概率论基础优秀PPT.ppt

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1、概率论基础概率论基础你现在浏览的是第一页，共40页2023/2/221数科院l事件事件1、概率论缺乏严格的理论基础、概率论缺乏严格的理论基础 直到直到2020世纪初，概率论的一些基本概念世纪初，概率论的一些基本概念还缺乏明确的定义。还缺乏明确的定义。一、走向概率的公理化结构一、走向概率的公理化结构 事件是事件是“某些样本点的集合某些样本点的集合”，那么，那么任意样本点的集合都是事件吗，或者说样任意样本点的集合都是事件吗，或者说样本空间的子集都是事件吗？本空间的子集都是事件吗？你现在浏览的是第二页，共40页2023/2/222数科院l概率概率统计定义、古典定义、几何定义统计定义、古典定义、几何定

2、义各有适用范围，各有局限性各有适用范围，各有局限性各种定义下的性质也略有不同各种定义下的性质也略有不同你现在浏览的是第三页，共40页2023/2/223数科院测度论的发展：事件的运算与集合的运算完全相似 概率和测度有相同性质19世纪末，数学各分支的公理化潮流2、概率论公理化时机的逐渐成熟、概率论公理化时机的逐渐成熟 1933年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出了概率的了概率的公理化定义公理化定义.你现在浏览的是第四页，共40页2023/2/224数科院概率的概率的公理化定义公理化定义，即，即通过规定通过规定概率应具备的基本性质来定义概概率应具备的基本性质来定义概率率

3、.柯尔莫哥洛夫提出的公理为数很少且柯尔莫哥洛夫提出的公理为数很少且极为简单，极为简单，但在此基础上建立起了概率论的但在此基础上建立起了概率论的宏伟大厦宏伟大厦.你现在浏览的是第五页，共40页2023/2/225数科院样本点样本点：随机试验的可能结果，用：随机试验的可能结果，用 表示；表示；可以看成是抽象的点可以看成是抽象的点二、事件域二、事件域样本空间样本空间：试验的所有可能结果组成的集合，即：试验的所有可能结果组成的集合，即 样本点的全体，记作样本点的全体，记作 事件事件：样本空间样本空间 的一个子集，常用大写字母的一个子集，常用大写字母A、B、C 等表示；事件等表示；事件A发生当且仅当发生

4、当且仅当A所包含所包含 的样本点中在实验中出现的样本点中在实验中出现你现在浏览的是第六页，共40页2023/2/226数科院说明：说明：1.一般不把样本空间的一切子集都作为事件一般不把样本空间的一切子集都作为事件2.必须把问题中感兴趣的事件都纳入研究之中必须把问题中感兴趣的事件都纳入研究之中事件域事件域：事件的全体，记为事件的全体，记为FF ：样本空间的一些子集构成的集类：样本空间的一些子集构成的集类 ：是样本空间上的一个：是样本空间上的一个-域域你现在浏览的是第七页，共40页2023/2/227数科院你现在浏览的是第八页，共40页2023/2/228数科院定义：定义：若若F F 为样本空间为

5、样本空间 的一些子集构成的一个的一些子集构成的一个-域，则称它为域，则称它为事件域事件域，FF 中的元素称为中的元素称为事件事件，称为称为必然事件，必然事件，称为不可能事件。称为不可能事件。事件域可以选得很简单，也可以选得十分复杂，需要根据不同要求选择适当的事件域。你现在浏览的是第九页，共40页2023/2/229数科院 一维博雷尔一维博雷尔域域 B B 包括一切开区间，闭区包括一切开区间，闭区间，单个实数，可列个实数，以及由它们的可列间，单个实数，可列个实数，以及由它们的可列并、可列交、补运算得出的集合。并、可列交、补运算得出的集合。类似可定义类似可定义n维博雷尔维博雷尔域域你现在浏览的是第

