工程力学-第7章作业题课件.pptx

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1、TSINGHUA UNIVERSITY第二篇第二篇 材料力学材料力学工程力学TSINGHUA UNIVERSITY第7章 梁的强度计算第二篇第二篇 材料力学材料力学工程力学工程力学TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY杆件承受杆件承受垂直于其轴线的外力垂直于其轴线的外力或或 位于其轴线所在平面内的力偶作用位于其轴线所在平面内的力偶作用时，时，其其轴线将弯曲成曲线轴线将弯曲成曲线。这种受力与变形形式称为这种受力与变形形式称为弯曲弯曲。主要承受主要承受弯曲的杆件弯曲的杆件称为称为梁梁。第第7章章 梁的强度计算梁的强度计算T

2、SINGHUA UNIVERSITY第第7章章 梁的强度计算梁的强度计算 根根据据内内力力分分析析的的结结果果，梁梁弯弯曲曲时时，将将在弯矩最大的横截面处发生失效在弯矩最大的横截面处发生失效。这这种种最最容容易易发发生生失失效效的的截截面面称称为为“危危险险截面截面”。但但是是，危危险险截截面面的的哪哪一一点点最最先先发发生生失失效效？怎样才能保证梁不发生失效？怎样才能保证梁不发生失效？这些就是这些就是本章所要讨论的问题本章所要讨论的问题。TSINGHUA UNIVERSITY第7章 梁的强度计算 要要要要知知知知道道道道横横横横截截截截面面面面上上上上哪哪哪哪一一一一点点点点最最最最先先先先

3、发发发发生生生生失失失失效效效效，必必必必须知道横须知道横须知道横须知道横截面上的应力是怎样分布的截面上的应力是怎样分布的截面上的应力是怎样分布的截面上的应力是怎样分布的。第第第第5 5章章章章中中中中已已已已经经经经分分分分析析析析了了了了梁梁梁梁承承承承受受受受弯弯弯弯曲曲曲曲时时时时横横横横截截截截面面面面上上上上将有剪力和弯矩将有剪力和弯矩将有剪力和弯矩将有剪力和弯矩两个内力分量。两个内力分量。两个内力分量。两个内力分量。TSINGHUA UNIVERSITY第7章 梁的强度计算 与与与与这这这这两两两两个个个个内内内内力力力力分分分分量量量量相相相相对对对对应应应应，横横横横截截截截

4、面面面面上上上上将将将将有有有有连续分布的剪应力和正应力连续分布的剪应力和正应力连续分布的剪应力和正应力连续分布的剪应力和正应力。第第第第5 5章章章章中中中中所所所所介介介介绍绍绍绍的的的的是是是是应应应应用用用用平平平平衡衡衡衡原原原原理理理理与与与与平平平平衡衡衡衡方方方方法法法法，确定梁的横截面上的剪力和弯矩确定梁的横截面上的剪力和弯矩确定梁的横截面上的剪力和弯矩确定梁的横截面上的剪力和弯矩。但但但但是是是是，剪剪剪剪力力力力和和和和弯弯弯弯矩矩矩矩只只只只是是是是横横横横截截截截面面面面上上上上分分分分布布布布剪剪剪剪应应应应力与正应力的简化结果。力与正应力的简化结果。力与正应力的简

5、化结果。力与正应力的简化结果。怎样确定梁的横截面上的应力分布？怎样确定梁的横截面上的应力分布？TSINGHUA UNIVERSITY第7章 梁的强度计算 应应力力是是不不可可见见的的，而而变变形形却却是是可可见见的，而且的，而且应力与应变存在一定的关系应力与应变存在一定的关系。因此，为了确定因此，为了确定应力分布应力分布，必须分析和研究必须分析和研究梁的变形梁的变形，必须研究材料必须研究材料应力与应变之间的关系应力与应变之间的关系，即即必必须须涉涉及及变变形形协协调调与与应应力力应应变变关关系系两两个重要方面。个重要方面。二二者者与与平平衡衡原原理理一一起起组组成成分分析析弹弹性性杆件应力分布

