工程控制原理第三章课件.ppt

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1、第三章第三章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 为为了了分分析析或或设设计计一一个个自自动动控控制制系系统统。首首先先要要建建立立其其数数学学模模型型。建建模模通通常常是是研研究究自自动动控控制制系系统统首首要要的的和和最最终的工作。终的工作。3.1 3.1 数学模型数学模型 一一 、基本概念、基本概念 系统的系统的数学模型数学模型是描述系统在运动过程中各物理是描述系统在运动过程中各物理变量之间的相互关系的数学表达式。变量之间的相互关系的数学表达式。因为系统在运动中各物理量是随时间而变化的。因为系统在运动中各物理量是随时间而变化的。因此运动方程是微分方程而不是代数方程，

2、通常称为因此运动方程是微分方程而不是代数方程，通常称为动态微分方程动态微分方程。建立系统的数学模型，有两种基本方法：建立系统的数学模型，有两种基本方法：解析法解析法和实验法。和实验法。解析法解析法：根据系统及元件各变量遵循的：根据系统及元件各变量遵循的物理规律，推导出数学表达式从而建立数学物理规律，推导出数学表达式从而建立数学模型模型.各学科的基本定理：如牛顿定律、质各学科的基本定理：如牛顿定律、质量守恒、电学定律。量守恒、电学定律。实验法实验法：对复杂的系统，设计的因素较多：对复杂的系统，设计的因素较多时，通过实验法，即根据实验数据进行整理时，通过实验法，即根据实验数据进行整理和编写，拟合曲

3、线从而求出系统的数学模型。和编写，拟合曲线从而求出系统的数学模型。二、二、线性系统与非线性系统线性系统与非线性系统1 1、线性系统线性系统 如果系统的数学模型表达式是线性微分如果系统的数学模型表达式是线性微分方程，则这种系统就是线性系统。方程，则这种系统就是线性系统。线性系统最重要的特征是可以运用线性系统最重要的特征是可以运用叠加原理叠加原理。叠加原理叠加原理：系统在：系统在n n个外界力作用下所产个外界力作用下所产生的响应，等于各个外界力单独作用的响应生的响应，等于各个外界力单独作用的响应之和。之和。线性系统又可分为：线性系统又可分为：1 1）线性定常系统：用线性常微分方程描述的系线性定常系

4、统：用线性常微分方程描述的系统如：统如：其中其中 a b c d a b c d 均为常数均为常数2 2）线性时变系统：描述系统的线性微分方程线性时变系统：描述系统的线性微分方程的系数为时间的函数，的系数为时间的函数，如：如：本课程研究对象主要是本课程研究对象主要是线性定常系统线性定常系统。2 2、非线性系统、非线性系统用非线性方程描述的系统称为非线性系统。用非线性方程描述的系统称为非线性系统。如：如：非线性系统非线性系统不能运用叠加原理不能运用叠加原理，非线，非线性系统的分析比较复杂性系统的分析比较复杂典型非线性：饱和特性；死区特性等；典型非线性：饱和特性；死区特性等；对非线性问题，处理途径

5、：对非线性问题，处理途径：1 1、线性化，在工作点附近，用泰勒公式展开；、线性化，在工作点附近，用泰勒公式展开；2 2、忽略非线性；、忽略非线性；3 3、对于即不能简化又不能忽略的，用非线性、对于即不能简化又不能忽略的，用非线性 系统的分析方法来处理。系统的分析方法来处理。三、三、系统数学模型的建立系统数学模型的建立本课程主要涉及简单的机械系统及电系统。本课程主要涉及简单的机械系统及电系统。（很重要，（很重要，）f(t)X(t)f(t)=f(t)kxf(t)=kx(t)mf(t)mxBf(t)X(t)阻尼力阻尼力大小与运动速度成正比大小与运动速度成正比方向与运动方向相反方向与运动方向相反惯性力

6、：惯性力：大小与加速度成比例大小与加速度成比例方向与运动方向相反方向与运动方向相反弹性力弹性力大小与弹簧两端的相对位移成正大小与弹簧两端的相对位移成正比比方向与运动方向相反方向与运动方向相反求求质质量量m m在在外外力力F F的的作作用用下下，质质量量m m的的位位移移x x的的运运动。动。设系统已处于平衡状态，设系统已处于平衡状态，弹簧弹簧-质量质量-阻尼器机械位移系统阻尼器机械位移系统 mKfF(t)X(t)建立图示系统数学模型X0(s)/Xi(s).XiB1K1MB2X0解：建立数学模型解：建立数学模型例：图中分别表示了三个机械系统。求出它们各例：图中分别表示了三个机械系统。求出它们各自

