华师大版八年级下册数学-第19章-矩形、菱形和正方形-教学ppt课件.ppt

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1、1.矩形的性质第19章 矩形、菱形与正方形导入新课讲授新课当堂练习课堂小结19.1矩形学习目标1.理解矩形的概念，知道矩形与平行四边形的区别与联系.（重点）2.会证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问题.（重点、难点）观察下面图形,发现长方形在生活中无处不在.导入新课导入新课情景引入思考长方形跟我们前面学习的平行四边形有什么关系？你还能举出其他的例子吗？讲授新课讲授新课矩形的性质一活动1：利用一个活动的平行四边形教具演示,使平行四边形的一个内角变化,请同学们注意观察.长方形平行四边形矩形有一个角是直角矩形是特殊的平行四边形.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也就是长方形.归纳总结平

2、行四边形不一定是矩形.思考 因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质，由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？可以从边，角，对角线等方面来考虑.活动2：准备素材：直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等.（1）请同学们以小组为单位,测量身边的矩形（如书本,课桌,铅笔盒等）四条边的长度、四个角的度数和对角线的长度及夹角度数,并记录测量结果.ABCDOACBDBADADC BCD ABC橡皮擦课本桌子物体测量（实物）（形象图）（2）根据测量的结果,你有什么猜想？猜想1 矩形的四个角都是直角.猜想2 矩形的对角线相等.你能证明吗？证明：由定义，矩形必有一个角是直

3、角，设A=90ABDC，ADBC，B=C=D=90.（两直线平行，同旁内角互补）即矩形ABCD的四个角都是直角.已知,矩形ABCD.求证：A=B=C=D=90.ABCD证一证证明：四边形ABCD是矩形,AB=DC,ABC=DCB=90,在ABC和DCB中,AB=DC,ABC=DCB,BC=CB,ABCDCB.AC=DB.ABCDO如图,四边形ABCD是矩形,ABC=90,对角线AC与DB相交于点O.求证：AC=DB.矩形除了具有平行四边形的所有性质，还具有：矩形的四个角都是直角.矩形的对角线相等.归纳总结几何语言描述：在矩形ABCD中，对角线AC与DB相交于点O.ABC=BCD=CDA=DAB

4、=90，AC=DB.ABCDO例1如图,在矩形ABCD中,两条对角线AC,BD相交于点O,AOB=60,AB=4,求矩形对角线的长.解：四边形ABCD是矩形.AC=BD，OA=OC=AC,OB=OD=BD,OA=OB.又AOB=60,OAB是等边三角形，OA=AB=4，AC=BD=2OA=8.ABCDO典例精析矩形的对角线相等且互相平分例2如图,在矩形ABCD中,E是BC上一点,AE=AD,DFAE,垂足为F.求证：DF=DC.ABCDEF证明：连接DE.AD=AE,AED=ADE.四边形ABCD是矩形,ADBC,C=90.ADE=DEC,DEC=AED.又DFAE,DFE=C=90.DF=D

5、C.例3如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C处，BC交AD于点E，AD8，AB4，求BED的面积解：四边形ABCD是矩形，ADBC，A90，23.又由折叠知12，13，BEDE.设BEDEx，则AE8x.在RtABE中，AB2AE2BE2，42(8x)2x2，解得x5，即DE5.SBEDDEAB5410.矩形的折叠问题常与勾股定理结合考查思考：矩形是不是中心对称图形?如果是,那么对称中心是什么？矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.由于矩形是平行四边形，因此O做一做请同学们拿出准备好的矩形纸片,折一折,观察并思考.矩形是不是轴对称图形?如果是,那么对称轴有几条?矩形是轴

6、对称图形，过每一组对边中点的直线都是矩形的对称轴.练一练1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（）AABDCBAC=BD CACBD DOA=OBABCDOC2.如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的_.3.如图，在矩形ABCD中，AEBD于E，DAE：BAE3：1，求BAE和EAO的度数解：四边形ABCD是矩形，DAB90，AOAC，BOBD，ACBD，BAEDAE90，AOBO.又DAE：BAE3：1，BAE22.5，DAE67.5.AEBD，ABE90BAE9022.567.5，OABAB