6、的基本方法杆件应力分布的基本方法。TSINGHUA UNIVERSITY第7章 梁的强度计算 绝绝绝绝大大大大多多多多数数数数细细细细长长长长梁梁梁梁的的的的失失失失效效效效，主主主主要要要要与与与与正正正正应应应应力力力力有有有有关关关关，剪应力的影响是次要的。，剪应力的影响是次要的。，剪应力的影响是次要的。，剪应力的影响是次要的。本本本本章章章章将将将将主主主主要要要要确确确确定定定定梁梁梁梁横横横横截截截截面面面面上上上上正正正正应应应应力力力力以以以以及及及及与与与与正应力有关的强度问题正应力有关的强度问题正应力有关的强度问题正应力有关的强度问题。TSINGHUA UNIVERSITY

7、 7.1 7.1 7.1 7.1工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件 7.2 7.2 7.2 7.2与应力分析相关的截面图形几何性质与应力分析相关的截面图形几何性质与应力分析相关的截面图形几何性质与应力分析相关的截面图形几何性质 7.3 7.3 7.3 7.3平面弯曲平面弯曲平面弯曲平面弯曲时梁横截面上时梁横截面上时梁横截面上时梁横截面上的正应力的正应力的正应力的正应力 7.4 7.4 7.4 7.4平面弯曲正应力公式应用举例平面弯曲正应力公式应用举例平面弯曲正应力公式应用举例平面弯曲正应力公式应用举例 7.8 7.8 7.8 7.8结论与讨论结论与讨论结论与讨论结

8、论与讨论 7.5 7.5 7.5 7.5梁的强度计算梁的强度计算梁的强度计算梁的强度计算 7.6 7.6 7.6 7.6斜弯曲斜弯曲斜弯曲斜弯曲 7.7 7.7 7.7 7.7弯矩与轴力同时作用时横截面上的正应力弯矩与轴力同时作用时横截面上的正应力弯矩与轴力同时作用时横截面上的正应力弯矩与轴力同时作用时横截面上的正应力第第7章章 梁的强度计算梁的强度计算返回总目录返回总目录TSINGHUA UNIVERSITYA:A:与应力分析相关的截面图形几何性质与应力分析相关的截面图形几何性质B:B:平面弯曲平面弯曲时梁横截面上时梁横截面上的正应力的正应力C:C:梁的强度计算梁的强度计算D:D:弯矩与轴力

9、同时作用时横截面上的正应力弯矩与轴力同时作用时横截面上的正应力 第第7章章 梁的强度计算梁的强度计算返回总目录返回总目录重点内容重点内容TSINGHUA UNIVERSITY返回返回 7.1 7.1工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件第7章 梁的强度计算返回总目录返回总目录TSINGHUA UNIVERSITY 7.1 工程中的弯曲构件工程中可以看作梁的杆件是很多的工程中可以看作梁的杆件是很多的工程中可以看作梁的杆件是很多的工程中可以看作梁的杆件是很多的:桥式吊车的桥式吊车的桥式吊车的桥式吊车的大梁可以简化为大梁可以简化为大梁可以简化为大梁可以简化为两两两两端铰支的简支梁端铰支的简支梁端铰支的简支

10、梁端铰支的简支梁。在在在在起吊重量起吊重量起吊重量起吊重量(集中力集中力集中力集中力F FP P)及及及及大梁自身重量大梁自身重量大梁自身重量大梁自身重量(均布载荷均布载荷均布载荷均布载荷q q)的作用的作用的作用的作用下下下下,大梁将发生大梁将发生大梁将发生大梁将发生弯曲弯曲弯曲弯曲。TSINGHUA UNIVERSITY 7.1工程中的弯曲构件工程中可以看作梁的杆件是很多的工程中可以看作梁的杆件是很多的工程中可以看作梁的杆件是很多的工程中可以看作梁的杆件是很多的:石油、化工设备中各种石油、化工设备中各种石油、化工设备中各种石油、化工设备中各种直立式反应塔直立式反应塔直立式反应塔直立式反应塔

11、，底部与，底部与，底部与，底部与地面固定成一体，因此，可以简化为地面固定成一体，因此，可以简化为地面固定成一体，因此，可以简化为地面固定成一体，因此，可以简化为一端固定的悬一端固定的悬一端固定的悬一端固定的悬臂梁臂梁臂梁臂梁。在。在。在。在风力载荷风力载荷风力载荷风力载荷作用下，反应塔将发生作用下，反应塔将发生作用下，反应塔将发生作用下，反应塔将发生弯曲变形弯曲变形弯曲变形弯曲变形。TSINGHUA UNIVERSITY 7.1 工程中的弯曲构件工程中可以看作梁的杆件是很多的工程中可以看作梁的杆件是很多的:火车轮轴支撑在铁火车轮轴支撑在铁火车轮轴支撑在铁火车轮轴支撑在铁轨上，轨上，轨上，轨上，

