结构力学位移的计算.ppt

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1、 结构的位移计算结构的位移计算 1本章主要内容：本章主要内容：1 概述概述；2 线性变形体系的功能原理线性变形体系的功能原理;3 结构位移计算的一般理论结构位移计算的一般理论;4 结构位移计算（荷载作用）的单位荷载法结构位移计算（荷载作用）的单位荷载法;5 图乘法图乘法；6 温度变化引起的结构位移温度变化引起的结构位移7 由于支座位移引起的结构位移计算由于支座位移引起的结构位移计算。课后作业课后作业25-1 概述概述35-1 概述概述一、结构位移的种类一、结构位移的种类结构在荷载和温度变化等外界因素的影响下将会发生变形，因而结构上各点或截面的位置可能发生改变即产生位移。结构的位移可分为结构的位

2、移可分为1线位移线位移：结构上各点产生的位置：结构上各点产生的位置移动移动2角位移角位移：杆件横截面所产生的位置：杆件横截面所产生的位置转动转动变形体：变形体：在在外外界界因因素素影影响响下下产产生生变变形形（弹弹性性变变形形和和非非弹弹性性变变形形）的的物体统称为物体统称为变形体变形体45-1 概述概述一、结构位移的种类一、结构位移的种类55-1 概述概述一、结构位移的种类一、结构位移的种类绝对位移绝对位移相对位移：两点或两截面相互之间位置的改变量相对位移：两点或两截面相互之间位置的改变量65-1 概述概述二、使结构产生位移的因素二、使结构产生位移的因素1.荷载荷载结构在荷载作用下产生内力结

3、构在荷载作用下产生内力 材料发生应变材料发生应变结构产生位移结构产生位移2.温度变化温度变化材料的热胀冷缩材料的热胀冷缩 结构产生位移结构产生位移3.支座位移支座位移基础发生沉降基础发生沉降 结构支座移动、转动结构支座移动、转动 结构产生位移结构产生位移4.其他因素其他因素结构构件的尺寸制作误差、材料的干缩、混凝士凝结收缩等结构构件的尺寸制作误差、材料的干缩、混凝士凝结收缩等75-1 概述概述三、计算结构位移的目的三、计算结构位移的目的1.验算结构的刚度验算结构的刚度结构要满足强度、刚度、稳定性要求。结构要满足强度、刚度、稳定性要求。结构的刚度：以其变形或位移来量度结构的刚度：以其变形或位移来

4、量度 （在验算结构刚度时，需计算结构位移）。（在验算结构刚度时，需计算结构位移）。闸门：沿水流方向位移超过允许限度时，将使闸门的启闭受到阻碍，同闸门：沿水流方向位移超过允许限度时，将使闸门的启闭受到阻碍，同时影响止水效果。时影响止水效果。结构设计规范中具体规定结构设计规范中具体规定2.计算超静定结构计算超静定结构计算超静定结构：静力平衡条件、计算超静定结构：静力平衡条件、变形协调条件（结构的位移）变形协调条件（结构的位移）本章内容处于静定结构分析与超静定结构分析的交界处，起着承上启下本章内容处于静定结构分析与超静定结构分析的交界处，起着承上启下的作用。的作用。85-1 概述概述三、计算结构位移

5、的目的三、计算结构位移的目的3.为建筑起拱和结构架设提供位移数据为建筑起拱和结构架设提供位移数据(a)大跨度建筑中，结构变形大跨度建筑中，结构变形产生明显的下垂现象产生明显的下垂现象 不但影响美观，而且容易引起人们的不安全感。不但影响美观，而且容易引起人们的不安全感。(b)建筑起拱建筑起拱(起拱起拱)：把结构做成具有一定上弯度的初始弯曲形式，：把结构做成具有一定上弯度的初始弯曲形式，用以抵消由挠度产生的下垂现象。用以抵消由挠度产生的下垂现象。(需要计算结构位移需要计算结构位移)95-1 概述概述三、计算结构位移的目的三、计算结构位移的目的3.为建筑起拱和结构架设提供位移数据为建筑起拱和结构架设

6、提供位移数据 大型桥梁施工进行悬臂拼装时，结构自重、施工机械等临时荷载的大型桥梁施工进行悬臂拼装时，结构自重、施工机械等临时荷载的作用，悬臂部分将产生挠度，需计算结构位移，便于拼装时使构件准确作用，悬臂部分将产生挠度，需计算结构位移，便于拼装时使构件准确就位；就位；大型结构进行吊装时，需要合理设置起吊点，使安装部位产生的位大型结构进行吊装时，需要合理设置起吊点，使安装部位产生的位移小而且较为均匀，便于安装就位。移小而且较为均匀，便于安装就位。105-1 概述概述四、线性变形体系的假设及其特性四、线性变形体系的假设及其特性1线性变形体系（线性弹性体系线性变形体系（线性弹性体系/线弹性体系）：线弹