7、E67.5EAO67.522.545.当堂练习当堂练习1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是()A.对角线相等B.对边相等C.对角相等D.对角线互相平分2.若矩形的一条对角线与一边的夹角为40,则两条对角线相交的锐角是()A.20B.40C.80D.10AC3.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则EF=_cm(提示：三角形中，两边中点所连线段的长是第三边长的一半)2.54.如图,四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,BEAC交DC的延长线于点E.（1）求证：BD=BE,（2）若DBC=30,BO=4

8、,求四边形ABED的面积.(提示：直角三角形中，30角所对边的长等于斜边的一半)ABCDOE(1)证明：四边形ABCD是矩形,AC=BD,ABCD.又BEAC,四边形ABEC是平行四边形,AC=BE,BD=BE.(2)解：在矩形ABCD中,BO=4,BD=2BO=24=8.DBC=30,CD=BD=8=4,AB=CD=4,DE=CD+CE=CD+AB=8.在RtBCD中,BC=四边形ABED的面积=(4+8)=.ABCDOE5.如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是AD上的动点，PEAC，PFBD于F，求PE+PF的值.解：连接OP.四边形ABCD是矩形，DAB=90，OA=OD=O

9、C=OB，SAOD=SDOC=SAOB=SBOC =S矩形ABCD=68=12.在RtBAD中，由勾股定理得BD=10，AO=OD=5，SAPO+SDPO=SAOD，AOPE+DOPF=12，即5PE+5PF=24，PE+PF=.能力提升：课堂小结课堂小结矩形的相关概念及性质四个内角都是直角，对边相等两条对角线互相平分且相等轴对称图形有两条对称轴有一个角是直角的平行四边形叫做矩形中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心19.1矩形导入新课讲授新课当堂练习课堂小结2.矩形的判定第19章 矩形、菱形与正方形学习目标1.经历矩形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握矩形的判定定理（重点）2.能应用矩形

10、的判定解答简单的证明题和计算题.(难点)复习引入导入新课导入新课问题1矩形的定义是什么？有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.问题2矩形有哪些性质？矩形边：角：对角线：对边平行且相等四个角都是直角对角线互相平分且相等思考工人师傅在做门窗或矩形零件时，如何确保图形是矩形呢？现在师傅带了两种工具（卷尺和量角器），他说用这两种工具的任意一种就可以解决问题，这是为什么呢？这节课我们一起探讨矩形的判定吧.讲授新课讲授新课有三个角是直角的四边形是矩形一类比平行四边形的定义也是判定平行四边形的一种方法，那么矩形的定义也是判定矩形的一种方法.问题1除了定义以外，判定矩形的方法还有没有呢？矩形是特殊的平行四边形.

11、类似地，那我们研究矩形的性质的逆命题是否成立.问题2上节课我们研究了矩形的四个角，知道它们都是直角，它的逆命题是什么？成立吗？逆命题：四个角是直角的四边形是矩形.成立问题3至少有几个角是直角的四边形是矩形？ABDC(有一个角是直角)ABDC(有二个角是直角)ABDC(有三个角是直角)猜测：有三个角是直角的四边形是矩形.已知：如图,在四边形ABCD中,A=B=C=90.求证：四边形ABCD是矩形.证明:A=B=C=90,A+B=180,B+C=180，ADBC,ABCD.四边形ABCD是平行四边形，四边形ABCD是矩形.ABCD证一证矩形的判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形.归纳总结几何语

12、言描述：在四边形ABCD中，A=B=C=90,四边形ABCD是矩形.ABCD思考一个木匠要制作矩形的踏板他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，就能得到矩形踏板为什么？有三个角是直角的四边形是矩形.例1如图，ABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H，求证：四边形 EFGH为矩形证明：在ABCD中，ADBC,DAB+ABC=180.AE与BG分别为DAB、ABC的平分线,ABDCHEFG四边形EFGH是矩形同理可证AED=EHG=90,AFB=90，GFE=90.BAE+ABF=DAB+ABC=90.例2如图，在ABC中，ABAC，ADBC，垂足为D，AN是ABC外角

13、CAM的平分线，CEAN，垂足为E，求证：四边形ADCE为矩形证明：在ABC中，ABAC，ADBC，BADDAC，即DACBAC.又AN是ABC外角CAM的平分线，MAECAECAM,DAEDACCAE(BACCAM)90.又ADBC，CEAN，ADCCEA90,四边形ADCE为矩形练一练在判断“一个四边形门框是否为矩形”的数学活动课上，一个合作学习小组的4位同学分别拟定了如下的方案，其中正确的是（）A测量对角线是否相等B测量两组对边是否分别相等C测量一组对角是否都为直角D测量其中三个角是否都为直角D上节课我们已经知道“矩形的对角线相等”，反过来，小明猜想“对角线相等的四边形是矩形”，你觉得对