12、铁轨对车轮的约束铁轨对车轮的约束铁轨对车轮的约束铁轨对车轮的约束，可以看作可以看作可以看作可以看作铰链支座铰链支座铰链支座铰链支座，因此，因此，因此，因此，火车轮轴可以简化为火车轮轴可以简化为火车轮轴可以简化为火车轮轴可以简化为两端两端两端两端外伸梁外伸梁外伸梁外伸梁。由于。由于。由于。由于轴自身重量轴自身重量轴自身重量轴自身重量与与与与车厢以及车厢内装载的车厢以及车厢内装载的车厢以及车厢内装载的车厢以及车厢内装载的人货物的重量相比人货物的重量相比人货物的重量相比人货物的重量相比要小得要小得要小得要小得多，可以忽略不计，因此，多，可以忽略不计，因此，多，可以忽略不计，因此，多，可以忽略不计，因

13、此，火车轮轴将发生弯曲变形火车轮轴将发生弯曲变形火车轮轴将发生弯曲变形火车轮轴将发生弯曲变形。TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY返回返回 7.2与应力分析相关的截面 图形几何性质 第7章 梁的强度计算返回总目录返回总目录TSINGHUA UNIVERSITY讨论讨论拉伸和压缩拉伸和压缩杆件横截面上应力时，根杆件横截面上应力时，根据拉伸和压缩时据拉伸和压缩时均匀变形均匀变形的特点，推知的特点，推知杆件杆件横截面上的正应力均匀分布横截面上的正应力均匀分布，从而得到正应，从而得到正应力表达式力表达式:其中其中其中其中A A A A为杆件的横截面面积。为杆件的

14、横截面面积。为杆件的横截面面积。为杆件的横截面面积。7.2 7.2与应力分析相关的截面与应力分析相关的截面 图形几何性质图形几何性质 TSINGHUA UNIVERSITYFP1FP2yxz正应力与轴力、弯矩之间的关系正应力与轴力、弯矩之间的关系dAxMyFN xMMz z 4.4.2 4.4.2正应力、剪应力与内力分量之间的关系正应力、剪应力与内力分量之间的关系 4.4 4.4杆件横截面上的应力杆件横截面上的应力 TSINGHUA UNIVERSITYFP1FP2yxzdAxyxzMMx xF FQyQyF FQzQz剪应力与扭矩、剪力之间的关系剪应力与扭矩、剪力之间的关系 4.4.2 4.

15、4.2正应力、剪应力与内力分量之间的关系正应力、剪应力与内力分量之间的关系 4.4 4.4杆件横截面上的应力杆件横截面上的应力 TSINGHUA UNIVERSITY静力方程静力方程提供信息提供信息提供信息提供信息:内力和哪些应力关联内力和哪些应力关联内力和哪些应力关联内力和哪些应力关联相依关系的量化相依关系的量化TSINGHUA UNIVERSITY 当杆件横截面上，除了当杆件横截面上，除了轴力轴力以外还存以外还存在在弯矩弯矩时，其上之时，其上之应力不再是均匀分布应力不再是均匀分布的，的，这时得到的这时得到的应力表达式应力表达式，仍然与横截面上，仍然与横截面上的的内力分量内力分量以及以及横截

16、面的几何量横截面的几何量有关。有关。但是，这时的但是，这时的几何量几何量将将不再是横截面的面不再是横截面的面积积，而是，而是其它形式其它形式。7.27.2 与应力分析相关的截面图形几何性质与应力分析相关的截面图形几何性质 TSINGHUA UNIVERSITY 不同的分布内力系，组成不同的内力分量不同的分布内力系，组成不同的内力分量不同的分布内力系，组成不同的内力分量不同的分布内力系，组成不同的内力分量时，将产生时，将产生时，将产生时，将产生不不不不同的几何量同的几何量同的几何量同的几何量。这些。这些。这些。这些几何量几何量几何量几何量不仅不仅不仅不仅与截面的大小与截面的大小与截面的大小与截面