7、性体系）：满足两个基本假设的体系（1）材料是完全弹性的，服从虎克定律）材料是完全弹性的，服从虎克定律 结构在荷载作用下，最大应力不超过材料的弹性比例极限（2）结结构构的的变变形形(位位移移)是是微微小小的的，因因此此不不影影响响荷荷载载的的作作用用(材材料料力力学学小小变形假设变形假设)(不改变荷载作用点的位置和方向不改变荷载作用点的位置和方向)应用静力平衡条件建立方程时，可以不计结构变形(位移)的影响，而采用原始的几何尺寸。115-1 概述概述四、线性变形体系的假设及其特性四、线性变形体系的假设及其特性2线弹性体系的两个主要特性：线弹性体系的两个主要特性：(1)结构的变形结构的变形(位移位移

8、)与其作用力成正比与其作用力成正比柔度(影响)系数d：施加单位力时所产生的结构位移位移D：作用力为一般值时所产生的结构位移 D Ki 第一个下标K 位移所在的地点和方向 D Ki 第二个下标 i 产生位移的原因 有 D Ki =d Ki Pi 125-1 概述概述四、线性变形体系的假设及其特性四、线性变形体系的假设及其特性2线弹性体系的两个主要特性：线弹性体系的两个主要特性：（2）计算结构的变形（位移）可应用叠加原理）计算结构的变形（位移）可应用叠加原理叠叠加加原原理理：由由若若干干因因素素共共同同作作用用时时所所产产生生的的效效果果（内内力力、变变形形等等），等等于其每个因素单独作用时所产生

9、的效果的总和。于其每个因素单独作用时所产生的效果的总和。135-2 线性变形体系的功能原理线性变形体系的功能原理145-2 线性变形体系的功能原理线性变形体系的功能原理一、外力实功一、外力实功线性变形体系的功能原理是结构力学的重要理论基础,本节包括外力实功、实变形能、附加功或虚功的互等定理以及虚功原理等。线弹性体系的静力加载过程线弹性体系的静力加载过程荷载荷载:0 P变形变形:0 D D两者同步两者同步加加载载过过程程中中，加加载载速速度度缓缓慢慢，不不至至于于引引起起振振动动，这这样样的的家家在在过过程程，称称为为静静力加载力加载，相应的荷载为，相应的荷载为静力荷载静力荷载155-2 线性变

10、形体系的功能原理线性变形体系的功能原理一、外力实功一、外力实功单位荷载对应的变形单位荷载对应的变形:d d 当荷载到达最后数值当荷载到达最后数值:P 加载过程中荷载的值加载过程中荷载的值:F 外力做功增量外力做功增量图示蓝色部分的面积一、外力实功一、外力实功165-2 线性变形体系的功能原理线性变形体系的功能原理一、外力实功一、外力实功一、外力实功一、外力实功图示黄色三角形的面积线线弹弹性性体体系系线线性性在在静静力力荷荷载载作作用用下下，外外力力所所做做的的实实功功等等于于外外力力的的最最后后数数值值与与其其相相应应位位移移乘乘积积的一半的一半。注意点：注意点：(1)外力实功中，外力实功中，

11、位移是由做功的力本身引起的，且外力是变化的位移是由做功的力本身引起的，且外力是变化的 (由零开始逐渐增加到其最后数值由零开始逐渐增加到其最后数值)。(2)计算外力实功时，计算外力实功时，力与位移必须相对应力与位移必须相对应。175-2 线性变形体系的功能原理线性变形体系的功能原理一、外力实功一、外力实功一、外力实功一、外力实功计算外力实功时，计算外力实功时，力与位移必须相对应力与位移必须相对应185-2 线性变形体系的功能原理线性变形体系的功能原理一、外力实功一、外力实功一、外力实功一、外力实功广义力广义力：凡是做功的力统称为广义力：凡是做功的力统称为广义力广义位移广义位移：与广义力相对应的位

12、移统称为广义位移：与广义力相对应的位移统称为广义位移广义力(集中力集中力)广义位移(线位移线位移)广义力(集中力偶集中力偶)广义位移(角位移角位移)广义力(一对大小相等方向相反的共线力一对大小相等方向相反的共线力)广义位移(相对线位移相对线位移)广义力(一对大小相等方向相反的共线力偶一对大小相等方向相反的共线力偶)广义位移(相对角位移相对角位移)195-2 线性变形体系的功能原理线性变形体系的功能原理一、外力实功一、外力实功一、外力实功一、外力实功体系上多个外力共同作用时，总的外力实功体系上多个外力共同作用时，总的外力实功D D i 所有外力共同作用所有外力共同作用时，在时，在 i 点沿点沿P