7、的微分方程，自的微分方程，X Xi i表示输入位移，表示输入位移，X X。表示输出位表示输出位移。移。（3 3）对图（）对图（C C）所示系统，由牛顿定理：所示系统，由牛顿定理：3.2 3.2 传递函数传递函数 通过上一节把元件及系统的微分方程建立通过上一节把元件及系统的微分方程建立后，就可以对其求解。但是，微分方程的求解后，就可以对其求解。但是，微分方程的求解不但十分繁琐，而且从其本身很难分析研究系不但十分繁琐，而且从其本身很难分析研究系统的动态分析，尤其是对复杂的系统及高阶微统的动态分析，尤其是对复杂的系统及高阶微分方程。分方程。一、一、传递函数传递函数定义定义：线性定常系统在零初始条件下

8、，输出量线性定常系统在零初始条件下，输出量x x0 0(t)(t)的拉氏变换与输入量的拉氏变换与输入量x xi i(t(t)的拉氏变换之的拉氏变换之比，比，即：即：设线性定常系统的微分方程一般式为：设线性定常系统的微分方程一般式为：由于初始值均为由于初始值均为0 0，对上式两端进行拉氏变换，对上式两端进行拉氏变换则系统的传递函数为：则系统的传递函数为：二、二、传递函数的性质传递函数的性质1 1、传递函数的分母是系统的特征多项式，代表系传递函数的分母是系统的特征多项式，代表系统的固有特征，分子代表输入与系统的关系。统的固有特征，分子代表输入与系统的关系。m2 2、传递函数不说明被描述系统的物理结

9、构，只传递函数不说明被描述系统的物理结构，只要动态性能相似，不同的系统可用相同的传递函要动态性能相似，不同的系统可用相同的传递函数来描述；数来描述；3 3、传递函数可以是无量纲的也可以是有量纲的、传递函数可以是无量纲的也可以是有量纲的（取决于输入量与输出量的量纲及其比值）；（取决于输入量与输出量的量纲及其比值）；4 4、传递函数是复变数、传递函数是复变数s s的有理分式；的有理分式；5 5、传递函数是经拉氏变换导出的。而传递函数是经拉氏变换导出的。而拉氏变换是一种线性积分运算，因此传递拉氏变换是一种线性积分运算，因此传递函数的概念只适用于线性定常系统；函数的概念只适用于线性定常系统；6 6、传

10、递函数是在零初始条件下定义的，传递函数是在零初始条件下定义的，即在零时刻之前系统所给定的平衡工作点即在零时刻之前系统所给定的平衡工作点是处于相对静止状态的。因此，传递函数是处于相对静止状态的。因此，传递函数原则上不能反映系统的非零初始条件下的原则上不能反映系统的非零初始条件下的全部运动规律。全部运动规律。3.33.3、典型环节的传递函数典型环节的传递函数 由各个元件组成的系统，可能是电气由各个元件组成的系统，可能是电气的，机械，液压的，气动的等等。尽管这的，机械，液压的，气动的等等。尽管这些系统的物理本质差别很大，但是描述他些系统的物理本质差别很大，但是描述他们的动态性能的传递函数可能是相同的

11、。们的动态性能的传递函数可能是相同的。了解各个元件的传递函数，对于建立系统了解各个元件的传递函数，对于建立系统的传递函数是很重要的。的传递函数是很重要的。一、比例环节一、比例环节 也称放大环节，其传递函数为：也称放大环节，其传递函数为：KXi(s)Xo(s)举例：举例：二二 、惯性环节、惯性环节凡动力学方程满足一阶微分方程：凡动力学方程满足一阶微分方程：形式的环节为惯性环节，其传递函数：形式的环节为惯性环节，其传递函数：TT惯性环节的时间常数惯性环节的时间常数例：弹簧例：弹簧K K和阻尼器和阻尼器C C组成的一个系统，其方程组成的一个系统，其方程Xi(t)Xo(t)kB 由于惯性环节中含有一个

12、储能元件，所以当由于惯性环节中含有一个储能元件，所以当输入量突然变化时，输出量不能跟着突变。输出输入量突然变化时，输出量不能跟着突变。输出总落后于输入，惯性环节的名称就由此而来。总落后于输入，惯性环节的名称就由此而来。三、三、微分环节微分环节 凡输出量正比于输入量微分的环节称为微凡输出量正比于输入量微分的环节称为微分环节，其运动方程为：分环节，其运动方程为：传递函数为：传递函数为：微分环节的输出是输入的导数，即微分环节的输出是输入的导数，即输出反输出反映了输入信号的变化趋势映了输入信号的变化趋势,也等于给系统以有关也等于给系统以有关输入变化趋势的预告，输入变化趋势的预告，因而微分环节常用来改因

