振动分析基础.pptx

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1、 振动问题的研究方法与分析其他动力学问题相类似：选择合适的广义坐标；选择合适的广义坐标；分析运动；分析运动；分析受力；分析受力；选择合适的动力学定理；选择合适的动力学定理；建立运动微分方程；建立运动微分方程；求解运动微分方程，利用初始条件确定求解运动微分方程，利用初始条件确定积分常数。积分常数。第1页/共121页 振动问题的研究方法振动问题的研究方法与分析其他动力学问与分析其他动力学问题不同的是：一般情形下，题不同的是：一般情形下，都选择平衡位置作都选择平衡位置作为广义坐标的原点。为广义坐标的原点。研究振动问题所用的动力学定理：矢量动力学基础中的矢量动力学基础中的 动量定理；动量定理；动量矩定

2、理；动量矩定理；动能定理；动能定理；达朗贝尔原理。达朗贝尔原理。分析动力学基础中的分析动力学基础中的 拉格朗日方程。拉格朗日方程。第2页/共121页 按激励特性划分：按激励特性划分：振动问题的分类 自由振动自由振动没有外部激励，或者外部激励除去后，没有外部激励，或者外部激励除去后，系统自身的振动。系统自身的振动。参激振动参激振动激励源为系统本身含随时间变化的参数激励源为系统本身含随时间变化的参数，这种激励所引起的振动。，这种激励所引起的振动。自激振动自激振动系统由系统本身运动所诱发和控制的激系统由系统本身运动所诱发和控制的激励下发生的振动。励下发生的振动。受迫振动受迫振动系统在作为时间函数的外

3、部激励下发生系统在作为时间函数的外部激励下发生的振动，这种外部激励不受系统运动的影响。的振动，这种外部激励不受系统运动的影响。第3页/共121页 按系统特性或运动微分方程类型划分：按系统特性或运动微分方程类型划分：线性振动线性振动系统的运动微分方程为线性方程的振动。系统的运动微分方程为线性方程的振动。非非线性振动线性振动系统的刚度呈非线性特性时，将得到非线性运动微分方程，系统的刚度呈非线性特性时，将得到非线性运动微分方程，这种系统的振动称为非线性振动。这种系统的振动称为非线性振动。按系统的自由度划分：按系统的自由度划分：单自由度单自由度振动振动一个自由度系统的振动。一个自由度系统的振动。多自由

4、度多自由度振动振动两个或两个以上自由度系统的振动。两个或两个以上自由度系统的振动。连续系统连续系统振动振动连续弹性体的振动。这种系统具有无穷多个自由度。连续弹性体的振动。这种系统具有无穷多个自由度。第4页/共121页 自由度与广义坐标自由度与广义坐标 自由度数自由度数:完全确定系统运动所需的独立坐完全确定系统运动所需的独立坐标数目称为自由度数。标数目称为自由度数。刚体在空间有刚体在空间有6个自由度：三个方向的移动个自由度：三个方向的移动和绕三个方向的转动，如飞机、轮船；和绕三个方向的转动，如飞机、轮船；质点在空间有质点在空间有3个自由度：三个方向的移动，个自由度：三个方向的移动，如高尔夫球；如

5、高尔夫球；质点在平面有质点在平面有2个自由度：两个方向的移动，个自由度：两个方向的移动，加上约束则成为单自由度。加上约束则成为单自由度。第5页/共121页19-1 单自由度系统的自由振动l l0 0m mk kk kx xO Ox xl l0 0ststF FWW1.1.自由振动微分方程自由振动微分方程l l0 0弹簧原长；弹簧原长；k k弹簧刚性系数；弹簧刚性系数；stst弹簧的静变形；弹簧的静变形；取静平衡位置为坐标原点，取静平衡位置为坐标原点，x x 向下为正，则有：向下为正，则有：单自由度无阻尼自由振动方程单自由度无阻尼自由振动方程第6页/共121页 A A振幅；振幅；n n固有频率；

6、固有频率；（n n+）相位；相位；初相位。初相位。第7页/共121页系统固有的数值特征，与系统是否正在振动着以及如何进系统固有的数值特征，与系统是否正在振动着以及如何进行振动的方式都毫无关系行振动的方式都毫无关系 不是系统的固有属性的数字特征，与系统过去所受到不是系统的固有属性的数字特征，与系统过去所受到过的激励和考察开始时刻系统所处的状态有关过的激励和考察开始时刻系统所处的状态有关 无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以 为振动频率的简谐振动，并且永无休止。为振动频率的简谐振动，并且永无休止。单自由度无阻尼自由振动单自由度无阻尼自