13、i方向所产生的位移方向所产生的位移205-2 线性变形体系的功能原理线性变形体系的功能原理【例【例5-1】图示等截面直杆，在截面】图示等截面直杆，在截面1-1和和2-2处，分别作用沿处，分别作用沿轴线方向的静力荷载轴线方向的静力荷载 P1 和和 P2，已知杆件截面积为，已知杆件截面积为A，材料弹，材料弹性模量性模量E，试求外力，试求外力 P1 和和 P2 所做的实功。所做的实功。215-2 线性变形体系的功能原理线性变形体系的功能原理225-2 线性变形体系的功能原理线性变形体系的功能原理第一项第一项:P1单独作用时所做的实功单独作用时所做的实功第二项第二项:P2单独作用时所做的实功单独作用时

14、所做的实功第三项第三项:两个力的相互影响所产生的功两个力的相互影响所产生的功结论：计算外力实功时不能应用叠加原理。结论：计算外力实功时不能应用叠加原理。235-2 线性变形体系的功能原理线性变形体系的功能原理第三项的物理意义第三项的物理意义先加载先加载P1P1做功做功:再加载再加载P2P2做功做功:由于由于P2作用作用 1-1截面再次下移截面再次下移D D l12 P1 在附加位移在附加位移 D D l12 上所做的功上所做的功“附附加加功功”“虚虚功功”“附加功附加功”用以区别于外力再其本身所引起的位移上所做的实功用以区别于外力再其本身所引起的位移上所做的实功245-2 线性变形体系的功能原

15、理线性变形体系的功能原理二、实变形能二、实变形能线弹性体系，受到荷载作用，发生变形，荷载卸去后，变形消失。是什么力量能使体系消除变形的呢?原原因因:加载过程中，外力作功，通过体系变形，转化为变形能储存到体系内部;卸载过程中，通过消除体系的变形，释放变形能变变形形能能:因因弹弹性性变变形形而而积积储储或或释释放放的的能能量量，称称为为线线弹弹性性体体系系的的变变形形位位能能(变变形形势能势能)，简称变形能。一般用，简称变形能。一般用U表示表示实变形能实变形能:与外力实功相对应的变形能与外力实功相对应的变形能虚变形能虚变形能:与外力附加功与外力附加功(虚功虚功)相对应的变形能相对应的变形能变形能以

16、体系内力作功来量度的变形能以体系内力作功来量度的255-2 线性变形体系的功能原理线性变形体系的功能原理二、实变形能二、实变形能从某体系的某根杆上任意截取微段ds，研究其内力变形内力在相应位移上所做的内力实功实变形能；略去二阶微量对于线弹性体系，三种变形能各自独立，由材料力学m 为剪应力不均匀分布系数，与截面形状有关 矩形截面1.2，圆形截面32/17，工字形截面总面积 A除以腹板面积 AS，即A/AS265-2 线性变形体系的功能原理线性变形体系的功能原理二、实变形能二、实变形能(1)将式(2)代入(1)，并在长度方向积分，得到一个杆件的实变形能(2)累加所有杆件的实变形能，得到体系的实变形

17、能实变形能计算实变形能时，不能应用叠加原理计算实变形能时，不能应用叠加原理(不能按单个荷载产生的实变形能累加得到全部荷载作用的实变形能不能按单个荷载产生的实变形能累加得到全部荷载作用的实变形能)275-2 线性变形体系的功能原理线性变形体系的功能原理三、实功原理三、实功原理-外力实功与实变形能的关系外力实功与实变形能的关系线弹性体系，静力加载，只发生变形，不引起振动，故无动能的变化。如果不计体系内部因材料应变发生内摩擦而损耗的微小热能，则体系上外力所做的实功，将全部被吸收转化为变形能(能量守恒)。285-2 线性变形体系的功能原理线性变形体系的功能原理四、附加功四、附加功(虚功虚功)的互等定理

18、的互等定理实功：实功：一批荷载在其本身产生的位移上所做的功附加功：附加功：一批荷载在别的因素产生的位移上所做的功做功和位移的下标说明做功和位移的下标说明TK i第一下标 K 表示做功的荷载第二个下标 i 表示做功的位移是在哪个状态DK i第一下标 K 表示位移发生的位置第二个下标 i 表示引起该位移的荷载1.附加功的互等定理附加功的互等定理295-2 线性变形体系的功能原理线性变形体系的功能原理四、附加功四、附加功(虚功虚功)的互等定理的互等定理第一组荷载在状态所做实功第二组荷载在状态所做实功第一组荷载在状态所做附加功附加功第二组荷载在状态所做实功第一组荷载在状态所做实功第二组荷载在状态所做附