13、而微分环节常用来改善控制系统的动态性能善控制系统的动态性能 测量转速的测速发电机实质上是一台直流发电测量转速的测速发电机实质上是一台直流发电机。如图所示，当电机转角为输入量，电枢电压为机。如图所示，当电机转角为输入量，电枢电压为输出量时：输出量时：式中式中ktkt为电机常数为电机常数传递函数：传递函数：四、四、积分环节积分环节 输出量输出量x x0 0(t)(t)与输入量与输入量x xi i(t(t)对时间积分成正比。对时间积分成正比。即：即：其传递函数为其传递函数为式中式中 TT积分环节的时间常数积分环节的时间常数 积分环节的一个显著特点是积分环节的一个显著特点是输出量取决于输出量取决于输入

14、量对时间的累计过程输入量对时间的累计过程。输入量作用一段时。输入量作用一段时间后，即使输入为零，输出量仍保持已达到的间后，即使输入为零，输出量仍保持已达到的数值，故有记忆功能。另一个特点是有明显的数值，故有记忆功能。另一个特点是有明显的滞后作用。滞后作用。C例：图示简单的电容元件，求此环节的传递函数例：图示简单的电容元件，求此环节的传递函数解：取输入量为回路电流解：取输入量为回路电流 i i 取输出量为电容器两端电压取输出量为电容器两端电压V Vi(t)U(t)五、五、二阶振荡环节二阶振荡环节如果输入、输出满足如下的微分方程：如果输入、输出满足如下的微分方程：则称为二阶振荡环节，其传递函数为则

15、称为二阶振荡环节，其传递函数为式中：式中：TT振荡环节的时间常数；振荡环节的时间常数；阻尼比阻尼比 kk比例系数比例系数 振荡环节含有两个独立的储能元件，并且所储存的振荡环节含有两个独立的储能元件，并且所储存的能量能够互相转换，从而导致输出带有振荡的性质。能量能够互相转换，从而导致输出带有振荡的性质。m二阶振荡环节传函的另一常用标准形式二阶振荡环节传函的另一常用标准形式 无阻尼固有频率无阻尼固有频率例：由电感例：由电感L L、电阻电阻R R及电容及电容C C组成的串、并联电路。组成的串、并联电路。ViVi为输入电压，为输入电压，VOVO为输出电压。求此系统的传递函数。为输出电压。求此系统的传递

16、函数。VOViILLRCIRIC变换：变换：拉氏变换拉氏变换传递函数传递函数六、延时环节六、延时环节 延时环节是输出和输入相同而仅延迟延时环节是输出和输入相同而仅延迟时间时间。即：输出即：输出x x0 0(t)(t)要经过时间要经过时间以后以后才复现输入信号。延时环节的输出表示为：才复现输入信号。延时环节的输出表示为：其传递函数为：其传递函数为：给定信号电压功率放大器控制电机减速器调压器恒温箱热电偶U1U2_U0nn0U温度3-3、系统的方块图及其简化、系统的方块图及其简化G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)H2(s)H1(s)H3(s)R(s)C(s)3-3 3-3、系统的方块图及其简化

17、、系统的方块图及其简化 在控制工程中，人们习惯于用方块图说明和讨在控制工程中，人们习惯于用方块图说明和讨论问题，方块图是系统中各个元件功能和信号流论问题，方块图是系统中各个元件功能和信号流向的图解表示，它清楚地表明系统中各个元件间向的图解表示，它清楚地表明系统中各个元件间的相互关系，便于对系统进行分析和研究。的相互关系，便于对系统进行分析和研究。信号线：带有箭头的直线，信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，在直箭头表示信号的流向，在直线旁标记信号的时间函数或线旁标记信号的时间函数或象函数。象函数。3.3.1 3.3.1 方块图元素方块图元素（1 1）方块（）方块（BlockBlock）:

18、表示输入到输出表示输入到输出单向单向传传输的函数关系。输的函数关系。（2 2）比较点（合成点、综合点）：两个或两个以）比较点（合成点、综合点）：两个或两个以上的输入信号进行相加、减比较的元件。上的输入信号进行相加、减比较的元件。“+”表示相加，表示相加，“-”表示相减。表示相减。“+”号可省略号可省略不写不写。注意：进行相加、减的量，注意：进行相加、减的量，必须具有相同的量刚。必须具有相同的量刚。（3 3）引出点（或分支点）引出点（或分支点）引出点引出点表示信号引出和测量的位置。表示信号引出和测量的位置。引出点的特征：同一位置引出的几个信号在引出点的特征：同一位置引出的几个信号在大小和性质上完