7、由振动第8页/共121页 单自由度线性系统无阻尼自由振动微分方程单自由度线性系统无阻尼自由振动微分方程物理学基础的扩展这一方程，可以扩展为广义坐标的形式这一方程，可以扩展为广义坐标的形式第9页/共121页第10页/共121页例例 题题 1 1m mv v 提升重物系统中，钢丝绳的横截提升重物系统中，钢丝绳的横截面积面积A A2.892.8910104 4mm2 2，材料的弹性，材料的弹性模量模量E E200GPa200GPa。重物的质量重物的质量mm6 6000kg000kg，以匀速以匀速 v v 0.25m/s 0.25m/s 下降。下降。当重物下降到当重物下降到 l l 25m25m 时，

8、钢丝绳时，钢丝绳上端突然被卡住。上端突然被卡住。l l求求：（：（1 1）重物的振动规律重物的振动规律；（2 2）钢丝绳承受的最大张力。）钢丝绳承受的最大张力。解解：钢丝绳重物系统可以简化为弹簧物块：钢丝绳重物系统可以简化为弹簧物块系统系统,弹簧的刚度为弹簧的刚度为第11页/共121页m mk k静平衡位置静平衡位置O Ox x 设钢丝绳被卡住的瞬时设钢丝绳被卡住的瞬时t t0 0，这时重物的位置为初始平衡位置这时重物的位置为初始平衡位置；以重物在铅垂方向的位移；以重物在铅垂方向的位移x x作为作为广义坐标，则系统的振动方程为广义坐标，则系统的振动方程为方程的解为方程的解为利用初始条件利用初始

9、条件求得求得第12页/共121页m mk k静平衡位置静平衡位置O Ox xm mx xWWF FT T（2 2）钢丝绳承受的最大张力。）钢丝绳承受的最大张力。取重物为研究对象取重物为研究对象绳中的最大张力等于静张力与因振动引起的绳中的最大张力等于静张力与因振动引起的动张力之和动张力之和 ：动张力几乎是静张力的一半 动张力表达式：为了减少振动引起的动张力，应当降低升降系统的刚度 分析2 第13页/共121页l l固定端固定端 均质等截面悬臂梁，长度为均质等截面悬臂梁，长度为 l l,弯曲刚度为弯曲刚度为EIEI。梁的自由端放置梁的自由端放置一质量为一质量为mm的物块。若不计梁的的物块。若不计梁

10、的质量。试写出梁物块系统的运质量。试写出梁物块系统的运动微分方程。动微分方程。例例 题题 2 2m mEIEIl l固定端固定端y yststO Oy y 考察梁和物块所组成的考察梁和物块所组成的系统。以物块铅垂方向的系统。以物块铅垂方向的位移作为广义坐标位移作为广义坐标 q=yq=y,坐坐标原点标原点OO设在梁变形后的设在梁变形后的平衡位置，这一位置与变平衡位置，这一位置与变形前的位置之间的距离，形前的位置之间的距离，即为物块静载作用下的挠即为物块静载作用下的挠度，亦即静挠度，用度，亦即静挠度，用y ystst表表示。示。第14页/共121页 分析物块运动到任意位置分析物块运动到任意位置(坐

11、标为坐标为y y)时时，物块的受力：应用牛顿第二，物块的受力：应用牛顿第二定律定律WW=m=mg gF F 分析物块运动到任意位置分析物块运动到任意位置(坐标为坐标为y y)时时，梁的自由端位移与力之间的关系梁的自由端位移与力之间的关系EIEIl l固定端固定端FFy yy yststm mEIEIl l固定端固定端O Oy y第15页/共121页此即梁物块的运动微分方程此即梁物块的运动微分方程第16页/共121页例：例：重物落下，与简支梁做完全非弹性碰撞重物落下，与简支梁做完全非弹性碰撞梁长梁长 L，抗弯刚度，抗弯刚度 EI求：求：梁的自由振动频率和最大挠度梁的自由振动频率和最大挠度mh0l

12、/2l/2例例 题题 3 3第17页/共121页解：解：由材料力学由材料力学：自由振动频率为自由振动频率为：取平衡位置取平衡位置以梁承受重物时的静平以梁承受重物时的静平衡位置为坐标原点建立衡位置为坐标原点建立坐标系坐标系静变形静变形mh0l/2l/2x静平衡位置第18页/共121页撞击时刻为零时刻，则撞击时刻为零时刻，则 t=0 时，有：时，有：则自由振动振幅为则自由振动振幅为：梁的最大扰度：梁的最大扰度：mh0l/2l/2x静平衡位置第19页/共121页例：圆盘转动例：圆盘转动圆盘转动惯量圆盘转动惯量 I在圆盘的静平衡位置上任意选一根在圆盘的静平衡位置上任意选一根半径作为角位移的起点位置半径

13、作为角位移的起点位置扭振固有频率扭振固有频率为轴的扭转刚度，定义为使得圆盘为轴的扭转刚度，定义为使得圆盘产生单位转角所需的力矩产生单位转角所需的力矩由牛顿第二定律：由牛顿第二定律：例例 题题 4 4第20页/共121页由上例可看出，除了选择了坐标不同之外，由上例可看出，除了选择了坐标不同之外，角振动角振动与与直线振直线振动动的数学描述是完全相同的。如果在弹簧质量系统中将的数学描述是完全相同的。如果在弹簧质量系统中将 m、k 称为广义质量及广义刚度，则弹簧质量系统的有关结论完称为广义质量及广义刚度，则弹簧质量系统的有关结论完全适用于角振动。以后不加特别声明时，弹簧质量系统是广全适用于角振动。以后