19、加功附加功305-2 线性变形体系的功能原理线性变形体系的功能原理四、附加功四、附加功(虚功虚功)的互等定理的互等定理由于线性变形体系外力做的实功，与加载顺序无关，只与体系的初始状态和最终状态有关，所以两种加载次序下所得到的外力(Pi,Pk)实功相等附加功互等定理:第一状态的外力在第二状态位移上所做的功，等于第二状态的外力在第一状态位移上所做的功。315-2 线性变形体系的功能原理线性变形体系的功能原理四、附加功四、附加功(虚功虚功)的互等定理的互等定理（1）位移互等定理位移互等定理 力法解超静定梁力法解超静定梁2.附加功的互等定理的推论附加功的互等定理的推论位移互等定理：位移互等定理：第第个

20、个单单位位力力在在第第二二个个单单位位力力方方向向上上所所产产生生的的位位移移，等等于于第第二二个个单单位位力力在在第第一一个个单单位位力力方方向向上上所所产产生的位移。生的位移。注意：注意：单位力单位力广义力广义力位移位移广义位移广义位移325-2 线性变形体系的功能原理线性变形体系的功能原理四、附加功四、附加功(虚功虚功)的互等定理的互等定理（1）位移互等定理位移互等定理 力法解超静定梁力法解超静定梁2.附加功的互等定理的推论附加功的互等定理的推论335-2 线性变形体系的功能原理线性变形体系的功能原理四、附加功四、附加功(虚功虚功)的互等定理的互等定理（2）反力互等定理反力互等定理 位移

21、法解超静定梁位移法解超静定梁i 状态的反力在 k 状态的位移做功k 状态的反力在 i 状态的位移做功反力互等定理：反力互等定理：第第一一个个约约束束发发生生单单位位位位移移时时在在第第二二个个约约束束中中所所引引起起的的反反力力，等等于于第第二二个个约约束束发发生生单单位位位位移移时时在在第第一个约束中所引起的反力一个约束中所引起的反力345-2 线性变形体系的功能原理线性变形体系的功能原理五、附加功原理五、附加功原理体系总的外力实功：体系总的实变形能：U11与T11相对应(实变形能)U22与T22相对应(实变形能)荷载单独作用单独作用时做功和变形能由实功原理，T11=U11 T22=U22

22、(单独作用单独作用)T=U(共同作用共同作用)则有，T12 =U12同理可推知，T21 =U21一般情况 Tik =Uiki 状态中的外力在状态中的外力在 k 状态中的位移上所做的附加功，状态中的位移上所做的附加功，等于等于 i 状态中的内力因状态中的内力因 k 状态中的变形而产生的附加应变能。状态中的变形而产生的附加应变能。355-2 线性变形体系的功能原理线性变形体系的功能原理五、附加功原理五、附加功原理根据：线弹性体系的附加功原理线弹性体系的附加功原理(外力虚功与虚变形能的关系外力虚功与虚变形能的关系)方程称为虚功方程。方程称为虚功方程。可写为可写为 外力外力 位移位移 内力内力 变形变

23、形虚功原理需要涉及到两个状态：虚功原理需要涉及到两个状态：(1)一个状态取其外力和内力一个状态取其外力和内力 (2)一个状态取其位移和变形一个状态取其位移和变形实际上一般只提供一个状态实际上一般只提供一个状态即实际状态，即实际状态，另一个状态假设另一个状态假设(根据分析问题的需要设定根据分析问题的需要设定)虚拟状态虚拟状态365-2 线性变形体系的功能原理线性变形体系的功能原理五、附加功原理五、附加功原理外力虚设外力虚设虚力原理虚力原理外力外力位移位移 内力内力变形变形实际的位移实际的位移(变形变形)虚拟的力系虚拟的力系位移虚设位移虚设虚位移原理虚位移原理外力外力位移位移 内力内力变形变形虚拟

24、的位移虚拟的位移(变形变形)实际的力系实际的力系虚功原理适用范围：虚功原理适用范围：线弹性体系，非线弹性体系线弹性体系，非线弹性体系 产生的变形产生的变形(位移位移)的原因可以为外界各种因素：的原因可以为外界各种因素：(包括荷载、温度变化、支座沉降、制造误差等包括荷载、温度变化、支座沉降、制造误差等)小变形范围小变形范围375-4 结构位移计算的一般理论结构位移计算的一般理论385-3 结构位移计算的一般理论结构位移计算的一般理论一、结构位移计算的一般公式一、结构位移计算的一般公式虚功方程：虚功方程：虚设虚设 Pi=1(虚拟状态虚拟状态)：结构位移的一般计算公式（单位荷载法）结构位移的一般计算