19、全一样大小和性质上完全一样。（4 4）串联）串联 环节串联后总的传递函数，等于每个串联环节串联后总的传递函数，等于每个串联环节传递函数的乘积。环节传递函数的乘积。G1(s)G2(s)Xi(s)G3(s)XO(S)G1G2 Xi(s)Xo(s)G4(s)（5 5）并联）并联 环环节节并并联联后后总总的的传传递递函函数数，等等于于所所有有并并联环节传递函数之和。联环节传递函数之和。G1+G2+G3Xi(s)XO(s)G1G2G3Xi(s)Xo(s)+6 6、反馈、反馈 反馈系统如图所示：求反馈系统如图所示：求C(s)/R(s)=?C(s)/R(s)=?+G(s)H(s)R(s)E(s)B(s)C(

20、s)当系统具有负反馈时，由上图可得：当系统具有负反馈时，由上图可得：联立解：联立解：前向通道传函1+前向通道传函反馈通道传函=定义定义：A A、前向通道传函：输出量前向通道传函：输出量C(s)C(s)与偏差信号与偏差信号E(s)E(s)之比，称为前向通道传函。之比，称为前向通道传函。B B、反馈通道传函：反馈信号反馈通道传函：反馈信号B(s)B(s)与输出量与输出量 C(s)C(s)之比。之比。C C、开环传递函数：反馈信号开环传递函数：反馈信号B(s)B(s)与作用偏与作用偏 差信号差信号E(s)E(s)之比。之比。加一个方块举例加一个方块举例D、闭环传递函数：输出量闭环传递函数：输出量C(

21、s)与输入量与输入量R(s)之比。即之比。即：当当H(s)=1时，即为单位负反馈。时，即为单位负反馈。E、偏差传递函数：偏差信号偏差传递函数：偏差信号E(s)与输入量与输入量 R(s)之比。之比。G(s)H(s)R(s)E(s)二、扰动作用下的闭环系统二、扰动作用下的闭环系统 具有扰动（干扰）的闭环系统，如图具有扰动（干扰）的闭环系统，如图 ：应用线性叠加原理，将控制信号与扰动信应用线性叠加原理，将控制信号与扰动信号分别考虑号分别考虑。G1(s)G2(s)H(s)R(s)F(s)C(s)+-、控制作用引起的输出。如图、控制作用引起的输出。如图 G1G2HR(s)C(s)+-即2.扰动作用引起的

22、输出 G2H-1G1F(s)+即:因此，系统总的输出为因此，系统总的输出为：三、三、方块图的简化法则方块图的简化法则 为为了了便便于于通通过过方方块块图图的的简简化化来来计计算算系系统统的的传传递递函函数数，在在下下表表中中列列出出了了方方块块图图的的等等效效变变换换。在简化过程中须遵守两条基本原则。即：在简化过程中须遵守两条基本原则。即：1 1）前向通道的传递函数保持不变。前向通道的传递函数保持不变。2 2）各反馈回路的传递函数保持不变。各反馈回路的传递函数保持不变。变换原方块图等效方块图1.分支点后移RGCR1/GRGCR2.分支点前移RGCC GGCRC3.相加点后移R1R2GC GGC

23、R1R24.相加点前移R1R2GCR1R2GC1/G5.消去反馈 回路RGHCRCG1(s)G2(s)G3(s)G4(s)H2(s)H1(s)H3(s)R(s)C(s)3-4 3-4 信号流图及梅逊公式信号流图及梅逊公式 当系统方块图比较复杂时，可以将其转化为当系统方块图比较复杂时，可以将其转化为信号流程图，并采用梅逊公式求出系统的传递信号流程图，并采用梅逊公式求出系统的传递函数。函数。与下图所示对应的系统信号流程图如下：与下图所示对应的系统信号流程图如下：信号流程图是由一信号流程图是由一些定向线段将一些些定向线段将一些节点连接起来组成节点连接起来组成的。的。1.1.节点：用来表示变量或信号。

