材料力学杆件的变形计算.pptx

《材料力学杆件的变形计算.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《材料力学杆件的变形计算.pptx（61页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、4 4、x点处的纵向线应变：6 6、x点处的横向线应变：5 5、杆的横向变形：第1页/共61页二、拉压杆的弹性定律二、拉压杆的弹性定律1 1、等内力拉压杆的弹性定律、等内力拉压杆的弹性定律2 2、变内力拉压杆的弹性定律、变内力拉压杆的弹性定律内力在内力在n段中分别为常量时段中分别为常量时“EA”称为杆的抗拉压刚度。称为杆的抗拉压刚度。PPN(x)dxx第2页/共61页3 3、单向应力状态下的弹性定律、单向应力状态下的弹性定律4 4、泊松比（或横向变形系数）、泊松比（或横向变形系数）泊松比泊松比泊松比泊松比 、弹性模量、弹性模量、弹性模量、弹性模量 E E、切变模量、切变模量、切变模量、切变模量

2、G G 都是材料的弹性常数，都是材料的弹性常数，都是材料的弹性常数，都是材料的弹性常数，可以通过实验测得。对于各向同性材料，可以证明三者之间存可以通过实验测得。对于各向同性材料，可以证明三者之间存可以通过实验测得。对于各向同性材料，可以证明三者之间存可以通过实验测得。对于各向同性材料，可以证明三者之间存在着下面的关系在着下面的关系在着下面的关系在着下面的关系第3页/共61页 公式的适用条件公式的适用条件公式的适用条件公式的适用条件 1 1）线弹性范围以内，材料符合胡克定律）线弹性范围以内，材料符合胡克定律）线弹性范围以内，材料符合胡克定律）线弹性范围以内，材料符合胡克定律 2 2）在计算杆件的

3、伸长时，）在计算杆件的伸长时，）在计算杆件的伸长时，）在计算杆件的伸长时，l l 长度内其长度内其长度内其长度内其F FN N、A A、l l 均应均应均应均应为常数，若为变截面杆或阶梯杆，则应进行分段计为常数，若为变截面杆或阶梯杆，则应进行分段计为常数，若为变截面杆或阶梯杆，则应进行分段计为常数，若为变截面杆或阶梯杆，则应进行分段计算或积分计算。算或积分计算。算或积分计算。算或积分计算。第4页/共61页是谁首先提出弹性定律 弹性定律是材料力学等固体力学一个非常重要的基础。一般认为它是由英国科学家胡克(1635一1703)首先提出来的，所以通常叫做胡克定律。其实，在胡克之前1500年，我国早就

4、有了关于力和变形成正比关系的记载。东汉经学家郑玄(127200)对考工记弓人中“量其力，有三均”作了 这样的注释：“假令弓力胜三石，引之中三尺，弛其弦，以绳缓擐之，每加物一石，则张一尺。”(图)第5页/共61页“”胡：请问，弛其弦，以绳缓援之是什么意思?郑：这是讲测量弓力时，先将弓的弦 松开，另外用绳子松松地套住弓的两端，然后加重物，测量。胡：我明白了。这样弓体就没有初始应力，处于自然状态。第6页/共61页 郑：后来，到了唐代初期，贾公彦对我的注释又作了注疏，他说：郑又云假令弓力胜三石，引之 中三尺者，此即三石力弓也。必知弓力三石者，当弛其弦以绳缓擐之者，谓不张之，别以绳系两箭，乃加物一石张一

5、尺、二石张二尺、三石张三尺。其中”“两萧 就是指弓的两端。一条“胡：郑老先生讲“每加物一石，则张一尺”。和我讲的完全是同一个意思。您比我早1500中就记录下这种正比关系，的确了不起，和推测一文中早就推崇过贵国的古代文化：目前我们还只是刚刚走到这个知识领域的边缘，然而一旦对它有了充分的认识，就将会在我们面 前展现出一个迄今为止只被人们神话般地加以描述的知识王国”。1686年关于中国文字和语言的研究真是令人佩服之至我在第7页/共61页例题例题例题例题4-14-1：如图所示阶梯形直杆，已知该杆如图所示阶梯形直杆，已知该杆如图所示阶梯形直杆，已知该杆如图所示阶梯形直杆，已知该杆ABAB段横截面面积段横

