插值与数据拟合.pptx

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1、7.1 引言引言 在工程和科学实验中，常常需要从一组实验观测数据(xi,yi)(i=1,2,n)揭示自变量 x 与因变量 y 之间的关系，一般可以用一个近似的函数关系式 y=f(x)来表示。函数 f(x)的产生办法因观测数据与要求的不同而异，通常可采用两种方法：插值与数据拟合。第1页/共79页 7.1.1 插值 引例 7.1.1 已经测得在北纬 32.3 海洋不同深度处的温度如下表：表7.1.1根据这些数据，我们希望能合理地估计出其它深度（如 500米、600米、1000米）处的水温。解决这个问题，可以通过构造一个与给定数据相适应的函数来解决，这是一个被称为插值的问题。深度x(m)466714

2、95014221634水温y(C)7.044.283.402.542.13第2页/共79页 解决这个问题，可以通过构造一个与给定数据相适应的函数来解决，这是一个被称为插值的问题。插值问题的基本提法插值问题的基本提法：对于给定的函数表其中 f(x)在区间 a,b 上连续，x0，x1，xn为 a,b 上 n1个互不相同的点，要求在一个性质优良、便于计算的函数类 P(x)中，选出一个使P(xi)=yi，i=0,1,n (7.1.1)成立的函数 P(x)作为 f(x)的近似，这就是最基本的插值问题（见图7.1.1）。xx0 x1xny=f(x)y0y1yn第3页/共79页 为便于叙述，通常称区间 a,

3、b 为插值区间，称点 x0，x1，xn为插值节点，称函数类 P(x)为插值函数类，称式(7.1.1)为插值条件，称函数 P(x)为插值函数，称 f(x)为被插函数。求插值函数 P(x)的方法称为插值法。图 7.1.1 插值问题示意图 第4页/共79页 引例 7.1.2 在某化学反应中，已知生成物的浓度与时间有关。今测得一组数据如下：表7.1.2根据这些数据，我们希望寻找一个 y=f(t)的近似表达式（如建立浓度y与时间 t 之间的经验公式等）。从几何上看，就是希望根据给定的一组点（1,4.00），,（16,10.60），求函数 y=f(t)的图象的一条拟合曲线。时间t（分）12345678浓度

4、y1034.006.408.008.809.229.509.709.86时间t（分）910111213141516浓度y10310.0010.2010.3210.3210.5010.5510.5810.60第5页/共79页 数据拟合问题的基本提法数据拟合问题的基本提法：对于给定的函数表 其中 f(x)在区间 a,b 上连续，x0，x1，xn为 a,b 上 n1个互不相同的点，要求找一个简单合理的函数近似表达式 (x)，使 (x)与 f(x)在某种准则下最为接近，这就是最基本的数据拟合问题（见图7.1.2）。通常，我们称 (x)为给定数据点的拟合函数。xx0 x1xny=f(x)y0y1yn第6

5、页/共79页图7.1.2 数据拟合问题示意图 第7页/共79页 7.1.3 插值与数据拟合的基本理论依据 插值方法与数据拟合的基本理论依据，就是数学分析中的 Weierstrass 定理：设函数 f(x)在区间 a,b 上连续，则对 0，存在多项式P(x)，使得即：有界区间上的连续函数被多项式一致逼近。第8页/共79页 7.1.4 实际应用中两种方法的选择 在实际应用中，究竟选择哪种方法比较恰当？总的原则是根据实际问题的特点来决定采用哪一种方法。具体说来，可从以下两方面来考虑：1如果给定的数据是少量的且被认为是严格精确的，那么宜选择插值方法。采用插值方法可以保证插值函数与被插函数在插值节点处完

6、全相等。第9页/共79页 2如果给定的数据是大量的测试或统计的结果，并不是必须严格遵守的，而是起定性地控制作用的，那么宜选用数据拟合的方法。这是因为，一方面测试或统计数据本身往往带有测量误差，如果要求所得的函数与所给数据完全吻合，就会使所求函数保留着原有的测量误差；另一方面，测试或统计数据通常很多，如果采用插值方法，不仅计算麻烦，而且逼近效果往往较差。第10页/共79页7.2 一维数据的基本插值方法简介一维数据的基本插值方法简介 插值函数类的取法很多，可以是代数多项式，也可以是三角多项式或有理函数；可以是 a,b 上任意光滑函数，也可以是分段光滑函数。在此介绍最基本、最常用的两种插值方法：分段