14、不加特别声明时，弹簧质量系统是广义的义的。0mx静平衡位置静平衡位置弹簧原长位置弹簧原长位置第21页/共121页从前面两种形式的振动看到，单自由度无阻尼系统总包含着从前面两种形式的振动看到，单自由度无阻尼系统总包含着惯性元件惯性元件和和弹性元件弹性元件两种基本元件，惯性元件是感受加速度两种基本元件，惯性元件是感受加速度的元件，它表现为系统的质量或转动惯量，而弹性元件是产的元件，它表现为系统的质量或转动惯量，而弹性元件是产生使系统恢复原来状态的恢复力的元件，它表现为具有刚度生使系统恢复原来状态的恢复力的元件，它表现为具有刚度或扭转刚度度的弹性体。同一个系统中，若惯性增加，则使或扭转刚度度的弹性体

15、。同一个系统中，若惯性增加，则使固有频率降低，而若刚度增加，则固有频率增大。固有频率降低，而若刚度增加，则固有频率增大。第22页/共121页串联弹簧与并联弹簧的等效刚度串联弹簧与并联弹簧的等效刚度k k1 1k k2 2mmg gk k1 1mmg gk k2 21.1.串串 联联第23页/共121页k k1 1k k2 2m mk k1 1k k2 2m mmmg gF F1 1F F2 22.2.并并 联联第24页/共121页k k4 4k k3 3k k2 2k k1 1m m 图示系统中有四根铅直弹簧，它图示系统中有四根铅直弹簧，它们的刚度系数分别为们的刚度系数分别为 k k1 1、k

16、 k2 2 、k k3 3 、k k4 4 且且k k1 1=2=2 k k2 2 =3=3 k k3 3=4=4 k k4 4。假设质量为的物。假设质量为的物块被限制在光滑铅直滑道中作平动。块被限制在光滑铅直滑道中作平动。例例 题题 5 5试求此系统的固有频率。试求此系统的固有频率。解解：（：（1 1）计算）计算3 3、4 4的等效刚度的等效刚度（2 2）计算）计算2 2、3 3、4 4的等效刚度的等效刚度第25页/共121页k k4 4k k3 3k k2 2k k1 1m m解解：（：（1 1）计算）计算3 3、4 4的等效刚度的等效刚度（2 2）计算）计算2 2、3 3、4 4的等效刚

17、度的等效刚度（3 3）计算系统的等效刚度）计算系统的等效刚度（4 4）计算系统的固有频率）计算系统的固有频率第26页/共121页？1m mk kO O在图中，当把弹簧原长在中点在图中，当把弹簧原长在中点O O 固定后，固定后，系统的固有频率与原来的固有频率的比系统的固有频率与原来的固有频率的比值为值为 。k kk km ml l 在图中，当物块在中点时其系统的固有在图中，当物块在中点时其系统的固有频率为频率为 n0n0，现将物块改移至距上端处，则，现将物块改移至距上端处，则其固有频率其固有频率=n0 n0。？2第27页/共121页m mk ka al l例例 题题 6 6 图示结构中，杆在水平

18、位置处于平衡，图示结构中，杆在水平位置处于平衡，若若k k、mm、a a、l l 等均为已知。等均为已知。求：求：系统微振动的固有频率系统微振动的固有频率mmg gF F解：解：取静平衡位置为其坐标原点，取静平衡位置为其坐标原点，由动量矩定理，得由动量矩定理，得在静平衡位置处，有在静平衡位置处，有第28页/共121页m mk ka al lmmg gF F在静平衡位置处，有在静平衡位置处，有如果重力的影响仅是改变了惯性元件的如果重力的影响仅是改变了惯性元件的静平衡位置，那么将坐标原点取在静平静平衡位置，那么将坐标原点取在静平衡位置上，方程中就不会出现重力项衡位置上，方程中就不会出现重力项 。第

19、29页/共121页能量法能量法对于不计阻尼即认为没有能量损失的单自由度系统，也可以对于不计阻尼即认为没有能量损失的单自由度系统，也可以利用利用能量守恒原理能量守恒原理建立自由振动的微分方程，或直接求出系建立自由振动的微分方程，或直接求出系统的固有频率。统的固有频率。无阻尼系统为无阻尼系统为保守系统保守系统，其，其机械能守恒机械能守恒，即动能，即动能 T 和势能和势能 V 之和保持不变之和保持不变，即：，即：或：或：固有频率计算固有频率计算第30页/共121页2 计算固有频率的能量法m mk k静平衡位置静平衡位置O Ox x物块的动能为物块的动能为取静平衡位置为零势能点，有取静平衡位置为零势能

