曲线至少有一个公共点符合条件的直线应是夹在过点(0,3)和与下半圆相切的两直线之间当直线 yxb 过点(0,3)时，b3；当直线 yxb 与圆y3相切时，由点到直线的距离公式，得 2，|b1|2.结合图形知 b12.12b3，故选 D.板块四 模拟演练提能增分A 级 基础达标12018福建漳州八校联考已知点 P(a，b)(ab0)是圆x2y2r2 内的一点，直线 m 是以 P 为中点的弦所在的直线

17、，直线l 的方程为 axbyr2，那么( )Aml，且 l 与圆相交 Bml，且 l 与圆相切Cml，且 l 与圆相离 Dml，且 l 与圆相离答案 C解析 点 P(a，b)(ab0)在圆内，a2b2r，ml，l 与圆相离故选 C.2已知过点 P(2,2)的直线与圆(x1)2y25 相切，且与直线 axy10 垂直，则 a 等于( )A B1 C2 D.1 2答案 C12 / 17解析 圆心为 C(1,0)，由于 P(2,2)在圆(x1)2y25 上，P 为切点，CP 与过点 P 的切线垂直kCP2.又过点 P 的切线与直线 axy10 垂直，akCP2，选 C.32018湖北武汉调研圆 x2

18、y24 与圆x2y24x4y120 的公共弦所在直线和两坐标轴所围成图形的面积为( )A1 B2 C4 D8答案 B解析 圆 x2y24 与圆 x2y24x4y120 的公共弦所在直线的方程为 xy20，它与两坐标轴分别交于(2,0)，(0,2)，所以直线和两坐标轴所围成图形的面积为222.故选 B.4已知圆 x2y22x2ya0 截直线 xy20 所得弦的长度为 4，则实数 a 的值是( )A2 B4 C6 D8答案 B解析 由圆的方程 x2y22x2ya0 可得，圆心为(1,1)，半径 r.圆心到直线 xy20 的距离为 d.由 r2d22，得 2a24，所以 a4.52018安徽模拟若过

19、点 P(，1)的直线 l 与圆x2y21 有公共点，则直线 l 的倾斜角的取值范围是( )A. B. C. D.0， 3答案 D解析 设直线 l 的方程为 y1k(x)，即 kxyk10.由 d1, 得 0k，所以直线 l 的倾斜角的取值范围是.6圆 C1：x2y22x2y20 与圆C2：x2y24x2y40 的公切线有( )A1 条 B2 条 C3 条 D4 条答案 D13 / 17解析 圆 C1：(x1)2(y1)24，圆心 C1(1，1)，半径 r12；圆 C2：(x2)2(y1)21，圆心 C2(2,1)，半径r21.两圆心的距离 d，r1r23，dr1r2，两圆外离，两圆有 4 条公

20、切线7由直线 yx1 上的一点向圆 x2y26x80 引切线，则切线长的最小值为( )A. B2 C3 D.2答案 A解析 如图，在 RtPAB 中，要使切线 PB 最小，只需圆心与直线 yx1 上的点的距离取得相应最小值即可，易知其最小值为圆心到直线的距离，即|AP|min2，故|BP|min .82018太原质检过点 A(4,1)的圆 C 与直线 xy10 相切于 B(2,1)，则圆 C 的方程为_答案 (x3)2y22解析 设圆 C 的方程为(xa)2(yb)2r2，由题意知：点(a，b)既在直线 y1(x2)上，又在 AB 的垂直平分线上，由得圆心坐标为(3,0)，r|AC|，所以圆

21、C 的方程为(x3)2y22.92016全国卷设直线 yx2a 与圆C：x2y22ay20 相交于 A，B 两点，若|AB|2，则圆 C 的面积为_答案 4解析 圆 C 的方程可化为 x2(ya)2a22，可得圆心的坐标为 C(0，a)，半径 r，所以圆心到直线 xy2a0 的距离为，所以 2()2()2，解得 a22，所以圆 C 的半径为 2，所以圆C 的面积为 4.102018沈阳质检过点 M(1,2)的直线 l 与圆 C：(x3)2(y4)225 交于 A，B 两点，C 为圆心，当ACB 最小时，直线14 / 17l 的方程是_答案 xy30解析 依题意得知，当ACB 最小时，圆心 C