14、吗？我猜想：对角线相等的平行四边形是矩形.不对，等腰梯形的对角线也相等.不对，矩形是特殊的平行四边形，所以它的对角线不仅相等且平分.思考 你能证明这一猜想吗？对角线相等的平行四边形是矩形二已知：如图,在ABCD中,AC,DB是它的两条对角线,AC=DB.求证：ABCD是矩形.证明：AB=DC,BC=CB,AC=DB,ABCDCB,ABC=DCB.ABCD,ABC+DCB=180,ABC=90,ABCD是矩形（矩形的定义）.ABCD证一证矩形的判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形.归纳总结几何语言描述：在平行四边形ABCD中，AC=BD，平行四边形ABCD是矩形.ABCD思考数学来源于生活，

15、事实上工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，则窗框一定是矩形，你现在知道为什么了吗？对角线相等的平行四边形是矩形.例3如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OD，OAD=50求OAB的度数ABCDO解：四边形ABCD是平行四边形，OA=OC=AC，OB=OD=BD.又OA=OD，AC=BD，四边形ABCD是矩形，BAD=90.又OAD=50，OAB=40.例4如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点,且AE=BF=CG=DH.求证:四边形EFG

16、H是矩形.BCDEFGHOA证明：四边形ABCD是矩形，AC=BD（矩形的对角线相等)，AO=BO=CO=DO（矩形的对角线互相平分），AE=BF=CG=DH，OE=OF=OG=OH，四边形EFGH是平行四边形，EO+OG=FO+OH，即EG=FH，四边形EFGH是矩形.练一练1.如图，在ABCD中，AC和BD相交于点O，则下面条件能判定ABCD是矩形的是（）AAC=BDBAC=BCCAD=BCDAB=AD A2.如图，在ABCD中,1=2中.此时四边形ABCD是矩形吗？为什么？ABCDO12解：四边形ABCD是矩形.理由如下：四边形ABCD是平行四边形 AO=CO,DO=BO.又1=2，AO

17、=BO，AC=BD，四边形ABCD是矩形.当堂练习当堂练习1.下列各句判定矩形的说法是否正确？（1）对角线相等的四边形是矩形；（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（3）有一个角是直角的四边形是矩形；（5）有三个角是直角的四边形是矩形；（6）四个角都相等的四边形是矩形；（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；（4）有三个角都相等的四边形是矩形;（8）一组对角互补的平行四边形是矩形；2.如图,直线EFMN,PQ交EF、MN于A、C两点,AB、CB、CD、AD分别是EAC、MCA、ACN、CAF的平分线,则四边形ABCD是（）A.梯形B.平行四边形C.矩形D.不能确定DEFMNQPA

18、BCC3.如图，在四边形ABCD中，ABCD，BAD=90，AB=5，BC=12，AC=13求证：四边形ABCD是矩形证明：四边形ABCD中，ABCD，BAD=90，ADC=90.又ABC中，AB=5，BC=12，AC=13，满足132=52+122，ABC是直角三角形，且B=90，四边形ABCD是矩形ABCD4.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长OA到N，使ONOB，再延长OC至M，使CMAN.求证：四边形NDMB为矩形证明：四边形ABCD为平行四边形，AOOC，ODOB.ANCM，ONOB，ONOMODOB，四边形NDMB为平行四边形，MNBD，平行四边形NDMB

19、为矩形5.如图，ABC中，ABAC，AD是BC边上的高，AE是BAC的外角平分线，DEAB交AE于点E，求证：四边形ADCE是矩形证明：ABAC，ADBC，BACB，BDDC.AE是BAC的外角平分线，FAEEAC.BACBFAEEAC，BACBFAEEAC，AECD.又DEAB，四边形AEDB是平行四边形，AE平行且相等于BD.又BDDC，AE平行且等于DC，故四边形ADCE是平行四边形.又ADC90，平行四边形ADCE是矩形6.如图，在梯形ABCD中，ADBC，B90，AD24cm，BC26cm，动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3

