正弦定理余弦定理和解斜三角形.pptx

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1、 某林场为了及时发现火情，在林场中设立了两个观测点A和B，某日两个观测点的林场人员分别观测到C处出现火情。在A处观测到火情发生在北偏西40方向，而在B处观测到火情在北偏西60方向，已知B在A的正东方向10千米处（如图）。现在要确定火场C距A、B多远。将此问题转化为数学问题，就是：“在ABC中，已知CAB=130CBA=30，AB=10千米，求AC与BC的长。”CABD一、引例一、引例数学问题解三角形问题三角形有六个元素，知道其中三个，一般就可以求出其他三个量。我们需要两个定理第1页/共43页如图所示，以ABC的顶点A为坐标原点，AB边所在直线为x轴，建立直角坐标系。设 a、b、c分别为A、B、

2、C所对的边长，CD为AB边上的高，则点B、C的坐标分别为（c，0）、（bcosA、bsinA），CD=bsinA。AyxCDOBabcSABC=ABCD=cbsinA,即 SABC=cbsinA 同理得 SABC=acsinB,SABC=basinC三角形的面积等于任意两边与它们夹角正弦值的积的一半。问题(1)：为什么C点坐标为（bcosA、bsinA）？问题(2)：若以C点为坐标原点，CA边所在直线为x轴，建立直角坐标系，类似地可以得到怎样的结论呢？二二、正正弦弦定定理理第2页/共43页 cbsinA=acsinB=basinC将上述等式同时除以 abc，得即在三角形中，各边与它所对角的正弦

3、的比相等。此结论叫做正弦定理。思考：思考：正弦定理在直角三角形中是否成立？ABCbca当C=90时，由正弦定理可得即第3页/共43页AyxCOBabc问题：如图，转变后，此时a2=?答：a2=b2+c2AyxCDOBabc问题：那么原图中a2与已知量之间到底有何关系呢？发现a2就是B、C两点间的距离的平方，可用两点间的距离公式建立a2与已知量之间的关系。得a2=(bcosA-c)2+b2sin2A=b2cos2A-2bccosA+c2+b2sin2A=b2-2bccosA+c2即 a2=b2+c2-2bccosA同理可得 b2=a2+c2-2accosB c2=a2+b2-2abcosC三角形

4、的一边的平方等于其它两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦值乘积的两倍。此结论叫做余弦定理。三、余弦定理三、余弦定理第4页/共43页余弦定理也可以写成下面的形式：思考：思考：1、余弦定理在直角三角形中是否成立？2、余弦定理与勾股定理之间有何关系？第5页/共43页正弦定理、余弦定理的作用：正弦定理、余弦定理的作用：正弦定理、余弦定理揭示了三角形的六个元素之正弦定理、余弦定理揭示了三角形的六个元素之间的关系，利用正弦定理、余弦定理，结合三角形间的关系，利用正弦定理、余弦定理，结合三角形内角和定理就可以解决解斜三角形的问题了。内角和定理就可以解决解斜三角形的问题了。正弦定理和余弦定理的特征正弦定理和

5、余弦定理的特征 ：共同点：每个等式有四个元素，知道三个元素可求另外共同点：每个等式有四个元素，知道三个元素可求另外一个元素。一个元素。不同点：正弦定理（四个元素为两边两不同点：正弦定理（四个元素为两边两对角对角）余弦定理（四个元素为三边一角）余弦定理（四个元素为三边一角）第6页/共43页下面让我们回到本节开头所提出的问题：解：由三角形内角和为180，可知 C=180-130-30=20由正弦定理，得CABcab因此，火场C在距离观测点A北偏西40方向的约15千米处，在距离观测点B北偏西60方向的约22千米处。在ABC中，已知CAB=130CBA=30，AB=10千米，求AC与BC的长。四、应用

6、四、应用第7页/共43页请选择最佳方案解下列三角形中的x(a)直角三角比的定义(b)正弦定理(c)余弦定理已知A=20o,b=3,c=5求a已知B=90o,b=6,C=35o求a已知B=80o,b=5,C=50o求a已知A=20o,b=6,B=105o求a已知C=20o,c=4,a=3求A已知a=4,b=5,c=6求A第8页/共43页小结正弦定理、余弦定理（利用三角形面积公式推导了正弦定理 利用两点间距离公式推导了余弦定理）正弦定理、余弦定理揭示了三角形的六个元素之间的关系，边和角的关系利用正弦定理、余弦定理，结合三角形内角和定理就可以解决解斜三角形的问题了。第9页/共43页回家作业第10页/

7、共43页5.6正弦定理、余弦定理和解斜三角形解斜三角形（1）第11页/共43页一、复习正、余弦定理一、复习正、余弦定理a2=b2+c2-2bccosAb2=a2+c2-2accosBc2=a2+b2-2abcosC正弦定理正弦定理余弦定理余弦定理第12页/共43页复习三角形全等的判定条件根据三个元素画出三角形第13页/共43页请选用合适的定理解决以下问题已知两角一边ASA已知一角两边，(a)可分为两边一夹角SAS(b)两边一邻角已知三边 SSS第14页/共43页二、二、正弦定理、余弦定理应用正弦定理、余弦定理应用 例1 在 中，已知 ，求b（保留两个有效数字）.解：且第15页/共43页例例2、