17、的大小有关，而且与有关，而且与有关，而且与有关，而且与截面的几何形状截面的几何形状截面的几何形状截面的几何形状有关。有关。有关。有关。FNMz 7.2 7.2与应力分析相关的截面与应力分析相关的截面 图形几何性质图形几何性质 惯惯性性矩矩TSINGHUA UNIVERSITY 研究杆件的研究杆件的应力与变形应力与变形，研究，研究失效问题失效问题以以及及强度、刚度、稳定问题强度、刚度、稳定问题，都要涉及到，都要涉及到与与截截面图形的面图形的几何形状几何形状和和尺寸尺寸有关的量有关的量。这些量统称为这些量统称为几何量几何量。包括：包括：形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极形心、静矩、惯性矩、惯性半径、

18、极惯性矩、惯性积、主轴等。惯性矩、惯性积、主轴等。7.2 7.2与应力分析相关的截面与应力分析相关的截面 图形几何性质图形几何性质 重心重心-形心形心-质心质心重心重心是物体重力的合力作用点。是物体重力的合力作用点。形心形心是物体几何形状的中心。是物体几何形状的中心。质心质心是反映质点系质量分布情况的一个几何点是反映质点系质量分布情况的一个几何点。均质物体的均质物体的重心重心与几何中心与几何中心形心形心重合重合。非均质物体的非均质物体的重心重心与与形心形心一般是一般是不重合不重合的。的。均质刚体的均质刚体的质心质心和和形心形心的位置是的位置是重合重合的的三三心心TSINGHUA UNIVERS

19、ITY质心和重心是两个不同的概念质心和重心是两个不同的概念 重心是地球对物体作用的平行引力的合力（物体重心是地球对物体作用的平行引力的合力（物体重力）的作用点，它只在重力场中才有意义，重力）的作用点，它只在重力场中才有意义，一一旦物体离开重力场，重心就没有任何意义；旦物体离开重力场，重心就没有任何意义；而而质心是反映质点系质量分布情况的一个几何点，质心是反映质点系质量分布情况的一个几何点，它与作用力无关，它与作用力无关，无论质点系是否在重力场中，无论质点系是否在重力场中，质心总是存在的。质心总是存在的。在在重力场重力场中，物体的中，物体的重心重心和和质心质心的位置是重的位置是重合的合的TSIN

20、GHUA UNIVERSITY7.27.27.27.2与应力分析相关的截面与应力分析相关的截面与应力分析相关的截面与应力分析相关的截面 图形几何性质图形几何性质图形几何性质图形几何性质 7.2.1 7.2.1 7.2.1 7.2.1静矩、形心及其相互关系静矩、形心及其相互关系静矩、形心及其相互关系静矩、形心及其相互关系 7.2.2 7.2.2 7.2.2 7.2.2惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径 7.2.3 7.2.3 7.2.3 7.2.3惯性矩与惯性积的移轴定理惯性矩与惯性积的移轴定理

21、惯性矩与惯性积的移轴定理惯性矩与惯性积的移轴定理 7.2.4 7.2.4 7.2.4 7.2.4惯性矩与惯性积的转轴定理惯性矩与惯性积的转轴定理惯性矩与惯性积的转轴定理惯性矩与惯性积的转轴定理 7.2.5 7.2.5 7.2.5 7.2.5主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩性矩性矩性矩 TSINGHUA UNIVERSITY 7.2.1静矩、形心及其相互关系 7.2 7.2 与应力分析相关的截面与应力分析相关的截面 图形几何性质图形几何性质 TSINGHUA UNIVERSITYz zy

22、yO Od dA Ay yz z图形对于图形对于图形对于图形对于 y y 轴的静矩轴的静矩轴的静矩轴的静矩(一次矩一次矩一次矩一次矩)图形对于图形对于图形对于图形对于 z z 轴的静矩轴的静矩轴的静矩轴的静矩 7.2.1 7.2.1 7.2.1 7.2.1静矩、形心及其相互关系静矩、形心及其相互关系静矩、形心及其相互关系静矩、形心及其相互关系 7.2 7.2与应力分析相关的截面与应力分析相关的截面 图形几何性质图形几何性质 定义定义:(一次矩一次矩一次矩一次矩)静矩的单位静矩的单位静矩的单位静矩的单位:m:m3 3 对于任意平面几何对于任意平面几何图形，在其上面取图形，在其上面取面积面积微元微