7、多项式插值与三次样条插值，及其 Matlab 实现。第11页/共79页 7.2.1 一维数据的分段多项式插值 对于给定的一维数据分段多项式插值就是求一个分段（共 n 段）多项式 P(x)，使其满足 P(xi)=yi（i=0,1,n）或更高的要求。一般地，分段多项式插值中的多项式都是低次多项式（不超过三次）。xx0 x1xny=f(x)y0y1yn第12页/共79页 1分段线性插值 分段线性插值函数 P1(x)是一个分段一次多项式（分段线性函数）。在几何上就是用折线代替曲线，如图 7.2.1，故分段线性插值亦称为折线插值。其插值公式为 其中 xxi,xi+1 第13页/共79页图 7.2.1 分

8、段线性插值示意图 第14页/共79页 2分段二次插值 分段二次插值函数 P2(x)是一个分段二次多项式。在几何上就是分段抛物线代替曲线 y=f(x)，故分段二次插值又称为分段抛物插值。其插值公式其中 xxi-1,xi+1 第15页/共79页 3三次 Hermite 插值 三次 Hermite 插值问题的基本提法一：已知一维数据求一个三次多项式 P3(x)，使之满足P3(xi)=yi，P3(xi)=mi，i=0,1 (7.2.3)xx0 x1y=f(x)y0y1y=f(x)m0m1第16页/共79页下面的(7.2.5)、(7.2.6)两式构成里三次 Hermite插值基本提法一的插值公式P3(x

9、)=0(x)y0 1(x)y1 0(x)m0 1(x)m1 (7.2.5)第17页/共79页 三次 Hermite 插值问题的基本提法二：已知一维数据求一个三次多项式 P3(x)，使之满足P3(xi)=yi，i=0,1,2，P3(x1)=mi (7.2.3)xx0 x1x2y=f(x)y0y1y2y=f(x)m1第18页/共79页下面的(7.2.9)、(7.2.10)两式构成里三次Hermite 插值基本提法二的插值公式P3(x)=0(x)y0 1(x)y1 0(x)m0 1(x)m1 (7.2.9)第19页/共79页 7.2.2 一维数据的三次样条插值 上述介绍的分段多项式插值，其优点为计算

10、简单、稳定性好、收敛性有保证，且易于在计算机上实现。但它也明显存在着缺陷。它只能保证在每个小区间段 xi,xi+1 内光滑，在各小区间连接点 xi 处连续，却不能保证整条曲线的光滑、光顺性，难以满足某些工程的要求。对于象高速飞机的机翼形线，船体放样等型值线往往要求有二阶光滑度，即有二阶连续导数。而由 60 年代开始，首先起源与航空、造船业等工程设计的实际需要而发展起来的样条插值，既保留了分段多项式插值的各种优点，又提高了插值函数的光滑度。在此，仅介绍应用最广且具有二阶连续导数的三次样条插值方法。第20页/共79页 1三次样条插值问题的基本提法 对于给定的一维数据求一个三次多项式 S(x)满足条

11、件 （1）S(xi)=yi，i=0,1,n；（2）S(x)具有二阶连续导数，特别在节点 xi 上应满足连续性要求，即对 i=0,1,n 有xx0 x1xny=f(x)y0y1yn第21页/共79页 2三次样条插值函数 给定区间 a,b 的一个划分：a=x0 x1 0,b 0）。第55页/共79页 (2)拟合运算 首先，分别用二、三、六次多项式拟合，计算得输出参数分别为 p1=0.0445，1.0711，4.3252 p2=0.0060，0.1963，2.1346，2.5952 p3=0.0000，0.0004，0.0103，0.1449，1.1395，4.9604，0.0498拟合函数分别为

12、(1)(x)=0.0445 1.0711x 4.3252x2 (2)(x)=0.0060 0.1963x 2.1346x2 2.5952x3 (3)(x)=0.0004x 0.0103x2 0.1449x3 1.1395x4 4.9304x5 0.0498x6；第56页/共79页 其次，再用有理分式拟合，计算得输出参数分别为p=0.0841，0.1392拟合函数为 第57页/共79页 最后，用指数函数拟合，计算得输出参数分别为p=11.3578，1.0873拟合函数为 三种方式五个种函数的拟合曲线见图 7.4.27.4.4。第58页/共79页图 7.4.2 多项式函数拟合曲线图 第59页/共7