20、点，有在静平衡位置处，有在静平衡位置处，有第31页/共121页物块在平衡位置处，其动能最大物块在平衡位置处，其动能最大物块在偏离平衡位置的极端处，其势能最大物块在偏离平衡位置的极端处，其势能最大无阻尼自由振动系统是保守系统，系统的机械能守恒无阻尼自由振动系统是保守系统，系统的机械能守恒第32页/共121页m mk ka al l 解：解：设设OAOA杆作自由振动时，杆作自由振动时，其摆角其摆角 的变化规律为的变化规律为系统的最大动能为系统的最大动能为系统的最大势能为系统的最大势能为由机械能守恒定律有由机械能守恒定律有例例 题题 7 7由能量法解由能量法解 例题例题6 6第33页/共121页例

21、题 8 半径为半径为r r、质量为质量为 mm的均质的均质圆柱体，在半径为圆柱体，在半径为 R R 的刚性的刚性圆槽内作纯滚动圆槽内作纯滚动 。求：求：1 1、圆柱体的运动微分方程；、圆柱体的运动微分方程；2 2、微振动固有频率。、微振动固有频率。RCO第34页/共121页RCO 解：解：取摆角取摆角 为广义坐标为广义坐标由运动学可知：由运动学可知：系统的动能系统的动能系统的势能系统的势能拉氏函数为拉氏函数为第35页/共121页RCO 第36页/共121页RCO 第37页/共121页RCO例例 题题 9 9由能量法求固有频率由能量法求固有频率 解：解：设摆角设摆角 的变化规律为的变化规律为系统

22、的最大动能为系统的最大动能为取平衡位置处为零势能点，则系统的势能为取平衡位置处为零势能点，则系统的势能为第38页/共121页RCO 由机械能守恒定律有由机械能守恒定律有第39页/共121页例：如图所示是一个倒置的摆例：如图所示是一个倒置的摆 摆球质量摆球质量 m刚杆质量忽略刚杆质量忽略 每个弹簧的刚度每个弹簧的刚度 求求:(1)倒摆作微幅振动时的固有频率倒摆作微幅振动时的固有频率lmak/2k/2第40页/共121页解法解法1：广义坐标广义坐标动能动能势能势能平衡位置平衡位置1零平衡位置零平衡位置1lmak/2k/2第41页/共121页解法解法2：平衡位置平衡位置2动能动能势能势能零平衡位置零

23、平衡位置2lmak/2k/2第42页/共121页例：均质圆柱例：均质圆柱质量质量m，半径，半径R与地面纯滚动与地面纯滚动在在A、B点挂有弹簧点挂有弹簧确定系统微振动的固有频率确定系统微振动的固有频率k1abRk1k2k2AB第43页/共121页解：解：k1abRk1k2k2AB广义坐标：圆柱微转角广义坐标：圆柱微转角圆柱做一般运动，由柯希圆柱做一般运动，由柯希尼定理，动能：尼定理，动能：C点为运动瞬心点为运动瞬心势能：势能：CA点速度：点速度：B点速度：点速度：第44页/共121页解：解：k1abRk1k2k2AB动能：动能：势能：势能：C第45页/共121页l瑞利法利用能量法求解固有频率时，

24、对于系统的动能的计算只考虑利用能量法求解固有频率时，对于系统的动能的计算只考虑了惯性元件的动能，而忽略不计弹性元件的质量所具有的动了惯性元件的动能，而忽略不计弹性元件的质量所具有的动能，因此算出的固有频率是实际值的上限。这种简化方法在能，因此算出的固有频率是实际值的上限。这种简化方法在许多场合中都能满足要求，但有些工程问题中，弹性元件本许多场合中都能满足要求，但有些工程问题中，弹性元件本身的质量因占系统总质量相当大的比例而不能忽略，否则算身的质量因占系统总质量相当大的比例而不能忽略，否则算出的固有频率明显偏高。出的固有频率明显偏高。mkx0第46页/共121页例如：弹簧质量系统例如：弹簧质量系

25、统设弹簧的动能设弹簧的动能:系统最大动能：系统最大动能：系统最大势能：系统最大势能：若忽略若忽略 ，则，则 增大增大 弹簧等效质量弹簧等效质量 mtmkx0第47页/共121页第48页/共121页教学内容l l无阻尼自由振动l l能量法l l瑞利法l l等效质量和等效刚度l l阻尼自由振动l l等效粘性阻尼单自由度系统自由振动第49页/共121页拉格朗日方程 本章是将达朗伯原理和虚位移原理结合起来推导出动力学普遍方程和拉格朗日方程。动力学普遍方程中系统的运动是直角坐标来描述的，而拉格朗日方程是用广义坐标来描述系统的运动，两者都是用来解决非自由质点系的动力学问题，它是用分析的方法解决动力学问题的

