最优化方法最优化问题与凸分析基础.pptx

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1、 1.最优化问题最优化问题：求一个一元函数或多元函数的极值。在微积分中，我们曾经接触过一些比较简单的极值问题。下面通过具体例子来看看什么是最优化问题。第1页/共31页1.1 最优化问题的例子例1 对边长为a的正方形铁板，在四个角处剪去相等的正方形以制成方形无盖水槽，问如何剪法使水槽的容积最大？解：设剪去的正方形边长为x，由题意易知，此问题的数学模型为，第2页/共31页例2.（混合饲料配合）设每天需要混合饲料的批量为100磅，这份饲料必须含：至少0.8%而不超过1.2%的钙;至少22%的蛋白质;至多5%的粗纤维。假定主要配料包括石灰石、谷物、大豆粉。这些配料的主要营养成分如下表所示。试以最低成本

2、确定满足动物所需营养的最优混合饲料。第3页/共31页配料每磅配料中的营养含量钙蛋白质纤维每磅成本（元）石灰石谷物大豆粉0.380 0.00 0.000.001 0.09 0.020.002 0.50 0.08 0.0164 0.0463 0.1250解:根据前面介绍的建模要素得出此问题的数学模型如下:设 是生产100磅混合饲料所须的石灰石、谷物、大豆粉的量（磅）。第4页/共31页第5页/共31页1.2最优化问题的数学模型一般形式向量形式其中第6页/共31页 目标函数不等式约束等式约束 称满足所有约束条件的向量 为可行解，或可行点，全体可行点的集合称为可行集，记为 。若 是连续函数，则 是闭集。

3、第7页/共31页 在可行集中找一点 ，使目标函数 在该点取最小值，即满足：的过程即为最优化的求解过程。称为问题的最优点或最优解，称为最优值。定义1：整体（全局）最优解：若 ，对于一切 ，恒有 则称 是最优化问题的整体最优解。定义2：局部最优解：若 ，存在某邻域 ，使得对于一切 ，恒有 则称 是最优化问题的局部最优解。其中 严格最优解：当 ，有 则称 为问题的严格最优解。第8页/共31页f(X)f(X)局部最优解局部最优解整体最优解整体最优解第9页/共31页1.3 最优化问题的分类与时间的关系：静态问题，动态问题是否有约束条件：有约束问题，无约束问题函数类型：线性规划，非线性规划第10页/共31

4、页2、梯度与Hesse矩阵2.1 等高线二维问题的目标函数 表示三维空间中的曲面。在空间直角坐标系中，平面与曲面的交线在平面上的投影曲线为取不同的值得到不同的投影曲线。每一条投影曲线对应一个值，所以我们称此投影曲线为目标函数的等值线或等高线。第11页/共31页 当常数取不同的值当常数取不同的值时，重复上面的讨论，时，重复上面的讨论，在平面上得到一族曲线在平面上得到一族曲线等高线等高线.等高线的形状完全由等高线的形状完全由曲面的形状所决定；反曲面的形状所决定；反之，由等高线的形状也之，由等高线的形状也可以推测出曲面的形状可以推测出曲面的形状第12页/共31页例例 在坐标平面在坐标平面 上画出目标

5、函数上画出目标函数的等高线的等高线 解解:因为当目标函数取常数时，曲线表示是以原点为因为当目标函数取常数时，曲线表示是以原点为圆心，半径为的圆因此等高线是一族以原点为圆圆心，半径为的圆因此等高线是一族以原点为圆心的同心圆（如图所示）心的同心圆（如图所示）第13页/共31页2.2 梯度梯度：多元函数 关于 的一阶导数第14页/共31页2.3 Hesse矩阵Hesse 矩阵：多元函数 关于 的二阶偏导数矩阵第15页/共31页例：求目标函数的梯度和Hesse矩阵。解：因为 则 又因为：故Hesse阵为：第16页/共31页下面几个公式是今后常用到的：（1），则 （2），则 (单位阵）（3），Q对称，则