23、元dA,建立坐标系：建立坐标系：图形几何形状的中心图形几何形状的中心:形形心心.若将若将面积面积看做看做垂直于图形垂直于图形平面的力平面的力,则则形心形心为为合力合力的作用点的作用点.z zy yO Od dA Ay yz z分力之矩之和分力之矩之和分力之矩之和分力之矩之和合力之矩定理合力之矩定理合力之矩定理合力之矩定理 7.2.1 7.2.1静矩、形心及其相互关系静矩、形心及其相互关系 7.2 7.2与应力分析相关的截面与应力分析相关的截面 图形几何性质图形几何性质 如果如果dA视为垂直于图形视为垂直于图形面积的面积的力力,则则ydA和和zdA分别为分别为dA对于对于z和和y轴的轴的力矩力矩

24、,分别为分别为A对对z轴和轴和y轴之矩轴之矩.Az zy yO Oz zC CC Cy yC C形心形心形心坐标形心坐标TSINGHUA UNIVERSITY静矩与形心坐标静矩与形心坐标静矩与形心坐标静矩与形心坐标之间的关系之间的关系之间的关系之间的关系 已知静矩可以确定图形的形心坐标已知静矩可以确定图形的形心坐标已知静矩可以确定图形的形心坐标已知静矩可以确定图形的形心坐标 已知图形的形心坐标可以确定静矩已知图形的形心坐标可以确定静矩已知图形的形心坐标可以确定静矩已知图形的形心坐标可以确定静矩 7.2.1 7.2.1静矩、形心及其相互关系静矩、形心及其相互关系 7.2 7.2与应力分析相关的截

25、面与应力分析相关的截面 图形几何性质图形几何性质 形心坐标形心坐标形心坐标形心坐标 7.2.1 7.2.1静矩、形心及其相互关系静矩、形心及其相互关系 7.2 7.2与应力分析相关的截面与应力分析相关的截面 图形几何性质图形几何性质 静矩静矩静矩静矩与与与与坐标轴坐标轴坐标轴坐标轴有关，有关，有关，有关，同一平面图形同一平面图形同一平面图形同一平面图形对于对于对于对于不同的坐标轴不同的坐标轴不同的坐标轴不同的坐标轴有有有有不同的静矩不同的静矩不同的静矩不同的静矩。对对对对某些坐标轴静矩某些坐标轴静矩某些坐标轴静矩某些坐标轴静矩为为为为正正正正；对另外一些坐标轴静矩则对另外一些坐标轴静矩则对另外

26、一些坐标轴静矩则对另外一些坐标轴静矩则可可可可能为负能为负能为负能为负；对于通过对于通过对于通过对于通过形心的坐标轴形心的坐标轴形心的坐标轴形心的坐标轴，图形对其静矩等于零图形对其静矩等于零图形对其静矩等于零图形对其静矩等于零。若图形对若图形对若图形对若图形对某坐标轴的静矩等于零某坐标轴的静矩等于零某坐标轴的静矩等于零某坐标轴的静矩等于零,则则则则该轴必须通该轴必须通该轴必须通该轴必须通 过过过过形心形心形心形心。如果已经计算出静矩，就可以确定形心的位置；如果已经计算出静矩，就可以确定形心的位置；如果已经计算出静矩，就可以确定形心的位置；如果已经计算出静矩，就可以确定形心的位置；反之，反之，反

27、之，反之，如果已知形心在某一坐标系中的位置，则可计如果已知形心在某一坐标系中的位置，则可计如果已知形心在某一坐标系中的位置，则可计如果已知形心在某一坐标系中的位置，则可计算图形对于这一坐标系中坐标轴的静矩。算图形对于这一坐标系中坐标轴的静矩。算图形对于这一坐标系中坐标轴的静矩。算图形对于这一坐标系中坐标轴的静矩。TSINGHUA UNIVERSITY 7.2.1 7.2.1静矩、形心及其相互关系静矩、形心及其相互关系 7.2 7.2与应力分析相关的截面与应力分析相关的截面 图形几何性质图形几何性质 实际计算中，实际计算中，对于简单的、规则的图对于简单的、规则的图形形，其，其形心位置可以直接判断