25、公式（单位荷载法）表示表示虚拟状态虚拟状态中由虚设单位力中由虚设单位力Pi=1所产生的内力所产生的内力表示表示实际状态实际状态中结构杆件微段的变形。中结构杆件微段的变形。表示表示实际状态实际状态中由于杆件变形引起的结构位移。中由于杆件变形引起的结构位移。395-3 结构位移计算的一般理论结构位移计算的一般理论二、虚拟状态的设置方法二、虚拟状态的设置方法 虚虚拟拟状状态态中中所所设设置置的的单单位位力力与与所所求求位位移移，必必须须符符合合广广义义力力与与广广义义位位移移的对应关系。的对应关系。单位力是无量纲的量单位力是无量纲的量405-3 结构位移计算的一般理论结构位移计算的一般理论415-3

26、 结构位移计算的一般理论结构位移计算的一般理论425-4 结构位移计算结构位移计算(荷载作用荷载作用)的单位荷载法的单位荷载法435-4 结构位移计算结构位移计算(荷载作用荷载作用)的单位荷载法的单位荷载法虚力原理的应用虚力原理的应用(MaxwellMohr 法法)根据根据结构位移计算的一般公式结构位移计算的一般公式k 状态：实际状态，内力以状态：实际状态，内力以FNP、MP、FQP 表示表示对线弹性体系，有对线弹性体系，有线弹性体系杆件结构在荷载作用下，结构位移计算的一般公式线弹性体系杆件结构在荷载作用下，结构位移计算的一般公式445-4 结构位移计算结构位移计算(荷载作用荷载作用)的单位荷

27、载法的单位荷载法一、桁架一、桁架二、梁和刚架二、梁和刚架三、组合结构三、组合结构链杆链杆 受弯杆件受弯杆件四、曲杆和拱四、曲杆和拱轴线的曲率半径较小轴线的曲率半径较小采取同梁或刚架那样的处理方法采取同梁或刚架那样的处理方法较扁平的拱较扁平的拱必须同时考虑轴向变形和弯曲变形两项影响必须同时考虑轴向变形和弯曲变形两项影响 (由于轴力较大，轴向变形显著由于轴力较大，轴向变形显著)455-4 结构位移计算结构位移计算(荷载作用荷载作用)的单位荷载法的单位荷载法【例【例5-2】图示钢桁架，】图示钢桁架，P=160kN，各杆用两个，各杆用两个 80mm5mm的等边角钢的等边角钢(2L805)，A=2791

28、.2mm2，E=210GPa，试求试求 D DCV465-4 结构位移计算结构位移计算(荷载作用荷载作用)的单位荷载法的单位荷载法计算实际状态和虚拟状态下各杆的内力计算实际状态和虚拟状态下各杆的内力(轴力轴力),如图如图160KN160KN00200120120120200121258385834583858475-4 结构位移计算结构位移计算(荷载作用荷载作用)的单位荷载法的单位荷载法147.245 39.497-0.625-20015.8245B-E0.000 0.625 015.8245C-E0.000 0.625 015.8245C-D39.497-0.625-20015.8245A-

29、D34.125-0.750-12015.8246D-E17.063 0.375 12015.8246B-C17.063 0.375 12015.8246A-C轴力（kN）轴力 (kN)截面积A(cm2)杆长l(m)杆件名称485-4 结构位移计算结构位移计算(荷载作用荷载作用)的单位荷载法的单位荷载法【例【例5-3】图示简支梁，受到集中荷载】图示简支梁，受到集中荷载FP作用，试求梁两端截作用，试求梁两端截面面A、B的相对转角的相对转角 j jAB495-4 结构位移计算结构位移计算(荷载作用荷载作用)的单位荷载法的单位荷载法解解虚拟状态虚拟状态,在截面在截面A,B施加一对反向单位力偶施加一对反

30、向单位力偶确定实际状态下的弯矩方程确定实际状态下的弯矩方程(参见弯矩图参见弯矩图)虚拟状态下的弯矩方程虚拟状态下的弯矩方程(参见弯矩图参见弯矩图)正正值值表表示示与与所所设设的的一一对对单单位位力偶方向相同。力偶方向相同。505-4 结构位移计算结构位移计算(荷载作用荷载作用)的单位荷载法的单位荷载法【例【例5-4】图示一等截面圆弧曲杆】图示一等截面圆弧曲杆AB,截面为矩形，圆弧的圆截面为矩形，圆弧的圆心角为心角为a a,半径为半径为R。设均布竖向荷载。设均布竖向荷载 q 沿水平线作用，试求沿水平线作用，试求B点的竖向位移点的竖向位移D DBV515-4 结构位移计算结构位移计算(荷载作用荷载