20、cm/s的速度运动点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动(1)经过多长时间，四边形PQCD是平行四边形？解：设经过xs，四边形PQCD为平行四边形，即PDCQ，所以24x3x，解得x6.即经过6s，四边形PQCD 是平行四边形；能力提升：(2)经过多长时间，四边形PQBA是矩形？解：设经过y s，四边形PQBA为矩形，即APBQ，所以y263y，解得y6.5，即经过6.5s，四边形PQBA是矩形课堂小结课堂小结有一个角是直角的平行四边形是矩形.对角线相等的平行四边形是矩形.有三个角是直角的四边形是矩形.运用定理进行计算和证明矩形的判定定义判定定理19.2菱形

21、第19章 矩形、菱形和正方形导入新课讲授新课当堂练习课堂小结1.菱形的性质第1课时菱形的性质学习目标1.了解菱形的概念及其与平行四边形的关系.2.探索并证明菱形的性质定理.（重点）3.应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题.（难点）导入新课导入新课情景引入欣赏下面图片，图片中框出的图形是你熟悉的吗？欣赏视频，前面的图片中出现的图形是平行四边形，和视频中菱形一致，那么什么是菱形呢？这节课让我们一起来学习吧.平行四边形矩形前面我们学习了平行四边形和矩形，知道了矩形是由平行四边形角的变化得到，如果平行四边形有一个角是直角时,就成为了矩形.有一个角是直角讲授新课讲授新课菱形的性质一思考如果从边的角度

22、,将平行四边形特殊化,内角大小保持不变仅改变边的长度让它有一组邻边相等,这个特殊的平行四边形叫什么呢?平行四边形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.菱形一组邻边相等菱形是特殊的平行四边形.平行四边形不一定是菱形.知识要点活动1如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？观看下面视频：活动2在自己剪出的菱形上画出两条折痕,折叠手中的图形(如图），并回答以下问题:问题1菱形是轴对称图形吗?如果是,指出它的对称轴.是，两条对角线所在直线都是它的对称轴.问题2根据上面折叠过程，猜想菱形的四边在数量上有什么关系?菱形的两对角线有什么关系?猜想1 菱形的四条边都相等.猜想2 菱形的两条

23、对角线互相垂直，并且每一条对 角线平分一组对角.已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O.求证:(1)AB=BC=CD=AD；(2)ACBD；DAC=BAC，DCA=BCA，ADB=CDB，ABD=CBD.证明：（1）四边形ABCD是菱形，AB=CD，AD=BC（菱形的对边相等）.又AB=AD,AB=BC=CD=AD.ABCOD证一证（2）AB=AD,ABD是等腰三角形.又四边形ABCD是菱形,OB=OD（菱形的对角线互相平分）.在等腰三角形ABD中,OB=OD，AOBD，AO平分BAD，即ACBD，DAC=BAC.同理可证DCA=BCA，ADB=CDB，ABD=C

24、BD.ABCOD菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质.对称性：是轴对称图形.边：四条边都相等.对角线：互相垂直，且每条对角线平分一组对角.角：对角相等.边：对边平行且相等.对角线：相互平分.菱形的特殊性质平行四边形的性质归纳总结例1如图,在菱形ABCD中，BAD2B，试求出B的大小，并说明ABC是等边三角形.解：在菱形ABCD中，ABBCBBAD180又已知BAD2B可得B60所以ABC是一个角为60的等腰三角形，即为等边三角形.A AB BC CD D典例精析例2如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD12cm，AC6cm，求

25、菱形的周长解：因为四边形ABCD是菱形，所以ACBD，AOAC，BOBD.因为AC6cm，BD12cm，所以AO3cm，BO6cm.在RtABO中，由勾股定理得所以菱形的周长4AB4312(cm)例3如图，在菱形ABCD中，CEAB于点E，CFAD于点F，求证：AEAF.证明：连接AC.四边形ABCD是菱形，AC平分BAD，即BACDAC.CEAB，CFAD，AECAFC90.又ACAC，ACEACF.AEAF.菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线都是它的对称轴，每条对角线平分一组对角归纳1.如图，在菱形ABCD中，已知A60，AB5，则ABD的周长是()A.10B.12C.15D.20