6、截面面积段横截面面积段横截面面积A A1 1=800mm=800mm2 2，BCBC段横截面面积段横截面面积段横截面面积段横截面面积A A2 2=240mm=240mm2 2，杆件材料的弹性模量，杆件材料的弹性模量，杆件材料的弹性模量，杆件材料的弹性模量E E=200GPa=200GPa，求，求，求，求该杆的总伸长量。该杆的总伸长量。该杆的总伸长量。该杆的总伸长量。第8页/共61页1 1）求出轴力，并画出轴力图）求出轴力，并画出轴力图）求出轴力，并画出轴力图）求出轴力，并画出轴力图2 2）求伸长量）求伸长量）求伸长量）求伸长量mmmm伸长伸长伸长伸长缩短缩短缩短缩短缩短缩短缩短缩短第9页/共6

7、1页例题4-2:已知：l=54 mm，di=15.3 mm，E200 GPa，拧紧后，l 0.04 mm。试求：(a)螺栓横截面上的正应力 (b)螺栓的横向变形d第10页/共61页解：1)求求横截面正应力2)螺栓横向变形 螺栓直径缩小螺栓直径缩小 0.0034 mml=54 mm，di=15.3 mm，E200 GPa，l 0.04 mm第11页/共61页例例例例4-3 4-3 节点位移问题节点位移问题节点位移问题节点位移问题 如图所示桁架，钢杆如图所示桁架，钢杆如图所示桁架，钢杆如图所示桁架，钢杆ACAC的横截面面积的横截面面积的横截面面积的横截面面积A A1 1=960mm=960mm2

8、2，弹性模量，弹性模量，弹性模量，弹性模量E E1 1=200GPa=200GPa。木杆。木杆。木杆。木杆BCBC的横截面面积的横截面面积的横截面面积的横截面面积A A2 2=25000mm=25000mm2 2，长，长，长，长1m1m，弹性模，弹性模，弹性模，弹性模量量量量E E2 2=10GPa=10GPa。求铰接点。求铰接点。求铰接点。求铰接点C C的位移。的位移。的位移。的位移。F F=80 kN=80 kN。第12页/共61页分析分析分析分析 通过节点通过节点通过节点通过节点C C的受力分析可以判断的受力分析可以判断的受力分析可以判断的受力分析可以判断ACAC杆受拉而杆受拉而杆受拉而

9、杆受拉而BCBC杆受压，杆受压，杆受压，杆受压，ACAC杆将伸长，而杆将伸长，而杆将伸长，而杆将伸长，而BCBC杆将缩短。杆将缩短。杆将缩短。杆将缩短。因此，因此，因此，因此，C C节点变形后将位于节点变形后将位于节点变形后将位于节点变形后将位于C C3 3点点点点 由于材料力学中的由于材料力学中的由于材料力学中的由于材料力学中的小变形假设小变形假设小变形假设小变形假设，可，可，可，可以近似用以近似用以近似用以近似用C C1 1和和和和C C2 2处的圆弧的切线来代替处的圆弧的切线来代替处的圆弧的切线来代替处的圆弧的切线来代替圆弧（圆弧（圆弧（圆弧（以切代弧法以切代弧法以切代弧法以切代弧法），

10、得到交点），得到交点），得到交点），得到交点C C0 0第13页/共61页 解解解解 1 1）分析节点）分析节点）分析节点）分析节点C,C,求求求求ACAC和和和和BCBC的轴力（均预的轴力（均预的轴力（均预的轴力（均预先设为拉力）先设为拉力）先设为拉力）先设为拉力）拉拉拉拉压压压压伸长伸长伸长伸长缩短缩短缩短缩短第14页/共61页 解解解解 2 2）求）求）求）求ACAC和和和和BCBC杆分别的变形量杆分别的变形量杆分别的变形量杆分别的变形量第15页/共61页 解解解解 3 3）分别作）分别作）分别作）分别作ACAC1 1和和和和BCBC2 2的垂线交于的垂线交于的垂线交于的垂线交于C C0

11、 0C C点总位移：点总位移：点总位移：点总位移：(此问题若用圆弧精确求解此问题若用圆弧精确求解此问题若用圆弧精确求解此问题若用圆弧精确求解)第16页/共61页第二节第二节 圆轴的扭转变形及相对扭转角圆轴的扭转变形及相对扭转角 在谈到圆轴扭转切应力公式的推导时，相距在谈到圆轴扭转切应力公式的推导时，相距在谈到圆轴扭转切应力公式的推导时，相距在谈到圆轴扭转切应力公式的推导时，相距为为为为 d dx x 的两个相邻截面之间有相对转角的两个相邻截面之间有相对转角的两个相邻截面之间有相对转角的两个相邻截面之间有相对转角d dj j j j取取取取单位单位单位单位长度扭转角长度扭转角长度扭转角长度扭转角