31、作用)的单位荷载法的单位荷载法虚拟状态：虚拟状态：在在B点加单位竖向荷载点加单位竖向荷载取B点为坐标原点，任一点C坐标(x,y),圆心角q计算实际状态和单位荷载作用下的内力 525-4 结构位移计算结构位移计算(荷载作用荷载作用)的单位荷载法的单位荷载法取 q 为积分变量代入前三式代入前三式，经整理计算535-4 结构位移计算结构位移计算(荷载作用荷载作用)的单位荷载法的单位荷载法若讨论讨论：设 在题示给定的条件(受弯的梁/曲杆)下，弯曲变形对位移D的影响是主要的。一般轴力和剪力所引起的位移可以忽略不计。545-5 图乘法图乘法555-5 图乘法图乘法一、图乘法的应用条件一、图乘法的应用条件(

32、1)杆件轴线为直线杆件轴线为直线直杆；直杆；(2)杆件是等截面的（或分段等截面的）杆件是等截面的（或分段等截面的）EI=常数；常数；(3)两个弯矩图中至少有一个是直线变化的（或分段直线变化）两个弯矩图中至少有一个是直线变化的（或分段直线变化）直线图形直线图形。可用图乘法求积分运算可用图乘法求积分运算565-5 图乘法图乘法二、图乘法公式推导二、图乘法公式推导MK 图面积对图面积对 y 轴的面积静矩轴的面积静矩575-5 图乘法图乘法二、图乘法公式推导二、图乘法公式推导注意点注意点：(1)两两个个弯弯矩矩图图中中，一一个个取取面面积积w w，另另一一个个取取纵纵坐坐标标yC,但但纵纵坐坐标标必必

33、须须取取自自直直线线图图中中，并并与与面面积积 w w 的的形心相对应。形心相对应。(2)两两个个弯弯矩矩图图在在杆杆件件的的同同一一侧侧为为正，反之为负。正，反之为负。(3)实实际际上上，梁梁和和刚刚架架的的单单位位弯弯矩矩图是直线变化的。图是直线变化的。585-5 图乘法图乘法二、图乘法公式推导二、图乘法公式推导若弯矩图长度上由两根直线组成若弯矩图长度上由两根直线组成595-5 图乘法图乘法若两个弯矩图均为梯形时若两个弯矩图均为梯形时 将梯形分解为两个三角形，将梯形分解为两个三角形，分别与另一个弯矩图相乘后相加分别与另一个弯矩图相乘后相加605-5 图乘法图乘法若两个弯矩图均为梯形时若两个

34、弯矩图均为梯形时 注：注：(1)如如 a、b、c、d分分处处于于杆杆的的不不同同侧侧边边时时，上式仍然适用上式仍然适用注意正负号：注意正负号：“同侧相乘为正，异侧相乘为负同侧相乘为正，异侧相乘为负”(2)如如两两个个弯弯矩矩图图中中一一个个为为梯梯形形，另另一一个个为为三角形上式仍可应用。三角形上式仍可应用。615-5 图乘法图乘法三、几种常见图形的面积及其形心三、几种常见图形的面积及其形心注意注意:二次抛物线顶点处切线与基线平行二次抛物线顶点处切线与基线平行625-5 图乘法图乘法【例【例5-5】试用图乘法求简支梁】试用图乘法求简支梁 C 截面截面j jC635-5 图乘法图乘法1)确定虚拟

35、状态确定虚拟状态2)画出实际状态和虚拟状态的弯矩图画出实际状态和虚拟状态的弯矩图3)图乘图乘逆时针逆时针645-5 图乘法图乘法【例【例5-6】图示阶梯形变截面梁，】图示阶梯形变截面梁，q=20kN/m，已知其弯曲刚，已知其弯曲刚度：度：AB 段为段为 4EI，BC 段为段为EI。试求试求D DCV655-5 图乘法图乘法1)确定虚拟状态确定虚拟状态2)画出实际状态和虚拟状态的弯矩图画出实际状态和虚拟状态的弯矩图3)图乘图乘AB 段：段：AB 段：段：矩形部分矩形部分抛物线部分抛物线部分BC 段：段：665-5 图乘法图乘法【例【例5-7】图示刚架，】图示刚架，EI 常数，试求常数，试求C、D

36、两点沿两点沿CD方向的方向的相对线位移相对线位移D D CD 675-5 图乘法图乘法虚拟状态虚拟状态弯弯矩矩图图刚刚架架轴轴力力产产生生的的轴轴向向变变形形和和剪剪力力产产生生的的剪剪切切变变形形对对于于结结构构位位移移的的影影响响忽略不计忽略不计(参见第参见第4节节)。685-5 图乘法图乘法CD之间的相对距离缩短695-5 图乘法图乘法【例【例5-8】组合结构，组合结构，CD 杆横截面杆横截面A 200200mm2，AB和和 BE杆横截面为杆横截面为 bh300600mm2，弹性模量弹性模量 E=30GPa，试，试求求D DBH705-5 图乘法图乘法画出组合结构的实际状态和虚拟状态内力