26、C练一练2.如图，菱形ABCD的周长为48cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长为_.(提示：三角形中两边中点所连线段的长等于第三边的长)第1题图第2题图6cm思考：菱形是不是中心对称图形?如果是,那么对称中心是什么？菱形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.由于菱形是平行四边形，因此O做一做：把图中的菱形ABCD沿直线DB对折（即作关于直线DB的轴对称），点A的像是_，点C的像是_，点D的像是_，点B的像是_，边AD的像是_，边CD的像是_，边AB的像是_，边CB的像是_.点C点A边CD点B点D边AD边CB边AB想一想：你能得到什么结论？菱形是轴对称

27、图形，两条对角线所在直线都是它的对称轴.菱形的面积二问题1菱形是特殊的平行四边形,那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形ABCD的面积?ABCD思考前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直,那么能否利用对角线来计算菱形ABCD的面积呢?能.过点A作AEBC于点E,则S菱形ABCD=底高=BCAE.E问题2如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O,试用对角线表示出菱形ABCD的面积.ABCDO解：四边形ABCD是菱形，ACBD,S菱形ABCD=SABC+SADC=ACBO+ACDO=AC(BO+DO)=ACBD.你有什么发现？菱形的面积=底高=对角线乘积的一半例4如图，在菱形ABCD中

28、，点O为对角线AC与BD的交点，且在AOB中，OA5，OB12.求菱形ABCD两对边的距离h.解：在RtAOB中，OA5，OB12，所以SAOBOAOB51230，所以S菱形ABCD4SAOB430120.因为又因为菱形两组对边的距离相等，所以S菱形ABCDABh13h，所以13h120，得h.菱形的面积计算有如下方法：(1)一边长与两对边的距离(即菱形的高)的积；(2)四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的4倍)；(3)两条对角线长度乘积的一半归纳练一练如图，已知菱形的两条对角线的长分别为6cm和8cm，则这个菱形的高DE为（）A.2.4cmB.4.8cmC.5cmD.9.6c

29、mB1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A.对角相等B.对边相等C.对角线互相垂直D.对角线相等C2.如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则ABD的周长等于（）A.18B.16C.15D.14当堂练习当堂练习B3.根据下图填一填：（1）已知菱形ABCD的周长是12cm，那么它的边长是_.（2）在菱形ABCD中，ABC120，则BAC_.（3）菱形ABCD的两条对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的边长是_.3cm30ABCOD5cm(4)菱形的一个内角为120,平分这个内角的对角线长为11cm，则菱形的周长为_.44cm(5)菱形的面积为64平方厘米，两条对角线的长度比为12

30、,那么菱形最短的那条对角线长为_.8厘米ABCOD4.如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对角线BD长10cm.求:(1)对角线AC的长度;(2)菱形ABCD的面积.解:(1)四边形ABCD是菱形,AED=90,(2)菱形ABCD的面积AC=2AE=212=24(cm).DBCAE5.如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E求证：AFD=CBE证明：四边形ABCD是菱形，CB=CD，CA平分BCDBCE=DCE又CE=CE，BCEDCE（SAS）CBE=CDE在菱形ABCD中，ABCD，AFD=FDC.AFD=CBEADCBFE课堂小结课堂小结菱形的性质菱形的性质

31、有关计算边1.周长=边长的四倍2.面积=底高=两条对角线乘积的一半角对角线1.两组对边平行且相等；2.四条边相等两组对角分别相等，邻角互补1.两条对角线互相垂直平分；2.每一条对角线平分一组对角19.2菱形第19章 矩形、菱形和正方形导入新课讲授新课当堂练习课堂小结1.菱形的性质第2课时菱形的性质与其他几何图形性质的综合1.利用菱形特有的性质，计算面积等；2.菱形的性质与其他几何图形的综合运用.（难点）学习目标问题:什么样的四边形是菱形？它有哪些性质呢？导入新课导入新课复习引入菱形的性质：菱形是轴对称图形，有两条对称轴菱形四条边都相等(AB=BC=CD=AD).菱形的对角线互相垂直(ACBD)

32、.ABCOD菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形菱形的面积及其他相关计算ABDCah(1)平行四边形的面积计算公式：S=ah.(2)菱形的面积计算公式：S=SABD+SBCD =AODB+CODB =ACDB.O讲授新课讲授新课例1如图，已知菱形ABCD的边长为2cm，BAD120，对角线AC、BD相交于点O.试求这个菱形的两条对角线AC与BD的长.解：在菱形ABCD中，ABC+BAD180，BAD120，ABC60又ABBC，ABC是等边三角形.ACAB2在RtABO中，AB，AO1,典例精析CBDAO例2如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，ABC60，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC

33、和BD，求两条小路的长和花坛的面积（结果分别精确到0.01m和0.1m2）(提示：直角三角形中，30角所对边的长等于斜边长的一半).ABCDO解：花坛ABCD是菱形，【变式题】如图，在菱形ABCD中，ABC与BAD的度数比为1：2，周长是8cm求：（1）两条对角线的长度；(提示：直角三角形中，30角所对边的长等于斜边长的一半)（2）菱形的面积解：（1）四边形ABCD是菱形，AB=BC，ACBD，ADBC，ABC+BAD=180.ABC与BAD的度数比为1：2，ABC=180=60，ABO=ABC=30，ABC是等边三角形.OA=AB=1cm，AC=AB=2cm，BD=2OB=cm；（2）S菱形

34、ABCD=ACBD =2=（cm2）菱形中的相关计算通常转化为直角三角形或等腰三角形，当菱形中有一个角是60时，菱形被分为两个等边三角形.归纳菱形ABCD的周长是8cmAB=2cm，例3如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于O，AE垂直平分CD，垂足为点.求BCD的大小.解：在菱形ABCD中，ADDC，AE垂直平分CD，ACAD，ADCDAC，ACD是等边三角形.ACD60，在菱形ABCD中，BCD2ACD，BCD120.例4如图，E为菱形ABCD边BC上一点，且AB=AE，AE交BD于O，且DAE=2BAE，求证：OA=EB.ABCDOE证明：四边形ABCD为菱形，ADBC，AD=BA，

35、ABCADC2ADB，DAEAEB，AB=AE,ABCAEB，ABC=DAE2ADB，DAE2BAE，BAEADB.又ADBA，AODBEA，AOBE.1.已知菱形的周长是24cm，那么它的边长是_.2.如图，菱形ABCD中，BAD120，则BAC_.6cm603.如图，菱形的两条对角线长分别为10cm和24cm，则菱形的边长是（）CA.10cmB.24cmC.13cmD.17cmABCDO当堂练习当堂练习4.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BAD=60，BD=6，求菱形的边长AB和对角线AC的长.解：四边形ABCD是菱形，ACBD(菱形的对角线互相垂直)OB=OD=BD=

36、6=3(菱形的对角线互相平分)在等腰三角形ABC中，BAD=60，ABD是等边三角形.AB=BD=6.ABCOD在RtAOB中，由勾股定理，得OA=AC=2OA=（菱形的对角线相互平分）.ABCOD5.如图，O是菱形ABCD对角线AC与BD的交点，CD5cm，OD3cm；过点C作CEDB，过点B作BEAC，CE与BE相交于点E.(1)求OC的长；(2)求四边形OBEC的面积解：(1)四边形ABCD是菱形，ACBD.在直角OCD中，由勾股定理得OC4cm；(2)CEDB，BEAC，四边形OBEC为平行四边形.又ACBD，即COB90，平行四边形OBEC为矩形.OBOD3cm，S矩形OBECOBO

37、C4312(cm2)菱 形课堂小结课堂小结性 质有关计算1.四边相等2.对角线互相垂直平分1.周长：边长的四倍2.面积：两条对角线乘积的一半19.2菱形第19章 矩形、菱形与正方形导入新课讲授新课当堂练习课堂小结2.菱形的判定第1课时 菱形的判定定理1学习目标1.运用菱形的定义来判定菱形；（重点）2.利用菱形的性质（四条边相等）来判定菱形.（难点）一组邻边相等有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形平行四边形菱形的性质菱形两组对边平行四条边相等两组对角分别相等邻角互补两条对角线互相垂直平分每一条对角线平分一组对角边角对角线复习引入导入新课导入新课问题菱形的定义是什么？性质有哪些？根据菱形的定义,可得

38、菱形的第一个判定的方法：AB=AD，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABCD是菱形.数学语言有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.ABCD思考还有其他的判定方法吗？四条边都相等的四边形是菱形一小刚：分别以A、C为圆心,以大于AC的长为半径作弧,两条弧分别相交于点B,D,依次连接A、B、C、D四点.已知线段AC,你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD,使AC为菱形的一条对角线吗？CABD想一想：根据小刚的作法你有什么猜想？你能验证小刚的作法对吗？猜想：四条边相等的四边形是菱形.讲授新课讲授新课证明：AB=BC=CD=AD;AB=CD,BC=AD.四边形ABCD是平行四边形.又AB=BC,四边形A