26、出发点，因此它是分析力学的基础。对于解决复杂的非自由质点系的动力学问题，应用拉格朗日方程往往要比用动力学普遍方程简便得多。第50页/共121页达朗伯原理达朗伯原理 设由设由n个质点组成的质点系，在质点系运动的任一瞬时，任一质点个质点组成的质点系，在质点系运动的任一瞬时，任一质点 上作用的主动力上作用的主动力 ，约，约束反力束反力 及其惯性力及其惯性力 三者构成形式上的平衡力系三者构成形式上的平衡力系第51页/共121页第52页/共121页第53页/共121页第54页/共121页第55页/共121页 （4）对拉格朗日方程的评价 拉氏方程的特点（优点）：是一个二阶微分方程组，方程个数与体系的自由度

27、相同。形式简洁、结构紧凑。而且无论选取什么参数作广义坐标，方程形式不变。方程中不出现约束反力，因而在建立体系的方程时，只需分析已知的主动力，不必考虑未知的约束反力。体系越复杂，约束条件越多，自由度越少，方程个数也越少，问题也就越简单。拉氏方程是从能量的角度来描述动力学规律的，能量是整个物理学的基本物理量而且是标量，因此拉氏方程为把力学规律推广到其他物理学领域开辟了可能性，成为力学与其他物理学分支相联系的桥梁。拉氏方程的价值 拉氏方程在理论上、方法上、形式上和应用上用高度统一的规律，描述了力学系统的动力学规律，为解决体系的动力学问题提供了统一的程序化的方法，不仅在力学范畴有重要的理论意义和实用价

28、值，而且为研究近代物理学提供了必要的物理思想和数学技巧。第56页/共121页l等效质量和等效刚度方法方法1：选定广义位移坐标后，将系统得动能、势能写成如下形式：选定广义位移坐标后，将系统得动能、势能写成如下形式：当当 、分别取最大值时：分别取最大值时：则可得出：则可得出：Ke：简化系统的等效刚度：简化系统的等效刚度Me：简化系统的等效质量：简化系统的等效质量 这里等效的含义是指简化前后的系统的动能和势这里等效的含义是指简化前后的系统的动能和势能分别相等能分别相等 第57页/共121页等效质量：等效质量：使系统在选定的坐标上产生单位加速度而需要在使系统在选定的坐标上产生单位加速度而需要在此坐标方

29、向上施加的力，叫做系统在这个坐标上此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效质量的等效质量 第58页/共121页动能动能势能势能零平衡位置零平衡位置1lmak/2k/2第59页/共121页k1abRk1k2k2AB动能动能势能势能第60页/共121页l阻尼自由振动前面的自由振动都没有考虑运动中阻力的影响，实际系统的机械能不可能守恒，因为总存在着各种各样的阻力。振动中将阻力称为阻尼，例如摩擦阻尼，电磁阻尼，介质阻尼和结构阻尼。尽管已经提出了许多数学上描述阻尼的方法，但是实际系统中阻尼的物理本质仍然极难确定。最常用的一种阻尼力学模型是粘性阻尼。在流体中低速运动或沿润滑表面滑动的物体，通常就认

30、为受到粘性阻尼。单自由度系统自由振动物体运动沿润滑表面的阻力与速度的关系物体运动沿润滑表面的阻力与速度的关系C C粘性阻尼系数或粘阻系数粘性阻尼系数或粘阻系数第61页/共121页2.2.振动微分方程振动微分方程m mk km mc cO Ox xF FFk kkF FFc ccv v取平衡位置为坐标原点，在建取平衡位置为坐标原点，在建立此系统的振动微分方程时，立此系统的振动微分方程时，可以不再计入重力的影响。可以不再计入重力的影响。根据牛顿定律，物块的运动微分方程为根据牛顿定律，物块的运动微分方程为固有频率相对阻尼系数相对阻尼系数第62页/共121页本征方程本征方程本征值本征值本征值与运动微分

31、方程的通解的形式与阻尼比有关。本征值与运动微分方程的通解的形式与阻尼比有关。齐次二阶常系数常系数线性微分方程，设其解为齐次二阶常系数常系数线性微分方程，设其解为齐次二阶常系数常系数线性微分方程，设其解为齐次二阶常系数常系数线性微分方程，设其解为其通解为其通解为第63页/共121页3.3.小阻尼情形小阻尼情形 当当 n n 11)情形情形临界阻尼临界阻尼(1 1)情形情形 这两种情形下，运动不再是周期型的，而是按负指数这两种情形下，运动不再是周期型的，而是按负指数衰减衰减11x xO Ot t非周期蠕动，没有振动发生 临界阻尼系数第68页/共121页tx(t)临界也是按指数规律衰减的非周期运动，