28、形心位置可以直接判断，例如：例如：矩形、正方形、圆形、正三角形矩形、正方形、圆形、正三角形等的等的形心位置是显而易见的。形心位置是显而易见的。对于对于对于对于组合图形组合图形组合图形组合图形，则先将其分解为，则先将其分解为，则先将其分解为，则先将其分解为若干个简单图若干个简单图若干个简单图若干个简单图形形形形（可以（可以（可以（可以直接确定形心位置直接确定形心位置直接确定形心位置直接确定形心位置的图的图的图的图形形形形）；）；）；）；然后然后分别计算分别计算它们对于它们对于给定坐标轴给定坐标轴的的静矩静矩，并求其并求其代数和代数和。TSINGHUA UNIVERSITY对于组合图形对于组合图形

29、对于组合图形对于组合图形 7.2.1 7.2.1静矩、形心及其相互关系静矩、形心及其相互关系 7.2 7.2与应力分析相关的截面与应力分析相关的截面 图形几何性质图形几何性质 图形图形图形图形各组成各组成各组成各组成部分部分部分部分对对对对某一某一某一某一轴的静矩的轴的静矩的轴的静矩的轴的静矩的代数和代数和代数和代数和,等于等于等于等于整个图形对整个图形对整个图形对整个图形对同一轴的静同一轴的静同一轴的静同一轴的静矩矩矩矩.组合图形组合图形组合图形组合图形形心位置形心位置形心位置形心位置例例1 试确定下图的形心。试确定下图的形心。解解：组合图形，用正负面积法解之。组合图形，用正负面积法解之。1

30、.用用正面积法正面积法求解，图形分割及坐求解，图形分割及坐标如图标如图(a)801201010 xyC2图图(a)C1C1(0,0)C2(-35,60)2.用负面积法求解，图形分割及坐标如图用负面积法求解，图形分割及坐标如图(b)图(b)C1（0,0）C2（5,5）C2负面积负面积C1xy7011012080 例例3 求图示半径为求图示半径为r的半圆形对其直径轴的半圆形对其直径轴x的静的静矩及其形心坐标矩及其形心坐标yC。OCrxydAyCydy解：过圆心解：过圆心O作与作与x轴垂直的轴垂直的y轴，在距轴，在距x任意高度任意高度y处取一个与处取一个与x轴平行的窄条，轴平行的窄条，所以所以 由于

31、对称知：由于对称知：xC=0 解：将此图形分别为解：将此图形分别为I、II、III三部分，三部分，以图形的铅垂对以图形的铅垂对称轴为称轴为y轴，轴，过过II、III的形心的形心且与且与y轴垂直的轴线取为轴垂直的轴线取为x轴，轴，则则例例4 求图示图形的形心。求图示图形的形心。150yCxOx1y120010yC300IIIIII10由于对称知：由于对称知：xC=0TSINGHUA UNIVERSITY 7.2.2惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径 7.2 7.2与应力分析相关的截面与应力分析相关的截面 图形几何性质图形几何性质 图形对图形对图形对图形对 y y 轴的惯性矩轴的惯性矩轴的惯性矩轴

32、的惯性矩(二次轴矩二次轴矩二次轴矩二次轴矩)图形对图形对图形对图形对 z z轴的惯性矩轴的惯性矩轴的惯性矩轴的惯性矩(二次轴矩二次轴矩二次轴矩二次轴矩)图形对图形对图形对图形对 y z y z 轴的轴的轴的轴的惯性积惯性积惯性积惯性积图形对图形对图形对图形对 O O 点的点的点的点的极惯性矩极惯性矩极惯性矩极惯性矩z zy yO Od dA Ay yz zr rA A 7.2.2 7.2.2惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径 7.2 7.2与应力分析相关的截面与应力分析相关的截面 图形几何性质图形几何性质 定义定义定义定义(二次极矩二次极矩二次极矩二次极矩)T

33、SINGHUA UNIVERSITY图形对图形对图形对图形对 y y 轴的轴的轴的轴的惯性半径惯性半径惯性半径惯性半径z zy yO Od dA Ay yz z 7.2.2 7.2.2惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径 7.2 7.2与应力分析相关的截面与应力分析相关的截面 图形几何性质图形几何性质 定义定义定义定义图形对图形对图形对图形对 z z 轴的轴的轴的轴的惯性半径惯性半径惯性半径惯性半径 0 0 0 0 0 0 0 0,0 0z zy yO Od dA Ay yz z 7.2.2 7.2.2惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径惯性矩、极惯性矩、惯性积、