39、BCD是菱形.ABCD已知：如图，四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD.求证：四边形ABCD是菱形.证一证四条边都相等的四边形是菱形AB=BC=CD=AD几何语言描述：在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD，四边形ABCD是菱形.ABCD菱形ABCD菱形的判定定理：要点归纳四边形ABCDABCD下列命题中正确的是（）A.一组邻边相等的四边形是菱形B.三条边相等的四边形是菱形C.四条边相等的四边形是菱形D.四个角相等的四边形是菱形C练一练证明：1=2,又AE=AC,AD=AD,ACDAED(SAS).同理ACFAEF(SAS).CD=ED,CF=EF.又EF=ED,CD=ED=CF=EF

40、,四边形CDEF是菱形.2例1如图,在ABC中,AD是角平分线,点E、F分别在AB、AD上,且AE=AC,EF=ED.求证：四边形CDEF是菱形.ACBEDF1典例精析例2如图，在ABC中，B90，AB6cm，BC8cm.将ABC沿射线BC方向平移10cm，得到DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连接AD.求证：四边形ACFD是菱形证明：由平移变换的性质得CFAD10cm，DFAC.B90，AB6cm，BC8cm，ACDFADCF10cm，四边形ACFD是菱形四边形的条件中存在多个关于边的等量关系时，运用四条边都相等来判定一个四边形是菱形比较方便归纳HGFEDCBA证明：四边形ABCD

41、是矩形，AB=CD，A=D=90.点F、E、H为AB、AD、CD的中点，AEFDEH，EF=EH，同理可得EF=EH=HG=FG.例3如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是菱形.四边形EFGH是菱形.ABCDEFGH拓展如图，顺次连接平行四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH是什么四边形？解：四边形ABCD为平行四边形，AD=BC，AB=CD，A=C，四边形EFGH是平行四边形.点E、F、G、H为各边中点，AEFCGH，EF=GH，同理可得FG=EH，思考在学平行四边形的时候我们知道把两张等宽的纸条交叉重叠在一起得到的四边形是平行四边形，你能进一步判

42、断重叠部分ABCD的形状吗？ACDB分析：易知四边形ABCD是平行四边形，只需证一组邻边相等或对角线互相垂直即可.由题意可知BC边上的高和CD边上的高相等，然后通过证ABEADF，即得AB=AD.请补充完整的证明过程EF1.如图，将ABC沿BC方向平移得到DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（）AAB=BCBAC=BCCB=60DACB=60B解析：将ABC沿BC方向平移得到DCE，ACDE，AC=DE，四边形ACED为平行四边形.当AC=BC时，AC=CE，平行四边形ACED是菱形故选B当堂练习当堂练习2.如图，四边形ABCD是平行四边形，延长BA到点E，使AE=AB，

43、连接ED、EC、AC添加一个条件，能使四边形ACDE成为菱形的是（）AAB=ADBAB=EDCCD=AEDEC=ADB3.如图，在ABC中，AD是BAC的平分线，EF垂直平分AD交AB于E，交AC于F求证：四边形AEDF是菱形证明：AD平分BAC，BAD=CAD.又EFAD，AOE=AOF=90.在AEO和AFO中EAOFAO，AOAO，AOEAOF,AEOAFO（ASA），EO=FO，AE=AF.EF垂直平分AD，EF、AD相互平分，四边形AEDF是平行四边形.又AE=AF，平行四边形AEDF为菱形（1）证明：由尺规作BAF的平分线的过程可得AB=AF，BAE=FAE，四边形ABCD是平行四

44、边形，ADBC，FAE=AEB，BAE=AEB，AB=BE，BE=FA，四边形ABEF为平行四边形，AB=AF，四边形ABEF为菱形；4.如图,在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作BAD的平分线交BC于点E，连接EF（1）求证：四边形ABEF为菱形；（2）AE，BF相交于点O，若BF=6，AB=5，求AE的长（2）AE，BF相交于点O，若BF=6，AB=5，求AE的长解：四边形ABEF为菱形，AEBF，BO=FB=3，AE=2AO，在RtAOB中，由勾股定理得AO=4，AE=2AO=8定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.判定定理1：四边都相等的四边形是菱形.菱形的判定课堂小结课堂小结1

