概率论51学习教程.pptx

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1、一、问题的引入一、问题的引入第一章曾经讲过,事件A发生的频率 f n(A),随着n的增大,呈现出一种稳定性.当n趋于无穷时,会趋于事件A的概率P(A).但这种趋近,并非高等数学中极限意义上的趋近,而是概率意义上的趋近.第1页/共36页二、基本定理（两个大数定律）.(.(弱大数定理)辛钦大数定律 若XXk k,k=1.2,.,k=1.2,.为独立同分布的随机变量序列,E,E(X(Xk k)=0,有第2页/共36页上式表明,对于任意 0,当n 时,事件发生的概率会趋于1。通俗地说，辛钦大数定律是说，对于独立同分布且具有均值的随机变量X1,X2,Xn,当n很大时，它们的算术平均接近于的概率很大。第3

2、页/共36页设 n n 为随机变量序列，a为一个常数，若任给 0,0,有则称YYn n 依概率收敛于a.可记为概念：依概率收敛依概率收敛具有以下的性质.而函数g(x,y)在点(a,b)连续.则 第4页/共36页a而意思是:意思是:当时,X,Xn n落在,当内的概率越来越大.第5页/共36页(弱大数定理)辛钦大数定律 若XXk k,k=1.2,.,k=1.2,.为独立同分布的随机变量序列,E,E(X(Xk k)=0,有证明:设第i i次试验事件A A发生第i i次试验事件A A不发生则第7页/共36页伯努利大数定理的结果表明,对于任意 0,只要重复独立试验的次数n充分大,事件是小概率事件.这就是

3、频率的稳定性.根据实际推断原理,在现实中这样的小概率事件几乎不发生.所以在实际应用中,当试验次数很大时,我们便可以用事件的频率来代替事件的概率.第8页/共36页一、问题的引入实例实例:考察射击命中点与靶心距离的偏差考察射击命中点与靶心距离的偏差.这种偏差是大量微小的偶然因素造成的微小误差的总和,这些因素包括:瞄准误差、测量误差、子弹制造过程方面(如外形、重量等)的误差以及射击时武器的振动、气象因素(如风速、风向、能见度、温度等)的作用,所有这些不同因素所引起的微小误差是相互独立的,并且它们中每一个对总和产生的影响不大.问题问题:某个随机变量是由大量相互独立且均匀小的随机变量相加而成的,研究其概

4、率分布情况.第9页/共36页二、基本定理定理四（定理四（独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理）第10页/共36页定理四表明定理四表明:第11页/共36页李雅普诺夫李雅普诺夫定理五定理五(李雅普诺夫定理李雅普诺夫定理)第12页/共36页则随机变量之和的标准化变量则随机变量之和的标准化变量第13页/共36页定理五表明定理五表明:(如实例中射击偏差服从正态分布如实例中射击偏差服从正态分布)下面介绍的定理六是定理四的特殊情况.第14页/共36页证明证明 根据第四章第二节例题可知德莫佛德莫佛拉普拉斯拉普拉斯定理六定理六(德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理)第15页/共36页根据定理四得定理

5、六表明定理六表明:正态分布是二项分布的极限分布,当n充分大时,可以利用该定理来计算二项分布的概率.第16页/共36页下面的图形表明:正态分布是二项分布的逼近.第17页/共36页三、典型例题解解由定理四,随机变量 Z 近似服从正态分布 N(0,1),例例1第18页/共36页其中第19页/共36页 一船舶在某海区航行,已知每遭受一次海浪的冲击,纵摇角大于 3 的概率为1/3,若船舶遭受了90 000次波浪冲击,问其中有29 50030 500次纵摇角大于 3 的概率是多少？解解 将船舶每遭受一次海浪的冲击看作一次试验,并假设各次试验是独立的,在90 000次波浪冲击中纵摇角大于 3 的次数为 X,

6、则 X 是一个随机变量,例例2第20页/共36页所求概率为分布律为直接计算很麻烦，利用德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理第21页/共36页第22页/共36页 某保险公司的老年人寿保险有1万人参加,每人每年交200元.若老人在该年内死亡,公司付给家属1万元.设老年人死亡率为0.017,试求保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率.解解设 X 为一年中投保老人的死亡数,由德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理知,例例3第23页/共36页保险公司亏本的概率第24页/共36页 对于一个学生而言,来参加家长会的家长人数是一个随机变量.设一个学生无家长、1名家长、2名家长来参加会议的概率分别为0.05，0.

7、8，0.15.若学校共有400名学生,设各学生参加会议的家长数相互独立,且服从同一分布.(1)求参加会议的家长数 X 超过450的概率;(2)求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率.解解例例4第25页/共36页根据独立同分布的中心极限定理，独立同分布的中心极限定理，第26页/共36页第27页/共36页由德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理知,第28页/共36页证证例例5第29页/共36页根据独立同分布的中心极限定理，独立同分布的中心极限定理，第30页/共36页第31页/共36页四、小结三个中心极限定理三个中心极限定理独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理李雅普诺夫定理李雅普诺夫定理德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理 中心极限定理表明中心极限定理表明,在相当一般的条件下在相当一般的条件下,当独立随机变量的个数增加时当独立随机变量的个数增加时,其和的分布趋于其和的分布趋于正态分布正态分布.第32页/共36页感谢您的观看！第36页/共36页