34、惯性半径 7.2 7.2与应力分析相关的截面与应力分析相关的截面 图形几何性质图形几何性质 当整个图形在第一象限内：当整个图形在第一象限内：y0,z0当整个图形在第二象限内：当整个图形在第二象限内：y0,z00I Iyzyz00I Iyzyz000TSINGHUA UNIVERSITY已知：圆截面直径d求：Iy，Iz，IPC Cy yz z 7.2.2 7.2.2惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径 d dr rd dr rd dA A例例例例 题题题题 1 1解：解：取圆环微元面积 7.2 7.2与应力分析相关的截面与应力分析相关的截面 图形几何性质图形几何性

35、质 重点掌握重点掌握TSINGHUA UNIVERSITY已知：已知：矩形截面矩形截面b h求：求：Iy，Izb bh hz zd dz zd dA Ay yd dy yd dA A 7.2.2 7.2.2惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径 解：解：取平行于取平行于x轴和轴和y轴的微元轴的微元面积面积例例 题题 2 7.2 7.2与应力分析相关的截面与应力分析相关的截面 图形几何性质图形几何性质 重点掌握重点掌握C Cy yz zTSINGHUA UNIVERSITY 证明坐标系的证明坐标系的证明坐标系的证明坐标系的两个坐标轴两个坐标轴两个坐标轴两个坐标轴中只

36、要中只要中只要中只要有一个有一个有一个有一个为为为为图形图形图形图形的对称轴的对称轴的对称轴的对称轴，则图形对这，则图形对这，则图形对这，则图形对这一坐标系一坐标系一坐标系一坐标系的的的的惯性积为零惯性积为零惯性积为零惯性积为零z zy yC Cd dA Ad dA Ay yy yz z-z-z对称轴对称轴对称轴对称轴I Iyzyz00I Iyzyz000I Iyzyz00 当图形有一根对称轴当图形有一根对称轴当图形有一根对称轴当图形有一根对称轴时，时，时，时，对称轴对称轴对称轴对称轴及及及及与之垂直的与之垂直的与之垂直的与之垂直的任意轴任意轴任意轴任意轴即为过二者交点的即为过二者交点的即为过

37、二者交点的即为过二者交点的主轴主轴主轴主轴.又因为又因为又因为又因为C C为形心为形心为形心为形心,所以所以所以所以y,zy,z轴为形心主轴轴为形心主轴轴为形心主轴轴为形心主轴。注意特别注意特别TSINGHUA UNIVERSITY例例例例 题题题题 1010已知：图形尺寸如图所示。已知：图形尺寸如图所示。已知：图形尺寸如图所示。已知：图形尺寸如图所示。求：图形的形心主矩求：图形的形心主矩求：图形的形心主矩求：图形的形心主矩50502702703030300300 7.2.5 7.2.5主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩性矩 7.2 7.2与应力分析相关的

38、截面与应力分析相关的截面 图形几何性质图形几何性质 TSINGHUA UNIVERSITY解解解解 ：1 1 1 1将所给图形分解为简单图形的组合将所给图形分解为简单图形的组合将所给图形分解为简单图形的组合将所给图形分解为简单图形的组合 C1C250502702703030300300 7.2.5 7.2.5主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩例题例题3 3 7.2 7.2与应力分析相关的截面与应力分析相关的截面 图形几何性质图形几何性质 TSINGHUA UNIVERSITYC1C22.2.2.2.建立初始坐标，确定形心位置建立初始坐标，确定形心位置建

39、立初始坐标，确定形心位置建立初始坐标，确定形心位置 yzyC15050502702703030300300C 7.2.5 7.2.5主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩例题例题3 3 7.2 7.2与应力分析相关的截面与应力分析相关的截面 图形几何性质图形几何性质 I Iy y0 0=I Iy y0 0()+()+I Iy y0 0(II)(II)90C1C2Cyz150603.3.3.3.确定形心主惯性矩确定形心主惯性矩确定形心主惯性矩确定形心主惯性矩 y y0 0z z0 0 7.2.5 7.2.5主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩主轴与形心主轴