32、但比过阻尼衰减快些 三种阻尼情况比较：欠阻尼过阻尼临界阻尼欠阻尼是一种振幅逐渐衰减的振动过阻尼是一种按指数规律衰减的非周期蠕动，没有振动发生 第69页/共121页小结：动力学方程欠阻尼过阻尼临界阻尼按指数规律衰减的非周期蠕动 按指数规律衰减的非周期运动，比过阻尼衰减快 振幅衰减振动第70页/共121页例：阻尼缓冲器静载荷 P 去除后质量块越过平衡位置得最大位移为初始位移的 10 求：缓冲器的相对阻尼系数 单自由度系统自由振动kcx0 x0Pm平衡位置第71页/共121页解：由题知 设求导：设在时刻 t1 质量越过平衡位置到达最大位移，这时速度为：即经过半个周期后出现第一个振幅 x1单自由度系统

33、自由振动kcx0 x0Pm平衡位置第72页/共121页由题知 解得：单自由度系统自由振动第73页/共121页例：单自由度系统自由振动刚杆质量不计求：（1）写出运动微分方程（2）临界阻尼系数，阻尼固有频率小球质量 mlakcmb第74页/共121页解：单自由度系统自由振动阻尼固有频率：无阻尼固有频率：m广义坐标力矩平衡：受力分析lakcmb第75页/共121页19-4 单自由度系统无阻尼受迫振动km0e受迫振动受迫振动系统在外界激励下产生的振动系统在外界激励下产生的振动。激励形式激励形式 外界激励一般为时间的函数，可以是周期外界激励一般为时间的函数，可以是周期函数，也可以是非周期函数。函数，也可

34、以是非周期函数。简谐激励是最简单的激励。一般的周期性简谐激励是最简单的激励。一般的周期性激励可以通过傅里叶级数展开成简谐激励的叠加。激励可以通过傅里叶级数展开成简谐激励的叠加。第76页/共121页F FFk kkF FF1.1.振动微分方程振动微分方程m mO Ox xx x振动微分方程振动微分方程第77页/共121页微分方程的解为：微分方程的解为：将将 x x2 2 代入微分方程，得代入微分方程，得解得解得第78页/共121页2.2.受迫振动的振幅受迫振动的振幅幅频特性曲线幅频特性曲线第79页/共121页3.3.共振现象共振现象当当 n n 时时，激振力频率等于系统，激振力频率等于系统的固有

35、频率时，振幅在理论上应趋于的固有频率时，振幅在理论上应趋于无穷大，这种现象称为无穷大，这种现象称为共振共振。这表明无阻尼系统发生共振时，这表明无阻尼系统发生共振时，振幅将随时间无限地增大。振幅将随时间无限地增大。第80页/共121页19-5 单自由度系统有阻尼受迫振动F FFk km mc cF FFm mO Ox xF FFk kkF FFc cc 这一微分方程的全解等于这一微分方程的全解等于齐次方程的全解与非齐次方齐次方程的全解与非齐次方程的特解之和。程的特解之和。第81页/共121页有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解代入微分方程，解得代入

36、微分方程，解得第82页/共121页运动微分方程的通解为：运动微分方程的通解为：在简谐激励的作用下，有阻尼系统的总响应由二部分组成：在简谐激励的作用下，有阻尼系统的总响应由二部分组成：第一部分是第一部分是衰减振动衰减振动；第二部分是；第二部分是受迫振动受迫振动。引入：引入：第83页/共121页第84页/共121页第85页/共121页幅频特性与相频特性幅频特性与相频特性1 1、0 0的附近区域的附近区域(低频区或弹性控制区低频区或弹性控制区)，1 1，0 0，响应与激励同相；对于不同的响应与激励同相；对于不同的 值，曲线密集，阻尼影响不值，曲线密集，阻尼影响不大。大。2 2、11的区域的区域(高频

37、区或惯性控制区高频区或惯性控制区)，0 0，响响应与激励反相；阻尼影响也不大。应与激励反相；阻尼影响也不大。第86页/共121页幅频特性与相频特性幅频特性与相频特性 在低频区和高频区，当在低频区和高频区，当 11时，时，B/a B/a 1 1 。因此，设计时因此，设计时应当使测振仪具有比较低应当使测振仪具有比较低的固有频率，才能有比较的固有频率，才能有比较大的大的 值值。被测频率愈高，测量精被测频率愈高，测量精度也高；被测频率低，测度也高；被测频率低，测量精度便低。量精度便低。对于同一对于同一 值，阻尼较值，阻尼较大时，大时，B/a B/a 趋趋近于近于1 1。第92页/共121页例例 题题

38、9 9工作台工作台c ck km mx xe e已知已知：m m、k k、c c,x xe e=a asinsin t t 试分析：试分析：仪器的稳态响应。仪器的稳态响应。解解：假设观察者在不动的假设观察者在不动的地面上观察仪器的运动，仪地面上观察仪器的运动，仪器在铅垂方向的位移器在铅垂方向的位移 x x 作为作为广义坐标，以平衡位置为广广义坐标，以平衡位置为广义坐标的原点。义坐标的原点。仪器的运动方程为仪器的运动方程为O Ox x第93页/共121页 激励由两部分组成：一部分是弹簧的运动激励，其幅值与激励频率无关；激励由两部分组成：一部分是弹簧的运动激励，其幅值与激励频率无关；另一部分是阻尼