12、用来表示扭转变形的大小用来表示扭转变形的大小用来表示扭转变形的大小用来表示扭转变形的大小单位单位单位单位长度扭转角的单位长度扭转角的单位长度扭转角的单位长度扭转角的单位:rad/m:rad/m抗扭刚度抗扭刚度抗扭刚度抗扭刚度越大，单位长度扭转角越小越大，单位长度扭转角越小越大，单位长度扭转角越小越大，单位长度扭转角越小第17页/共61页 在一段轴上，对单位长度扭转角公式进行积分，在一段轴上，对单位长度扭转角公式进行积分，在一段轴上，对单位长度扭转角公式进行积分，在一段轴上，对单位长度扭转角公式进行积分，就可得到两端相对扭转角就可得到两端相对扭转角就可得到两端相对扭转角就可得到两端相对扭转角j

13、j j j。相对扭转角的单位相对扭转角的单位相对扭转角的单位相对扭转角的单位:rad:rad当当当当 为常数时：为常数时：为常数时：为常数时：请注意单位长度扭转角和相对扭转角的区别请注意单位长度扭转角和相对扭转角的区别请注意单位长度扭转角和相对扭转角的区别请注意单位长度扭转角和相对扭转角的区别同种材料阶梯轴扭转时同种材料阶梯轴扭转时同种材料阶梯轴扭转时同种材料阶梯轴扭转时:第18页/共61页例例例例4-4 4-4 一受扭圆轴如图所示，已知：一受扭圆轴如图所示，已知：一受扭圆轴如图所示，已知：一受扭圆轴如图所示，已知：T T1 1=1400Nm=1400Nm，T T2 2=600Nm=600Nm

14、，T T3 3=800Nm=800Nm，d d1 1=60mm=60mm，d d2 2=40mm=40mm，剪切弹性模量，剪切弹性模量，剪切弹性模量，剪切弹性模量G=80GPaG=80GPa，计，计，计，计算最大单位长度扭转角。算最大单位长度扭转角。算最大单位长度扭转角。算最大单位长度扭转角。第19页/共61页1 1）根据题意，首先画出扭矩图）根据题意，首先画出扭矩图）根据题意，首先画出扭矩图）根据题意，首先画出扭矩图2 2 2 2）AB AB AB AB 段单位长度扭转角：段单位长度扭转角：段单位长度扭转角：段单位长度扭转角：3 3 3 3）BC BC BC BC 段单位长度扭转角：段单位长

15、度扭转角：段单位长度扭转角：段单位长度扭转角：综合两段，最大单位扭转角应在综合两段，最大单位扭转角应在综合两段，最大单位扭转角应在综合两段，最大单位扭转角应在BC BC BC BC 段段段段 为为为为 0.03978 rad/m0.03978 rad/m0.03978 rad/m0.03978 rad/m第20页/共61页例例例例4-5 4-5 图示一等直圆杆，已知图示一等直圆杆，已知图示一等直圆杆，已知图示一等直圆杆，已知 d d=40mm=40mm a a=400mm=400mm G G=80GPa,=80GPa,j j j j DBDB=1=1O O,求求求求 :1):1)最大切应力最大

16、切应力最大切应力最大切应力 2 2）j j j j ACAC第21页/共61页1 1）画出扭矩图）画出扭矩图）画出扭矩图）画出扭矩图2 2）求最大切应力）求最大切应力）求最大切应力）求最大切应力首先要求出首先要求出首先要求出首先要求出M M 的数值的数值的数值的数值第22页/共61页第23页/共61页第24页/共61页第三节第三节 梁的变形梁的变形 梁必须有足够的刚度，即在受载后不至于发生过大的弯梁必须有足够的刚度，即在受载后不至于发生过大的弯梁必须有足够的刚度，即在受载后不至于发生过大的弯梁必须有足够的刚度，即在受载后不至于发生过大的弯曲变形，否则构件将无法正常工作。例如轧钢机的轧辊，若曲变