8、已知三角形的三边之比为、已知三角形的三边之比为3:5:7,求此三角形的最大内角。求此三角形的最大内角。第16页/共43页第2步可不可以用正弦定理求角？为何此处采用余弦第17页/共43页小结（ASA，SAS，SSS）已知两角一边ASA（内角和之和为180度，算出三角，然后利用正弦定理，算出其它两边）已知一角两边，(a)可分为两边一夹角SAS用余弦定理求出角所对的边，然后利用三边求角(b)两边一邻角已知三边 SSS利用余弦定理求出角的余弦，然后求角第18页/共43页练习：在 中已知第19页/共43页（）大边对大角 （）三角形中存在（3）无解；一解不一定有两解。判断解的个数常用性质：第20页/共43

9、页（2）解已知两边和一角的三角形，通常用正弦定理。）解已知两边和一角的三角形，通常用正弦定理。先求出角的正弦，再求出角，先求出角的正弦，再求出角，这时会出现一解，两解的问题，这时会出现一解，两解的问题，（注意利用三角形特有的性质：大角对大边，内角和为（注意利用三角形特有的性质：大角对大边，内角和为180）或者采用余弦定理；得到关于边的一元二次方程，或者采用余弦定理；得到关于边的一元二次方程，求出边（注意边大于求出边（注意边大于0），再利用三边求出其他角），再利用三边求出其他角（1）由于已知角不是已知两边的夹角，故所解的三角形）由于已知角不是已知两边的夹角，故所解的三角形不一定唯一。（就如同不能

10、根据其中两边及一边的对角相不一定唯一。（就如同不能根据其中两边及一边的对角相等来判断两个三角形是否全等）等来判断两个三角形是否全等）小结（两边一邻角）第21页/共43页方案方案1：正弦定理：正弦定理方案方案2：余弦定理：余弦定理（3）判断解的个数的方法：（已知A,b,a）第22页/共43页已知a、b和A解三角形的情况：1）为锐角方案方案3 数形结合数形结合第23页/共43页2）为直角或钝角第24页/共43页、不解三角形，判断解三角形问题有一解、两解还是无解。中，如果三角形有解，则的范围2、解：练习：两边一邻角，判断解的个数第25页/共43页回家作业第26页/共43页5.6正弦定理、余弦定理和解

11、斜三角形解斜三角形（2）第27页/共43页例6：在三角形ABC中，求c第28页/共43页例7：已知三角形三边是三个连续自然数，（1）若三角形为钝角三角形，求三边长；（2）若最大角是最小角的两倍，求三边长。解：（1）设钝角为，三边长为 则三边长为：第29页/共43页（2）设三边长为，最小角为，最大角为，则由余弦定理得：所以，三边长为第30页/共43页例8：设为三条边，且方程有两个相等的实数根，求边所对角的度数。解第31页/共43页1、余弦定理是勾股定理及其逆定理的推广。2、正弦定理：（1）已知两角一边 （2）已知两边一对角 余弦定理：（1）已知两边及其夹角 （2）已知三边 （3）两边一对角3、正

12、弦定理和余弦定理揭示了三角形中六个元素 （三边三角）之间的关系。三角形面积公式S=(1/2)absinC说明说明第32页/共43页（1）在 中，一定成立的等式是（）C（2）在 中，若 ，则 是()A等腰三角形 B等腰直角三角形 C直角三角形 D等边三有形D练习：第33页/共43页（3）在任一 中，求证：证明：由于正弦定理：令 左边 代入左边得：等式成立等式成立=右边右边第34页/共43页回家作业第35页/共43页扩充的正弦定理R为外接圆半径应用：在三角形中，R为ABC的外接圆半径，S是三角形面积证明：第36页/共43页1、证明三角形中的恒等式第37页/共43页2、判断三角形形状 第38页/共43页小结介绍扩充的正弦定理，注意边，角的正弦，和外接圆半径三角形面积之间的关系利用正弦、余弦定理证明三角形中的恒等式或判断三角形形状，通常采用是化边或是化角第39页/共43页作业在ABC中，满足求角B在ABC中，满足求角A在ABC中，满足的三角形是什么三角形？练习部分练习部分习题习题5.6A组组6，8B组组2，3第40页/共43页5.6正弦定理、余弦定理和解斜三角形应用第41页/共43页预习金贸大厦，离我们的校园不远，你有没有办法就在我们的校园内测出它的高度？请设计出你的方案并给出计算公式。（工具：1、一把能测100米的尺。2、一个测角仪）第42页/共43页谢谢您的观看！第43页/共43页