39、的运动激励，其幅值与缴励频率成正比，且相位比弹簧激励超另一部分是阻尼的运动激励，其幅值与缴励频率成正比，且相位比弹簧激励超前前/2/2。根据叠加原理，稳态响应也由两部分叠加而成。根据叠加原理，稳态响应也由两部分叠加而成:对于仅有弹簧的运动激励，稳态响应幅值和滞后相位差对于仅有弹簧的运动激励，稳态响应幅值和滞后相位差第94页/共121页 对于仅有阻尼的运动激励，稳态响应幅值和滞后相位差对于仅有阻尼的运动激励，稳态响应幅值和滞后相位差第95页/共121页第96页/共121页幅幅频频特特性性和和相相频频特特性性曲曲线线第97页/共121页 本例所研究的实际上是隔振问题将外界振源尽本例所研究的实际上是

40、隔振问题将外界振源尽可能与研究对象隔离（称为被动隔振）。为取得隔可能与研究对象隔离（称为被动隔振）。为取得隔振效果，即仪器振幅振效果，即仪器振幅B B小于振源振幅小于振源振幅 a a，应当如何设，应当如何设计隔振层的刚度计隔振层的刚度 k k？对于隔振效果，阻尼大一点好还？对于隔振效果，阻尼大一点好还是小一点好？是小一点好？关于本例的讨论第98页/共121页 单自由度线性系统 的受迫振动 受迫振动中的能量关系受迫振动中的能量关系 惯性力、阻尼力、弹性恢复力和激励力在一个周期内惯性力、阻尼力、弹性恢复力和激励力在一个周期内怎样作功？又有怎样的能量关系呢？怎样作功？又有怎样的能量关系呢？无阻尼自由

41、振动无阻尼自由振动 系统机械能守恒，既无能量的损耗又无外界能量的输系统机械能守恒，既无能量的损耗又无外界能量的输入，一个周期内仅有系统动能和势能的转换。入，一个周期内仅有系统动能和势能的转换。有阻尼自由振动有阻尼自由振动 阻尼不断耗散能量，而外界又无能量补充，因此振动阻尼不断耗散能量，而外界又无能量补充，因此振动幅值随时间衰减。幅值随时间衰减。受迫振动受迫振动第99页/共121页 单自由度线性系统 的受迫振动 受迫振动中的能量关系受迫振动中的能量关系根据力在根据力在d dt t时间内所作之元功时间内所作之元功d dW=W=Fvdt 当力和速度同相位时，每一时刻都作正功；而当力和速度当力和速度同

42、相位时，每一时刻都作正功；而当力和速度反相位时，每一时刻都作负功。反相位时，每一时刻都作负功。阻尼力和速度反相阻尼力和速度反相，因此始终作负功，在一个周期内所作，因此始终作负功，在一个周期内所作的负功为的负功为第100页/共121页 单自由度线性系统 的受迫振动 受迫振动中的能量关系受迫振动中的能量关系 若力与速度相位相差若力与速度相位相差/2/2 ，则力在一个周期内作功等于，则力在一个周期内作功等于零。零。惯性力和弹性恢复力的相位都与速度相位相差惯性力和弹性恢复力的相位都与速度相位相差/2/2 ，因，因此，惯性力与弹性恢复力在一个周期内所作之功都作功等此，惯性力与弹性恢复力在一个周期内所作之

43、功都作功等于零。于零。第101页/共121页 单自由度线性系统 的受迫振动 受迫振动中的能量关系受迫振动中的能量关系 激励力超前位移激励力超前位移 相位，可将其分解为与速度和位移同相位，可将其分解为与速度和位移同相位的两部分。相位的两部分。对于微分方程简谐激励力对于微分方程简谐激励力 第二部分的相位与位移的相位相同，一个周期内作功为第二部分的相位与位移的相位相同，一个周期内作功为零。这样，激励力在一个周期内所作之功为零。这样，激励力在一个周期内所作之功为第102页/共121页 单自由度线性系统 的受迫振动 受迫振动中的能量关系受迫振动中的能量关系 第二部分的相位与位移的相位相同，一个周期内作功

44、为第二部分的相位与位移的相位相同，一个周期内作功为零。这样，激励力在一个周期内所作之功为零。这样，激励力在一个周期内所作之功为 这表明，稳态受迫振动一个周期内激励力所作之功等于阻这表明，稳态受迫振动一个周期内激励力所作之功等于阻尼力耗散的能量。这就可以解释为什么有阻尼系统受迫振动尼力耗散的能量。这就可以解释为什么有阻尼系统受迫振动的稳态响应有一个稳定的振幅。的稳态响应有一个稳定的振幅。根据稳态响应幅值的表达式有根据稳态响应幅值的表达式有第103页/共121页 单自由度线性系统 的受迫振动 受迫振动中的能量关系受迫振动中的能量关系 因为在一个周期内激励力所作因为在一个周期内激励力所作之功与振幅成