6、十页，共40页2023/2/2210数科院三、概率的公理化定义三、概率的公理化定义 在公理化结构中，概率是针对事件定义的，即对应在公理化结构中，概率是针对事件定义的，即对应于事件域于事件域FF中的每一个元素中的每一个元素A有一个实数有一个实数P(A)与之对应。与之对应。集合函数：从集合到实数的映射。集合函数：从集合到实数的映射。概率是定义在事件域概率是定义在事件域F F 上上的集合函数。的集合函数。在公理化结构中，只规定概率应满足的性质，而在公理化结构中，只规定概率应满足的性质，而不具体给出它的计算公式或计算方法。不具体给出它的计算公式或计算方法。你现在浏览的是第十一页，共40页2023/2/

7、2211数科院 定义在事件域F上的一个集函数P称为概率，如果它满足如下三个条件：（1）非负性：P(A)（2）规范性：P(W)=1;（3）可列可加性：1.概率的定义概率的定义你现在浏览的是第十二页，共40页2023/2/2212数科院证明证明由概率的可列可加性得由概率的可列可加性得2.概率的性质概率的性质你现在浏览的是第十三页，共40页2023/2/2213数科院概率的有限可加性概率的有限可加性证明证明由概率的可列可加性得由概率的可列可加性得你现在浏览的是第十四页，共40页2023/2/2214数科院证明证明你现在浏览的是第十五页，共40页2023/2/2215数科院证明证明证明证明你现在浏览的

8、是第十六页，共40页2023/2/2216数科院证明证明由图可得由图可得又由性质又由性质 3 得得因此得因此得你现在浏览的是第十七页，共40页2023/2/2217数科院 推论推论1、布尔不等式、布尔不等式2、Bonferroni不等式不等式你现在浏览的是第十八页，共40页2023/2/2218数科院加法公式的推广加法公式的推广：三个事件和的情况：三个事件和的情况n 个事件和的情况个事件和的情况你现在浏览的是第十九页，共40页2023/2/2219数科院解解你现在浏览的是第二十页，共40页2023/2/2220数科院SABAB你现在浏览的是第二十一页，共40页2023/2/2221数科院例例2

9、 2 小王参加“智力大冲浪”游戏,他能答出甲乙二类问题的概率分别为0.7和0.2,两类问题都能答出的概率为0.1.求小王解解 事件A,B分别表示“能答出甲,乙类问题”(1)(1)答出甲类而答不出乙类问题的概率 (2)至少有一类问题能答出的概率 (3)两类问题都答不出的概率(2)(3)你现在浏览的是第二十二页，共40页2023/2/2222数科院例例3 3 设A,B满足 P(A)=0.6,P(B)=0.7,在何条件下，P(AB)取得最大(小)值？最大(小)值是多少？解解最小值在 时取得 最小值 最大值最大值在 时取得 你现在浏览的是第二十三页，共40页2023/2/2223数科院例例4 某区域有

10、N 部卡车，车牌号从1到N，有一外地人到该区域去，把遇到的n部卡车的车牌号抄下来（可能重复），以Ak表示“抄到的最大号码正好为k（1kN）”，求Ak的概率。解解：记Ak=记到的最大号码为k,Bk=记到的最大号码不超过k,则Ak=Bk-Bk-1。你现在浏览的是第二十四页，共40页2023/2/2224数科院例例5（匹配问题）（匹配问题）某人写好某人写好n封信，又写好封信，又写好n只信封，然后只信封，然后在黑暗中把每封信放入一只信封中，试求至少有一封信放对的在黑暗中把每封信放入一只信封中，试求至少有一封信放对的概率。概率。解解：记Ai=第i封信与信封符合，则所求事件为你现在浏览的是第二十五页，共4