17、形，否则构件将无法正常工作。例如轧钢机的轧辊，若曲变形，否则构件将无法正常工作。例如轧钢机的轧辊，若曲变形，否则构件将无法正常工作。例如轧钢机的轧辊，若弯曲变形过大，轧出的钢板将薄厚不均匀，产品不合格；如弯曲变形过大，轧出的钢板将薄厚不均匀，产品不合格；如弯曲变形过大，轧出的钢板将薄厚不均匀，产品不合格；如弯曲变形过大，轧出的钢板将薄厚不均匀，产品不合格；如果是机床的主轴，则将严重影响机床的加工精度。果是机床的主轴，则将严重影响机床的加工精度。果是机床的主轴，则将严重影响机床的加工精度。果是机床的主轴，则将严重影响机床的加工精度。1 1 1 1、梁的变形、梁的变形、梁的变形、梁的变形第25页/

18、共61页第26页/共61页 梁在平面内弯曲时，梁轴线从原来沿梁在平面内弯曲时，梁轴线从原来沿梁在平面内弯曲时，梁轴线从原来沿梁在平面内弯曲时，梁轴线从原来沿 x x 轴方向的直线变轴方向的直线变轴方向的直线变轴方向的直线变成一条在成一条在成一条在成一条在 xy xy 平面内的曲线，该曲线称为平面内的曲线，该曲线称为平面内的曲线，该曲线称为平面内的曲线，该曲线称为挠曲线挠曲线挠曲线挠曲线。某截面的竖向位移，称为某截面的竖向位移，称为某截面的竖向位移，称为某截面的竖向位移，称为该截面的该截面的该截面的该截面的挠度挠度挠度挠度 某截面的法线方向与某截面的法线方向与某截面的法线方向与某截面的法线方向与

19、x x x x轴轴轴轴的夹角称为该截面的的夹角称为该截面的的夹角称为该截面的的夹角称为该截面的转角转角转角转角 挠度和转角的大小和截面所处的挠度和转角的大小和截面所处的挠度和转角的大小和截面所处的挠度和转角的大小和截面所处的 x x 方向的位方向的位方向的位方向的位置有关，可以表示为关于置有关，可以表示为关于置有关，可以表示为关于置有关，可以表示为关于 x x 的函数。的函数。的函数。的函数。挠度方程（挠曲线方程）挠度方程（挠曲线方程）挠度方程（挠曲线方程）挠度方程（挠曲线方程）转角方程转角方程转角方程转角方程1 1 1 1、梁的变形、梁的变形、梁的变形、梁的变形第三节第三节 梁的变形梁的变形

20、第27页/共61页挠度和转角的正负号规定挠度和转角的正负号规定挠度和转角的正负号规定挠度和转角的正负号规定在图示的坐标系中，在图示的坐标系中，在图示的坐标系中，在图示的坐标系中，挠度挠度挠度挠度 w w 向上为正，向下为负向上为正，向下为负向上为正，向下为负向上为正，向下为负。转转转转角规定截面法线与角规定截面法线与角规定截面法线与角规定截面法线与 x x 轴夹角，逆时针为正，顺时针为负轴夹角，逆时针为正，顺时针为负轴夹角，逆时针为正，顺时针为负轴夹角，逆时针为正，顺时针为负,即在图示坐标系中挠曲线具有正斜率时转角即在图示坐标系中挠曲线具有正斜率时转角即在图示坐标系中挠曲线具有正斜率时转角即在

21、图示坐标系中挠曲线具有正斜率时转角 q q q q 为正。为正。为正。为正。1 1 1 1、梁的变形、梁的变形、梁的变形、梁的变形第28页/共61页坐标系的建立：坐标原点一般设在梁的左端，并规定：以变形前的梁轴线为x轴，向右为正；以y轴代表曲线的纵坐标（挠度），向上为正。挠度的符号规定：向上为正，向下为负。转角的符号规定：逆时针转向的转角为正；顺时针转向的转角为负。第29页/共61页挠度和转角的关系挠度和转角的关系挠度和转角的关系挠度和转角的关系1 1 1 1、梁的变形、梁的变形、梁的变形、梁的变形在小变形假设条件下在小变形假设条件下在小变形假设条件下在小变形假设条件下挠曲线的斜率（一阶导数）