13、9页图7.4.3 有理分式函数拟合曲线图 第60页/共79页图7.4.4 指数函数拟合曲线图 第61页/共79页 (3)误差分析 和给定的 16 组数据比较，三种方式五个函数拟合的误差见下表：表7.4.1 五个函数拟合的误差表其中：偏差平方和以及平均偏差平方和为：偏差平方和平均偏差平方和最大偏差二次多项式拟合4.44160.27761.3518三次多项式拟合1.22920.07680.6067六次多项式拟合0.11690.00730.2684有理分式拟合0.57320.03580.4772指数函数拟合0.17770.01110.2544第62页/共79页 从上表中求得的误差情况来看，好似六次多

14、项式函数拟合的最好，指数函数拟合次之，然后分别是有理分式函数拟合、三次多项式函数拟合和二次多项式函数拟合。但是，就这个实际问题的本质来说，化学反应中生成物的浓度到一定时间后应基本稳定，即当 t 时，f(t)常数。而我们有第63页/共79页三个多项式函数拟合曲线的趋势也可从图 7.4.5 看出。图 7.4.5 第64页/共79页 (4)结论 通过以上的计算和分析，我们得出如下结论：本问题可用指数函数或有理分式函数来拟合，其拟合函数分别为第65页/共79页拟合误差为 表7.4.2 (5)Matlab 程序 略。偏差平方和平均偏差平方和最大偏差指数函数拟合0.17770.01110.4772有理分式

15、拟合0.57320.03580.2544第66页/共79页7.5 范例范例水道测量数据水道测量数据（AMCM 86A题）。本问题由加州海军研究生院数学系的Richard Franke 提供，问题如下：在某海域测得一些点（x,y）处的水深 z（单位：英尺）由表 7.5.1 给出，水深数据是在低潮时测得的。船的吃水深度为 5 英尺，问在矩形区域 (75，200)(50，150)里的哪些地方船要避免进入。第67页/共79页表7.5.1 水道水深测量数据（单位：英尺）x129.0140.0108.588.0185.5195.0105.5y7.5141.528.0147.022.5137.585.5z4

16、868688x157.5107.577.081.0162.0162.0117.5y6.581.03.056.566.584.038.5z9988949第68页/共79页 解：(1)假设 由题目给出的信息是很少的，除了 14 个位置的水深之外一无所知。显然，题目要求我们找出水深不到 5 英尺的区域。为了讨论方便，下面三个假设是合理的：所给数据是精确的；讨论区域的海底曲面是光滑的，更确切地说，可以认为曲面的一阶、二阶导数是连续的。因为我们可以认为讨论区域为浅水海域，由于长期的海水水流作用，形成的是以砾石或沙为主要组成部分的海底，不存在珊瑚礁、水底峡谷、山脊等不可意料的突变地形。第69页/共79页

17、水深是一个按区域来划分的变量，在某个位置的水深与其周围区域的水深是相互依赖的，但这种依赖作用随距离的增大而减小。就我们讨论的问题来说，每一个给定数据点影响周围的每一个未知点，一个给定数据点离未知点越近，作用就越大。第70页/共79页 (2)问题分析 根据假设，海底曲面是连续光滑的，不存在珊瑚礁、水底峡谷、山脊等不可意料的突变地形，因而很自然的想法就是用某种光滑的拟合曲面去逼近已知的14 个数据点或以 14 个已知的数据点为基础，利用二维插值补充一些点的水深，以求得水深不超过 5 米的区域。在此，我们采用二维插值方法，应用 Matlab 程序，作出矩形区域 (75，200)(50，150)范围内

18、的海底地形图、水深不超过 5 米的危险区域的平面图以及水深不超过 5 米的危险区域的海底地貌图，并求出水深不超过 5 米的危险海域范围。第71页/共79页 (3)问题求解 采用改进的 Shepard 方法，利用 Matlab 软件作出作出作出矩形区域(75，200)(50，150)范围内的海底地形图、水深不超过 5 米的危险区域的海底地貌图、(75，200)(50，150)范围内的海底等高线图以及水深不超过 5 米的危险区域的平面图（见图 7.5.1 至图 7.5.4），并求出水深不超过 5 米的危险海域范围为：113.75,2000,119。(4)问题求解的 Matlat 程序，略。第72页/共79页图 7.5.1 (75，200)(50，150)范围内的海底地形图 第73页/共79页图 7.5.2 水深不超过5米的危险区域的海底地貌图 第74页/共79页图 7.5.3 (75，200)(50，150)范围内的海底等高线图 第75页/共79页图 7.5.4 水深不超过5米的危险区域的平面图 第76页/共79页实验作业实验作业 日照时间分布旧车价格预测第77页/共79页谢谢！第78页/共79页感谢您的观看！第79页/共79页