11、0页2023/2/2225数科院可列可加性有限可加性？四、可列可加性与连续性四、可列可加性与连续性你现在浏览的是第二十六页，共40页2023/2/2226数科院所以只需要下面条件成立所以只需要下面条件成立=你现在浏览的是第二十七页，共40页2023/2/2227数科院下连续性可列可加性有限可加性下连续的定义下连续的定义因此我们有：？你现在浏览的是第二十八页，共40页2023/2/2228数科院 若若P 是是FF上满足上满足P()=)=1 1的非负集合函数，则的非负集合函数，则它具有它具有可列可加性可列可加性的充要条件是的充要条件是 (i)(i)它是有限可加的它是有限可加的 (ii)(ii)它是

12、下连续的它是下连续的证明证明：充分性：由前面的推导可得必要性:(i)有限可加性很容易证明 (ii)证下连续性,即证明对任意F中的 一个单调不减的集序列Sn，都有定理定理你现在浏览的是第二十九页，共40页2023/2/2229数科院(定义S0=f)分析：要证分析：要证你现在浏览的是第三十页，共40页2023/2/2230数科院系系1 概率是下连续的概率是下连续的系系2 概率是上连续的概率是上连续的你现在浏览的是第三十一页，共40页2023/2/2231数科院分析：分析：你现在浏览的是第三十二页，共40页2023/2/2232数科院柯尔莫哥洛夫的概率柯尔莫哥洛夫的概率公理化结构公理化结构样本空间

13、事件域F概率测度P全空间（全集）s域测度(集函数)具体讨论问题时，假定（具体讨论问题时，假定（,FF,P）是事先给定的）是事先给定的如何给出（如何给出（,FF,P）需要根据具体情况而定）需要根据具体情况而定五、概率空间五、概率空间你现在浏览的是第三十三页，共40页2023/2/2233数科院例例6（有限概率空间）（有限概率空间）W:n个样本点（有限个样本点）F:W中所有子集的全体（有限个集合，2n）这样，每个样本点wi 本身是事件P：只要对样本点wi给定P(wi),满足则由概率的可加性可知你现在浏览的是第三十四页，共40页2023/2/2234数科院总结：总结：（1）选定了（）选定了（,FF）

14、之后，概率的给定还有）之后，概率的给定还有相当大的灵活性。（例如抛硬币）相当大的灵活性。（例如抛硬币）（2）一旦）一旦P(w wi)给定后，事件给定后，事件A的概率就不能的概率就不能 任意给定任意给定你现在浏览的是第三十五页，共40页2023/2/2235数科院例例8 离散概率空间离散概率空间:可列个样本点可列个样本点w w1，w w2,FF:W W中所有子集的全体。这样，每个样本点中所有子集的全体。这样，每个样本点 w wi本身是事件本身是事件P：选可列个非负数：选可列个非负数Pi,i=1,2,满足满足 作为样本点作为样本点 i的概率。的概率。这时，事件这时，事件A的概率就取的概率就取A所包

15、含的样所包含的样本点概率之和。本点概率之和。你现在浏览的是第三十六页，共40页2023/2/2236数科院例例9（Borel s s代数）代数）=R1：即样本空间由全体实数构成：即样本空间由全体实数构成FF:直线上直线上Borel点集全体点集全体P：对左闭右开区间定义概率：对左闭右开区间定义概率：R1的一部分的一部分 FF:直线上直线上Borel点集点集I I 全体全体P：对：对左闭右开区间左闭右开区间I I 定义概率定义概率你现在浏览的是第三十七页，共40页2023/2/2237数科院例例10（n维维Borel代数）代数）=RnFF:n维欧几里德空间中维欧几里德空间中Borel点集全体点集全体B Bn nP：见：见Chapter 3 你现在浏览的是第三十八页，共40页2023/2/2238数科院No4 作业作业P50 习题一36 37 39你现在浏览的是第三十九页，共40页2023/2/2239数科院 问问 题题 已知 P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=0,P(AC)=P(BC)=1/6 第第4 4周周 则A,B,C 全不发生的概率是多少 你现在浏览的是第四十页，共40页2023/2/2240数科院