22、近似等于截面的转角挠曲线的斜率（一阶导数）近似等于截面的转角挠曲线的斜率（一阶导数）近似等于截面的转角挠曲线的斜率（一阶导数）近似等于截面的转角第30页/共61页2 2 2 2、挠曲线近似微分方程、挠曲线近似微分方程、挠曲线近似微分方程、挠曲线近似微分方程纯弯曲情况下纯弯曲情况下纯弯曲情况下纯弯曲情况下 梁的中性层曲率与梁的弯矩之间的关系是梁的中性层曲率与梁的弯矩之间的关系是梁的中性层曲率与梁的弯矩之间的关系是梁的中性层曲率与梁的弯矩之间的关系是:横力弯曲情况下，若梁的跨度远大于梁的高度时，剪力对梁的变形横力弯曲情况下，若梁的跨度远大于梁的高度时，剪力对梁的变形横力弯曲情况下，若梁的跨度远大于

23、梁的高度时，剪力对梁的变形横力弯曲情况下，若梁的跨度远大于梁的高度时，剪力对梁的变形可以忽略不计。但此时弯矩不再为常数。可以忽略不计。但此时弯矩不再为常数。可以忽略不计。但此时弯矩不再为常数。可以忽略不计。但此时弯矩不再为常数。高等数学中，关于曲率的公式高等数学中，关于曲率的公式高等数学中，关于曲率的公式高等数学中，关于曲率的公式在梁小变形情况下，在梁小变形情况下，在梁小变形情况下，在梁小变形情况下，第31页/共61页2 2 2 2、挠曲线近似微分方程、挠曲线近似微分方程、挠曲线近似微分方程、挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程最终可写为梁的挠曲线近似微分方程最终可写为梁的挠曲线近似微分方

24、程最终可写为梁的挠曲线近似微分方程最终可写为第32页/共61页用积分法求梁的弯曲变形用积分法求梁的弯曲变形梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程对上式进行一次积分对上式进行一次积分对上式进行一次积分对上式进行一次积分,可得到转角方程（等直梁可得到转角方程（等直梁可得到转角方程（等直梁可得到转角方程（等直梁 EI EI EI EI 为常数）为常数）为常数）为常数）再进行一次积分再进行一次积分再进行一次积分再进行一次积分,可得到挠度方程可得到挠度方程可得到挠度方程可得到挠度方程其中，其中，其中，其中，C C C C 和和和和 D D D D 是积分

25、常数，需要通过是积分常数，需要通过是积分常数，需要通过是积分常数，需要通过边界条件边界条件边界条件边界条件或者或者或者或者连续条件连续条件连续条件连续条件来确来确来确来确定其大小。定其大小。定其大小。定其大小。第33页/共61页边界条件边界条件：梁在其支承处的挠度或转角是已知的，这样的已知条件称为边界条件。连续条件连续条件：梁的挠曲线是一条连续、光滑、平坦的曲线。因此，在梁的同一截面上不可能有两个不同的挠度值或转角值，这样的已知条件称为连续条件。积分常数与边界条件、连续条件之间的关系：积分常数2n个=2n个 边界条件+连续条件第34页/共61页积分常数的物理意义和几何意义积分常数的物理意义和几

26、何意义物理意义：将x=0代入转角方程和挠曲线方程，得即坐标原点处梁的转角，它的EI倍就是积分常数C；坐标原点处梁的挠度的EI倍就是积分常数D。几何意义：C转角 D挠度第35页/共61页边界条件边界条件边界条件边界条件在约束处的转角或挠度可以确定在约束处的转角或挠度可以确定在约束处的转角或挠度可以确定在约束处的转角或挠度可以确定用积分法求梁的弯曲变形用积分法求梁的弯曲变形第36页/共61页连续条件连续条件连续条件连续条件在梁的弯矩方程分段处，截面转角相等，挠度相等。若梁分为在梁的弯矩方程分段处，截面转角相等，挠度相等。若梁分为在梁的弯矩方程分段处，截面转角相等，挠度相等。若梁分为在梁的弯矩方程分

27、段处，截面转角相等，挠度相等。若梁分为n n 段积分，则要出现段积分，则要出现段积分，则要出现段积分，则要出现2 2n n 个待定常数，总可找到个待定常数，总可找到个待定常数，总可找到个待定常数，总可找到2 2n n 个相应的边个相应的边个相应的边个相应的边界条件或连续条件将其确定。界条件或连续条件将其确定。界条件或连续条件将其确定。界条件或连续条件将其确定。用积分法求梁的弯曲变形用积分法求梁的弯曲变形第37页/共61页积分常数C C、D D 由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。位移边界条件光滑连续条件 弹簧变形弹簧变形第38页/共61页利用积分法求梁变形的一般步骤利用积分法求梁变形的一般步