22、到直线 l 的距离达到最大，此时直线 l 与直线 CM 垂直，又直线 CM 的斜率为 1，因此所求的直线 l 的方程是 y2(x1)，即 xy30.B 级 知能提升1已知圆 C：(x)2(y1)21 和两点 A(t,0)，B(t,0)，(t0)，若圆 C 上存在点 P，使得APB90，则 t 的取值范围是( )A(0,2 B1,2 C2,3 D1,3答案 D解析 由题意可知，若使圆 C 上存在点 P，使得APB90，即圆 C 与以原点 O 为圆心，半径为 t 的圆有交点，即|OC|1t|OC|1，即 1t3，t 的取值范围为1,3，故选D.22017河南洛阳二模已知圆 C 的方程为 x2y21

23、，直线l 的方程为 xy2，过圆 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 45的直线交 l 于点 A，则|PA|的最小值为( )A. B1 C.1 D22答案 D解析 解法一：由题意可知，直线 PA 与坐标轴平行或重合，不妨设直线 PA 与 y 轴平行或重合，设 P(cos，sin)，则A(cos，2cos)，|PA|2cossin|，|PA|的最小值为 2.故选 D.解法二：由题意可知圆心(0,0)到直线 xy2 的距离d，圆 C 上一点到直线 xy2 的距离的最小值为1.由题意可得|PA|min(1)2.故选 D.32017江苏高考在平面直角坐标系 xOy 中，A(12,0)，B(0,6)，

24、点 P 在圆 O：x2y250 上若20，则点 P 的横坐标的取值范围是_15 / 17答案 5，1解析 解法一：因为点 P 在圆 O：x2y250 上，所以设 P 点坐标为(x，)(5x5)因为 A(12,0)，B(0,6)，所以(12x，)或(12x，)，(x，6)或(x,6)因为20，先取 P(x, )进行计算，所以(12x)(x)()(6)20，即 2x5 .当 2x50，即 x时，上式恒成立；当 2x50，即 x时，(2x5)250x2，解得5x1，故 x1.同理可得 P(x，)时，x5.又5x5，所以5x1.故点 P 的横坐标的取值范围为5，1解法二：设 P(x，y)，则(12x，

25、y)，(x，6y)20，(12x)(x)(y)(6y)20，即 2xy50.如图，作圆 O：x2y250，直线 2xy50 与O 交于E，F 两点，P 在圆 O 上且满足 2xy50，点 P 在上由得 F 点的横坐标为 1.又 D 点的横坐标为5，P 点的横坐标的取值范围为5，142017全国卷已知抛物线 C：y22x，过点(2,0)的直线 l 交 C 于 A，B 两点，圆 M 是以线段 AB 为直径的圆(1)证明：坐标原点 O 在圆 M 上；(2)设圆 M 过点 P(4，2)，求直线 l 与圆 M 的方程解 (1)证明：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：xmy2，由可得 y22my

26、40，则 y1y24.16 / 17又 x1，x2，故 x1x24.因此 OA 的斜率与 OB 的斜率之积为1，所以 OAOB.故坐标原点 O 在圆 M 上(2)由(1)可得 y1y22m，x1x2m(y1y2)42m24.故圆心 M 的坐标为(m22，m)，圆 M 的半径 r.由于圆 M 过点 P(4，2)，因此0，故(x14)(x24)(y12)(y22)0，即 x1x24(x1x2)y1y22(y1y2)200.由(1)可得 y1y24，x1x24.所以 2m2m10，解得 m1 或 m.当 m1 时，直线 l 的方程为 xy20，圆心 M 的坐标为(3,1)，圆 M 的半径为，圆 M

27、的方程为(x3)2(y1)210.当 m时，直线 l 的方程为 2xy40，圆心 M 的坐标为，圆 M 的半径为，圆 M 的方程为 22.52015全国卷已知过点 A(0,1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C：(x2)2(y3)21 交于 M，N 两点(1)求 k 的取值范围；(2)若12，其中 O 为坐标原点，求|MN|.解 (1)由题设，可知直线 l 的方程为 ykx1.因为 l 与 C 交于两点，所以1，解得k，所以 k 的取值范围为.(2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)将 ykx1 代入方程(x2)2(y3)21，整理得(1k2)x24(1k)x70.所以 x1x2，x1x2.x1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)18.OM17 / 17由题设可得812，解得 k1，所以 l 的方程为 yx1.故圆心 C 在 l 上，所以|MN|2.