40、、主惯性矩与形心主惯性矩例题例题3 3 7.2 7.2与应力分析相关的截面与应力分析相关的截面 图形几何性质图形几何性质 主轴（主轴（主轴（主轴（惯性积等于零惯性积等于零惯性积等于零惯性积等于零）(对称轴对称轴对称轴对称轴)形心主轴（形心主轴（形心主轴（形心主轴（主轴过形心主轴过形心主轴过形心主轴过形心）I Iz z0 0=I Iz z0 0()+()+I Iz z0 0()()3.3.3.3.确定形心主惯性矩确定形心主惯性矩确定形心主惯性矩确定形心主惯性矩 90C1C2Cyz15060y y0 0z z0 0 7.2.5 7.2.5主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩主轴与形心主轴、主惯性

41、矩与形心主惯性矩例题例题3 3 7.2 7.2与应力分析相关的截面与应力分析相关的截面 图形几何性质图形几何性质 例例I-11-11 求图示求图示T型截面对形心轴的型截面对形心轴的惯性矩。惯性矩。530530303055CC2C1y221y1zC1zC2求求T形截面对形心轴的惯性矩形截面对形心轴的惯性矩先求形心的位置：先求形心的位置：取参考坐标系如图，则：取参考坐标系如图，则：再求截面对形心轴的惯性矩再求截面对形心轴的惯性矩：yCzyCzC例例12 在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形的形心主在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形的形心主轴。轴。(b=1.5d)解：解：建立坐标系如图。建立坐标系

42、如图。求形心位置。求形心位置。建立形心坐标系；求：建立形心坐标系；求：IyC，IxC，I xCy db2dxyOxCyCx1db2dxyOxCyCx112010101070例例I-13 计算图示截面的形心主轴和形心主惯性矩计算图示截面的形心主轴和形心主惯性矩IIIIIIICxyy0 x0 0图形的对称中心图形的对称中心C为形心，在为形心，在C点建立坐点建立坐标系标系xCy如图如图将整个图形分成将整个图形分成I、II、III三个矩形，如图三个矩形，如图整个图形对整个图形对x、y轴的惯性矩和惯性积分别为轴的惯性矩和惯性积分别为形心主惯形心主惯性矩大小性矩大小d dyzh hz zb by yIxy

43、=0Ixy=0Ixy=0重点掌握重点掌握A:对于通过对于通过形心的坐标轴形心的坐标轴，图形对其静矩等于零图形对其静矩等于零。若图形对若图形对某坐标轴的静矩等于零某坐标轴的静矩等于零,则则该轴必须通过该轴必须通过形心形心。B:坐标系的坐标系的两个坐标轴两个坐标轴中只要中只要有一个有一个为为图形的对称轴图形的对称轴，则图形对这则图形对这一坐标系一坐标系的的惯性积为零惯性积为零C:过一点存在这样一对坐标轴，过一点存在这样一对坐标轴，图形对于其惯性积等图形对于其惯性积等于零于零，这样一对坐标轴，这样一对坐标轴-主轴主轴。图形对与图形对与图形对与图形对与主轴主轴主轴主轴的惯性矩为的惯性矩为的惯性矩为的惯

44、性矩为主轴惯性矩（主惯性矩）主轴惯性矩（主惯性矩）主轴惯性矩（主惯性矩）主轴惯性矩（主惯性矩）重点理解重点理解E 这里所说的这里所说的平面图形平面图形是杆件的是杆件的横截面横截面，则截面的，则截面的形形心主惯性轴心主惯性轴与与杆件轴线杆件轴线所确定的所确定的平面平面，称为，称为形心主形心主惯性平面惯性平面。F F 截面对于对称轴的惯性积截面对于对称轴的惯性积等于等于零零，截面形心截面形心又必然又必然在在对称轴对称轴上，所以截面的上，所以截面的对称轴对称轴就是就是形心主轴形心主轴。D 对于对于任意一点任意一点（图形内或图形外）都有（图形内或图形外）都有主轴主轴，而通，而通过过形心的主轴形心的主轴称为称为形心主轴形心主轴，图形对，图形对形心主轴形心主轴的惯的惯性矩性矩I Iy y I Ix x称为称为形心主惯性矩形心主惯性矩，简称，简称形心主矩形心主矩。重点理解重点理解TSINGHUA UNIVERSITY简单总结简单总结 形心、静矩、惯性矩、惯性半径、形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积等。极惯性矩、惯性积等。主惯性矩主惯性矩,形心主惯性矩形心主惯性矩移轴定理移轴定理转轴定理转轴定理主轴主轴形心主轴形心主轴