45、正比，而阻尼耗散之功与振幅成正比，而阻尼耗散的能量与振幅平方成正比，当振的能量与振幅平方成正比，当振动幅值还未达到稳定值动幅值还未达到稳定值B B0 0时，激时，激励力所作之功大于阻尼耗散的能励力所作之功大于阻尼耗散的能量，振幅将增加。量，振幅将增加。当振幅到达当振幅到达B B0 0时，激励力所作时，激励力所作之功与阻尼耗散的能量相等，系之功与阻尼耗散的能量相等，系统能够维持等幅振动。统能够维持等幅振动。第104页/共121页 单自由度线性系统 的受迫振动 受迫振动中的能量关系受迫振动中的能量关系 若由于某种干扰使振幅大于若由于某种干扰使振幅大于B B0 0时，阻尼耗散的能量大于激励时，阻尼耗

46、散的能量大于激励 力力所作之功，振幅又会衰减，直至所作之功，振幅又会衰减，直至在在 B B0 0处又维持稳定的振幅。处又维持稳定的振幅。第105页/共121页 结论与讨论 按激励不同，可将振动分为自由振动、强迫振动和自按激励不同，可将振动分为自由振动、强迫振动和自激振动等，若按系统特性分类，则可分为线性振动和非线激振动等，若按系统特性分类，则可分为线性振动和非线性振动。性振动。关于振动概念关于振动概念 工程力学将振动的概念从物理学中的单个质点扩展到工程力学将振动的概念从物理学中的单个质点扩展到系统。系统可以是单自由度，也可以是多自由度，乃至无系统。系统可以是单自由度，也可以是多自由度，乃至无限

47、多自由度。限多自由度。系统要产生振动必须有内因和外因：内因是系统本身系统要产生振动必须有内因和外因：内因是系统本身既要有弹性又要有惯性，二者缺一不可。对有阻尼系统，既要有弹性又要有惯性，二者缺一不可。对有阻尼系统，仅在弱阻尼时运动才有振动形态。外因是系统要受到激励。仅在弱阻尼时运动才有振动形态。外因是系统要受到激励。第106页/共121页 结论与讨论 关于运动微分方程关于运动微分方程 建立系统运动方程属于动力学第二类问题，即：已知建立系统运动方程属于动力学第二类问题，即：已知主动力求运动的问题。主要过程与求解动力学其它问题相主动力求运动的问题。主要过程与求解动力学其它问题相似，但振动问题还要注

48、意广义坐标原点的选择，通常以静似，但振动问题还要注意广义坐标原点的选择，通常以静平衡位置作为广义坐标原点。平衡位置作为广义坐标原点。第107页/共121页 结论与讨论 关于运动微分方程关于运动微分方程 建立振动系统运动微分方程所用的动力学原理建立振动系统运动微分方程所用的动力学原理 拉格朗日方程拉格朗日方程对于无阻尼的情形对于无阻尼的情形第108页/共121页 结论与讨论 关于运动微分方程关于运动微分方程 建立振动系统运动微分方程所用的动力学原理建立振动系统运动微分方程所用的动力学原理 拉格朗日方程拉格朗日方程对于有阻尼的情形对于有阻尼的情形第109页/共121页 结论与讨论 关于运动微分方程

49、关于运动微分方程 动量矩定理动量矩定理对于有一固定轴，并且绕固定轴对于有一固定轴，并且绕固定轴转动的系统，特别对于扭转振动的情形，采用动转动的系统，特别对于扭转振动的情形，采用动量矩定理更好。量矩定理更好。J JOO系统绕固定轴系统绕固定轴 OO的转动惯量的代数和的转动惯量的代数和；L LOO所有外力对固定轴所有外力对固定轴 OO之矩的代数和之矩的代数和。力矩方向力矩方向 与广义坐标方向相同时为正，反之为负与广义坐标方向相同时为正，反之为负。建立振动系统运动微分方程所用的动力学原理建立振动系统运动微分方程所用的动力学原理第110页/共121页 结论与讨论 关于运动微分方程关于运动微分方程 机械

50、能守恒机械能守恒对于没有能量损耗的保守系统对于没有能量损耗的保守系统 建立振动系统运动微分方程所用的动力学原理建立振动系统运动微分方程所用的动力学原理第111页/共121页 结论与讨论 有阻尼系统仅在弱阻尼时才有振动形态，阻尼使自由有阻尼系统仅在弱阻尼时才有振动形态，阻尼使自由振动频率略有降低使振幅按指数衰减，振动过程中有能振动频率略有降低使振幅按指数衰减，振动过程中有能量耗散。量耗散。单自由度线性系统单自由度线性系统 自由振动要点自由振动要点 固有频率是系统的固有属性，它仅与系统的等效刚度固有频率是系统的固有属性，它仅与系统的等效刚度和等效质量有关。和等效质量有关。无阻尼系统的自由振动是简谐