6、（4）若 ，其中f：则：第17页/共31页3、多元函数的Taylor展开 多元函数Taylor展开式在最优化理论中十分重要。许多方法及其收敛性的证明都是从它出发的。定理：设 具有二阶连续偏导数。则：其中 而01 Taylor展开式还可写成如下形式：第18页/共31页4、凸集、凸函数和凸规划凸集、凸函数和凸规划4.1 凸集定义：设集合定义：设集合 S Rn，若若 x(1),x(2)S,0,1，必有，必有 x(1)(1-)x(2)S，则，则称称 S 为凸集。为凸集。规定：单点集规定：单点集 x 为凸集，空集为凸集，空集为凸集。为凸集。注注:x(1)(1-)x(2)=x(2)(x(1)-x(2)是连

7、接是连接 x(1)与与x(2)的线段的线段。凸集非凸集非凸集第19页/共31页例例:证明集合证明集合 是凸集。其中，是凸集。其中，A为为 m n矩阵，矩阵，b为为m维向量。维向量。证明：任取证明：任取 ，则，则所以，所以，第20页/共31页例：给定线性规划 ，其中 ，若令 ，则 是凸集。第21页/共31页定义：设定义：设 x(1),x(2),x(m)R Rn n,j j 0 j=1,那么称那么称 j x(j)为为x(1),x(2),x(m)的凸组合。凸组合。性质：性质：1)凸集的交集是凸集；凸集的交集是凸集；（并集一般不是）（并集一般不是）2)凸集的内点集是凸集；凸集的内点集是凸集；3)凸集的

8、闭包是凸集。凸集的闭包是凸集。第22页/共31页4.2 凸函数定义定义:设集合设集合 S Rn 为凸集，函数为凸集，函数 f:SR，若若 x(1),x(2)S,(0,1)，均有，均有 f(x(1)(1-)x(2)f(x(1)+(1-)f(x(2)，则称则称 f(x)为凸集为凸集 S 上的凸函数。上的凸函数。若进一步有上面不等式以严格不等式成立，则若进一步有上面不等式以严格不等式成立，则称称 f(x)为凸集为凸集 S 上的严格凸函数。上的严格凸函数。当当-f(x)为凸函数（严格凸函数）时，则称为凸函数（严格凸函数）时，则称 f(x)为凹函数（严格凹函数）。为凹函数（严格凹函数）。严格凸函数凸函数

9、严格凹函数第23页/共31页定理：定理：f(x)为凸集为凸集 S 上的凸函数上的凸函数 S 上任上任意有限点的凸组合的函数值不大于各点函数意有限点的凸组合的函数值不大于各点函数值的凸组合。值的凸组合。定理：可微函数定理：可微函数 f(x)为非空凸集为非空凸集 S 上的凸函上的凸函数数 对任意对任意 ，有，有第24页/共31页定理：具有二阶连续偏导数的函数定理：具有二阶连续偏导数的函数 f(x)为非为非空凸集空凸集 S 上的凸函数上的凸函数 是半正定矩阵。是半正定矩阵。注：注：（1）当）当 是正定矩阵时，是正定矩阵时，f(x)是严格凸函数；是严格凸函数；（2）当）当 是半正定矩阵时，是半正定矩阵

10、时，-f(x)是凹函数是凹函数第25页/共31页例：判断下列函数的凹凸性。（1）（2）解：（1）为正定矩阵，为严格凸函数。（2）因为 ，则易知所以 为凹函数。第26页/共31页4.3 凸规划定义：对于规划若 与 都是凸函数，则称其为凸规划。例：线性规划 是凸规划。第27页/共31页例：数学规划 易知，与 都是凸函数，所以该规划是凸规划。第28页/共31页 对于一般的规划（P），其局部最优解不一定是全局最优解，其可行集也未必是凸集。但若（P）是凸规划，则有下面的结论。定理：设规划（P）是凸规划，则（1）（P）的可行集R为凸集；（2）（P）的最优解集合R*是凸集；（3）（P）的任何局部最优解都是全局最优解。第29页/共31页练习：1、求 的梯度和Hesse矩阵。2、判断函数 的凹凸性。3、判断下述非线性规划是否为凸规划？第30页/共31页感谢您的观看！第31页/共31页