24、节点：用来表示变量或信号。输入节点（输入节点（源点源点):):只有输出，没有输入的节点。只有输出，没有输入的节点。输出节点（输出节点（汇点汇点):):只有输入，没有输出的节点。只有输入，没有输出的节点。既有输入又有输出的节点称为既有输入又有输出的节点称为混合节点混合节点。2.2.定定向向线线段段称称为为支支路路，其其上上的的箭箭头头表表明明信信号号的的流流向向,支路上还表明了增益，即支路上的传递函数。支路上还表明了增益，即支路上的传递函数。3.3.通路通路：沿支路箭头方向穿过各相连支路的通：沿支路箭头方向穿过各相连支路的通 径。径。前向通路前向通路：从输入节点到输出节从输入节点到输出节 点的通

25、路上通过任何节点不多于一次点的通路上通过任何节点不多于一次 的通路的通路。4.4.回路回路：起点和终点重合且与任何节点相交不：起点和终点重合且与任何节点相交不 多于一次的通路。多于一次的通路。5.5.不接触回路不接触回路：回路间没有任何公共节点者。：回路间没有任何公共节点者。从从输入变量到输出变量输入变量到输出变量的系统传递函数的系统传递函数可由梅逊公式求得。可由梅逊公式求得。梅逊公式可表示为：梅逊公式可表示为：其中：其中：P-P-系统总的传递函数；系统总的传递函数；n-n-前向通道数目；前向通道数目；P Pk k-第第k k条前向通道的传递函数；条前向通道的传递函数；-信号流程图的总特征式；

26、信号流程图的总特征式；k k-第第k k条前向通道特征式的余因子条前向通道特征式的余因子式中：式中：-所有不同回路的传递函数之和。所有不同回路的传递函数之和。-每两个互不接触回路传递函数乘积每两个互不接触回路传递函数乘积 之和。之和。-每三个互不接触回路传递函数每三个互不接触回路传递函数 乘积之和。乘积之和。k k-第第k k条条前前向向通通道道特特征征式式的的余余因因子子，即即:对对于于流流程程图图的的特特征征式式，将将与与第第k k条条前前向向通通道道相相接接触触的的回回路路的的传传函函代代以以零零值值，余余下下的的即为即为k k。在计算反馈回路传递函数时，把代表反馈在计算反馈回路传递函数

27、时，把代表反馈极性的正负号要带进去。极性的正负号要带进去。G1G2G3G4G5G6H1H2H3H4Xi(s)XO(s)2134解：一、先计算：1.独立回路有4条2.两两不相触回 路有一组。3.无三个以上不接触回路。故二、再计算分子只有一条前向通道.K=1.且各回路都与此通道相触例：图中分别表示了三个机械系统。求出它们各例：图中分别表示了三个机械系统。求出它们各自的微分方程，自的微分方程，X Xi i表示输入位移，表示输入位移，X X。表示输出位表示输出位移。移。（3 3）对图（）对图（C C）所示系统，由牛顿定理：所示系统，由牛顿定理：运算放大器：运算放大器：运算放大器可用于产生各种数学运算，

28、如反向、运算放大器可用于产生各种数学运算，如反向、加法和积分运算等，是一个具有很高增益的直流放加法和积分运算等，是一个具有很高增益的直流放大器，如图表示大器，如图表示一个高放大倍数一个高放大倍数K K，且输入阻抗很且输入阻抗很高的运算放大器，它有同相（高的运算放大器，它有同相（+）和反相（）和反相（-）两个）两个输入端。输入端。一般在组成反馈线路时常用反相输入，则一般在组成反馈线路时常用反相输入，则输出电压输出电压e e0 0与输入电压与输入电压e ei i。的关系式为的关系式为其中：其中：K=10K=106 6-10-108 8，信号信号通过一个放大器将改变通过一个放大器将改变一次代数符号一

29、次代数符号。运算放大器与输入阻抗运算放大器与输入阻抗Zi串联，在反馈回路中串联，在反馈回路中有反馈阻抗有反馈阻抗Zf。由于放大器内部阻抗很高，故输入由于放大器内部阻抗很高，故输入电流电流ig可可忽略不计，即忽略不计，即 ig=0由由得由基尔霍夫由基尔霍夫电流定理：电流定理：如如Zi(s)=Ri,用电容用电容C作为反馈阻抗，即作为反馈阻抗，即可可构成一个积分环节，构成一个积分环节，将几个积分环节串联可将几个积分环节串联可构成高阶系统构成高阶系统 建立图示系统数学模型X0(s)/Xi(s).并求出相应为单位负反馈时的开环传递函数G(S).同时指出开环函数由哪几个典型环节构成并由方块图表示。XiB1K1MB2X0解：建立数学模型解：建立数学模型拉氏变换拉氏变换此系统为此系统为单位负反单位负反馈系统时馈系统时