37、图(ABCE-弯矩图 CD-轴力图)【分析】ABCE 刚架，弯矩对位移有影响 CD 链杆,轴力对位移有影响虚拟状态：在B处施加水平向右的单位力实际状态实际状态的内力图 未标单位 kNm虚拟状态虚拟状态的内力图715-5 图乘法图乘法实际状态实际状态的内力图 未标单位 kNm虚拟状态虚拟状态的内力图725-5 图乘法图乘法实际状态实际状态的内力图 未标单位 kNm虚拟状态虚拟状态的内力图735-6 温度变化引起的结构位移温度变化引起的结构位移745-6 温度变化引起的结构位移温度变化引起的结构位移 一一般般的的建建筑筑材材料料(钢钢，砼砼)都都有有热热胀胀冷冷缩缩的的特特性性，因因此此结结构构在

38、在实实际际使使用用过过程程中中，如如果果其其周周围围温温度度发发生生变变化化，则则杆杆件件将将发发生生变变形形，因因而而结结构构可可能能引引起位移。起位移。在在静静定定结结构构中中，由由于于体体系系不不存存在在多多余余约约束束，当当温温度度发发生生变变化化时时，结结构构及及其其各各杆杆可可以以自自由由地地发发生生(符符合合体体系系约约束束条条件件的的)变变形形或或位位移移，但但不不会会引引起起任何的反力和内力。任何的反力和内力。ABhlt1t2均匀升温均匀升温 t1=t2BABhlt1t2不均匀升温不均匀升温 t t1 1 t t2 2B755-6 温度变化引起的结构位移温度变化引起的结构位移

39、假设杆件内部的温度变化沿截面高度按直线变化故杆件中性轴上的温度为若h1=h2微段的轴向变形：微段的弯曲变形：(杆件上、下侧温度差的绝对值)微段的弯曲变形：微段的相对剪切位移：765-6 温度变化引起的结构位移温度变化引起的结构位移根据根据结构位移计算的一般公式结构位移计算的一般公式代入上述三式，得代入上述三式，得775-6 温度变化引起的结构位移温度变化引起的结构位移等直杆情况下，h 为常量若有 a,t1,t2 沿杆长不变取表示杆件单位荷载下轴力图的面积取表示杆件单位荷载下弯矩图的面积t0 升高为正，降低为负升高为正，降低为负w wNi 拉为正，压为负拉为正，压为负w wMi 温度变化产生的弯

40、曲变形与温度变化产生的弯曲变形与 产生的弯曲方向相同时为正，产生的弯曲方向相同时为正，反之为负反之为负785-6 温度变化引起的结构位移温度变化引起的结构位移注意：注意：(1)温度变化时，杆件的轴向变形与其横戴面大小无关温度变化时，杆件的轴向变形与其横戴面大小无关 (截面很大的杆件，也可能产生显著的轴向变形截面很大的杆件，也可能产生显著的轴向变形)在梁、刚架计算中，由于温度变化引起的位移时，在梁、刚架计算中，由于温度变化引起的位移时，必须考虑受弯杆件的轴向变形对结构位移的影响。必须考虑受弯杆件的轴向变形对结构位移的影响。(2)温度升高或降低，均为相对温度，而不是绝对温度。温度升高或降低，均为相

41、对温度，而不是绝对温度。桁架：桁架：一般只承受轴力，故可得桁架由于温度变化引起的位移计算公式：一般只承受轴力，故可得桁架由于温度变化引起的位移计算公式：795-6 温度变化引起的结构位移温度变化引起的结构位移【例【例5-9】AC、BC 杆截面为矩形，高杆截面为矩形，高 h 300mm，已知材料，已知材料的线膨胀系数为的线膨胀系数为a a，温度变化如图，试求结点，温度变化如图，试求结点 C上两杆截面的上两杆截面的相对角位移相对角位移q qC805-6 温度变化引起的结构位移温度变化引起的结构位移虚拟状态绘制虚拟状态的轴力图和弯矩图提示：约束反力均为0弯矩图轴力图链杆ABt0=12受弯杆AC BC

42、中性轴温度t0=(t1+t2)/2=3上下温差Dt=|t1-t2|=18 AC CB 由于温度变化引起的弯曲为下凸上凹，而单位荷载下上凸下凹，故计算时该项取负号。815-6 温度变化引起的结构位移温度变化引起的结构位移虚拟状态弯矩图轴力图结果为负值，表明结点C上两杆截面相对角位移实际方向与Mi=1假设的方向相反，即结点C上两杆的截面法线的夹角 q 减小825-6 温度变化引起的结构位移温度变化引起的结构位移求DCV 的虚拟状态如果结构均匀升温和降温，如图求DCV qC各杆轴力轴力图结构成为桁架。确定虚拟状态的轴力求qC 的虚拟状态(各杆按比例伸长或缩短，形状不变各杆按比例伸长或缩短，形状不变)