45、9.2菱形第19章 矩形、菱形与正方形导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第2课时菱形的判定定理22.菱形的判定学习目标1.利用菱形特有性质（对角线互相垂直）来判定平行四边形是否为菱形；（重点）2.菱形的性质与判定的综合运用.（难点）问题：上一课我们学习的菱形的判定方法有哪些？导入新课导入新课1.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2.定理：四边相等的四边形是菱形.复习引入菱形的特有性质：对角线互相垂直平分对角线互相垂直平分的四边形是菱形.能否判定？思考：还有其他的判定方法吗？做一做：先将一张长方形的纸对折,再对折,然后沿图中的虚线剪下,将纸展开,就得到了一个菱形.(1)(2)(3)(4)你

46、能说说这样做的道理吗?对角线互相垂直的平行四边形是菱形一前面我们用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个平行四边形.那么转动木条,这个平行四边形什么时候变成菱形?对此你有什么猜想？猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.你能证明这一猜想吗？讲授新课讲授新课作一条两条对角线互相垂直的平行四边形.步骤:1.作两条互相垂直的直线m、n,记交点为点O;2.以点O为圆心、适当长为半径画弧，在直线m，n上分别截取相等的两组线段OA、OC和OB、OD；3.连接A、B、C、D四点，显然，它是一个对角线互相垂直的平行四边形.nmDCBA画图探究思考：

47、所画平行四边形是菱形吗？OABCOD已知：如图，四边形ABCD是平行四边形,对角线AC与BD相交于点O，ACBD.求证：ABCD是菱形.证明：四边形ABCD是平行四边形.OA=OC.又ACBD,BD是线段AC的垂直平分线.BA=BC.四边形ABCD是菱形（菱形的定义）.证一证对角线互相垂直的平行四边形是菱形ACBD几何语言描述：在ABCD中，ACBD,ABCD是菱形.ABCD菱形ABCDABCDABCD平行四边形的判定定理2：归纳总结思考与动手:1.在一张纸上用尺规作图作出边长为10cm的菱形;2.想办法用一张长方形纸剪出一个菱形;3.利用长方形纸你还能想到哪些制作菱形的方法？请向同学们展示你

48、的作品,全班交流.例1如图，ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB=5，AO=4，BO=3.求证：四边形ABCD是菱形.ABCDO平行四边形ABCD是菱形.OA=4,OB=3,AB=5，证明：即ACBD，AB2=OA2+OB2，AOB是直角三角形，例2如图,矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F,求证：四边形AFCE是菱形ABCDEFO12证明:四边形ABCD是矩形,AEFC，1=2.EF垂直平分AC，AO=OC.又AOE=COF，AOECOF，EO=FO.四边形AFCE是平行四边形.又EFAC四边形AFCE是菱形.练一练在四边形ABCD中，对角线AC，BD

49、互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是（）AABC=90BACBDCAB=CD DABCD B例3如图，在ABC中，DEBC，且2DEBC，BE2DE，延长DE到点F，使得EFBE，连接CF.(1)求证：四边形BCFE是菱形；(1)证明：DEBC，且2DEBC，又BE2DE，EFBE，EFBC，EFBC，四边形BCFE是平行四边形又EFBE，四边形BCFE是菱形；菱形的性质与判定的综合运用二(2)解：BCF120，EBC60，EBC是等边三角形，菱形的边长为4，高为，菱形的面积为.(2)若CE4，BCF120，求菱形BCFE的面积判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵

50、活选择方法如果可以证明四条边相等，可直接证出菱形；如果只能证出一组邻边相等或对角线互相垂直，可以先尝试证出这个四边形是平行四边形归纳练一练如图，在平行四边形ABCD中，AC平分DAB，AB=2，求平行四边形ABCD的周长.解：四边形ABCD为平行四边形，DAC=ACB，BAC=ACD，AC平分DAB，DAC=BAC，DAC=ACD，AD=DC，四边形ABCD为菱形，四边形ABCD的周长=42=8当堂练习当堂练习1.判断下列说法是否正确(1)对角线互相垂直的四边形是菱形；(2)对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；(3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等的四边形是菱形；(4)两条邻边相等，且一条对角