43、835-6 温度变化引起的结构位移温度变化引起的结构位移制造误差引起的结构位移制造误差引起的结构位移温度变化时：a t0 l杆件由于温度变化引起的轴向变形现在是杆件长度的尺寸误差为me，用me代替a t0 l，则得杆件尺寸制造误差引起的结构位移计算公式为m me为杆件长度制造误差，超出量为正、短缺量为负为杆件长度制造误差，超出量为正、短缺量为负845-6 温度变化引起的结构位移温度变化引起的结构位移例例：图图示示桁桁架架，为为建建筑筑起起拱拱，制制作作时时有有意意把把 DE杆杆的的长长度度超超出出m me=10mm，试求，试求D DCVABCDE33334mABCDEPi=11212其实只要求

44、其实只要求DE杆的单位内力杆的单位内力34=7.5mm()能达到建筑起拱的目的能达到建筑起拱的目的855-7 由于支座位移引起的结构位移计算由于支座位移引起的结构位移计算865-7 由于支座位移引起的结构位移计算由于支座位移引起的结构位移计算 当当结结构构支支座座或或其其他他约约束束由由于于某某种种原原因因(如如基基础础沉沉降降)而而发发生生位移时，结构也可能引起位移。位移时，结构也可能引起位移。在在静静定定结结构构中中，由由于于体体系系只只具具备备满满足足几几何何不不变变所所必必要要的的约约束束数数，故故当当某某些些支支座座或或约约束束发发生生沉沉降降或或位位移移时时，结结构构及及其其各各杆

45、杆只只可可能能引引起起位位置置的的改改变变，而而不不会会产产生生任任何何的的反反力力和和内内力力，因而杆件本身不发生变形因而杆件本身不发生变形。875-7 由于支座位移引起的结构位移计算由于支座位移引起的结构位移计算求任意点D的位移在某指定方向i-i的分量DiC虚拟状态虚虚拟拟状状态态 i中中的的外外力力(包包括括支支座座反反力力)在在实实际际状状态态中中相相应应位位移移上上所所做做外外力力虚虚功功静定结构在支座位移下，不会产生任何的反力和内力，杆件不发生变形，因此虚拟状态中的内力在实际状态中相应的变形上所作的内力功=0。885-7 由于支座位移引起的结构位移计算由于支座位移引起的结构位移计算

46、虚拟状态(1)不能把总和不能把总和 S S 之前的负号遗漏；之前的负号遗漏；(2)S S 内正、负号：内正、负号：R与与 C方向相同时，为正，反之为负方向相同时，为正，反之为负895-7 由于支座位移引起的结构位移计算由于支座位移引起的结构位移计算【例【例5-10】静定刚架，已知支座】静定刚架，已知支座A向右移动距离向右移动距离m mA=10mm，向，向下移动距离下移动距离vA=20mm，并沿顺时针方向转动，并沿顺时针方向转动j jA=0.3，求，求D点点的水平位移的水平位移D DDH。905-7 由于支座位移引起的结构位移计算由于支座位移引起的结构位移计算虚拟状态915-7 由于支座位移引起

47、的结构位移计算由于支座位移引起的结构位移计算例：图示桁架，已知例：图示桁架，已知n nB=C，试求杆，试求杆 BC的角位移的角位移j jBCn nBABCBldABC解：把单位力矩换算成组成力偶的两个力解：把单位力矩换算成组成力偶的两个力 T=1/d，分别作用在结点分别作用在结点 B、C上，并与上，并与 BC垂直。垂直。1/d1/dRA=1lRB=1l92本章课后作业本章课后作业93【作业【作业1】等截面伸臂梁等截面伸臂梁,在图示荷载作用下在图示荷载作用下,求截面求截面C的角位移的角位移j jC(郑版郑版5-2)94【作业【作业2】图乘法】图乘法 已知各杆的已知各杆的EI=2.1104kNm2

48、，求图示刚架铰，求图示刚架铰C 左右截面的相对角位移。左右截面的相对角位移。95【作业【作业3】组合结构如图示荷载作用下，已知链杆】组合结构如图示荷载作用下，已知链杆BE的轴向刚度的轴向刚度EA=EI/4 (1/m2)其余为受弯杆件，其余为受弯杆件，EI=常数常数 求求C点的水平位移点的水平位移D DCH（郑版（郑版5-17）96【作业【作业4】等截面刚架各杆截面均为矩形】等截面刚架各杆截面均为矩形,截面高度截面高度 h=0.25m,材材料线膨胀系数为料线膨胀系数为a a,试求试求B的水平位移的水平位移D DBH，和横梁中点，和横梁中点C的竖向位的竖向位移移D DCV。(郑版习题郑版习题5-21)97本章完本章完谢谢听讲谢谢听讲98