28、骤：建立坐标系（一般：坐标原点设在梁的左端），求支座反力，分段列弯矩方程；分段列出梁的挠曲线近似微分方程，并对其积分两次；利用边界条件，连续条件确定积分常数；建立转角方程和挠曲线方程；计算指定截面的转角和挠度值，特别注意和及其所在截面。第39页/共61页例例例例4-6 4-6 如图等直悬臂梁自由端受集中力作用，建立该梁的转角方程和如图等直悬臂梁自由端受集中力作用，建立该梁的转角方程和如图等直悬臂梁自由端受集中力作用，建立该梁的转角方程和如图等直悬臂梁自由端受集中力作用，建立该梁的转角方程和挠曲线方程，并求自由端的转角挠曲线方程，并求自由端的转角挠曲线方程，并求自由端的转角挠曲线方程，并求自由端

29、的转角 和挠度和挠度和挠度和挠度 。用积分法求梁的弯曲变形用积分法求梁的弯曲变形第40页/共61页（1 1）按照图示坐标系建立弯矩方程）按照图示坐标系建立弯矩方程）按照图示坐标系建立弯矩方程）按照图示坐标系建立弯矩方程 请同学们自己做一下（时间请同学们自己做一下（时间请同学们自己做一下（时间请同学们自己做一下（时间:1:1分钟）分钟）分钟）分钟）（2 2 2 2）挠曲线近似微分方程）挠曲线近似微分方程）挠曲线近似微分方程）挠曲线近似微分方程（3 3 3 3）积分）积分）积分）积分用积分法求梁的弯曲变形用积分法求梁的弯曲变形第41页/共61页（4 4 4 4）确定积分常数）确定积分常数）确定积分

30、常数）确定积分常数 由边界条件由边界条件由边界条件由边界条件代入上面两式代入上面两式代入上面两式代入上面两式（5 5 5 5）列出转角方程和挠曲线方程，将）列出转角方程和挠曲线方程，将）列出转角方程和挠曲线方程，将）列出转角方程和挠曲线方程，将 C C C C、DDDD 的值代入方程的值代入方程的值代入方程的值代入方程用积分法求梁的弯曲变形用积分法求梁的弯曲变形第42页/共61页（6 6 6 6）求）求）求）求B B点的挠度和转角点的挠度和转角点的挠度和转角点的挠度和转角在自由端在自由端在自由端在自由端 ，x x=l l用积分法求梁的弯曲变形用积分法求梁的弯曲变形第43页/共61页例例例例4-

31、7 4-7 如图所示，简支梁受集中力如图所示，简支梁受集中力如图所示，简支梁受集中力如图所示，简支梁受集中力F F F F 作用，已知作用，已知作用，已知作用，已知EI EI EI EI 为常量。试求为常量。试求为常量。试求为常量。试求B B B B 端转角和跨中挠度。端转角和跨中挠度。端转角和跨中挠度。端转角和跨中挠度。用积分法求梁的弯曲变形用积分法求梁的弯曲变形第44页/共61页（1 1）求约束反力）求约束反力）求约束反力）求约束反力F FA AF FB B（2 2）列出弯矩方程）列出弯矩方程）列出弯矩方程）列出弯矩方程ACAC段段段段CBCB段段段段（3 3）建立挠曲线微分方程并积分；由

32、于弯矩方程在）建立挠曲线微分方程并积分；由于弯矩方程在）建立挠曲线微分方程并积分；由于弯矩方程在）建立挠曲线微分方程并积分；由于弯矩方程在C C点处分段，故点处分段，故点处分段，故点处分段，故应对应对应对应对ACAC和和和和CBCB分别计算分别计算分别计算分别计算用积分法求梁的弯曲变形用积分法求梁的弯曲变形第45页/共61页F FA AF FB BACAC段段段段CBCB段段段段用积分法求梁的弯曲变形用积分法求梁的弯曲变形第46页/共61页F FA AF FB B利用边界条件和连续条件确定四个积分常数利用边界条件和连续条件确定四个积分常数利用边界条件和连续条件确定四个积分常数利用边界条件和连续

33、条件确定四个积分常数ACAC段段段段CBCB段段段段边界条件边界条件边界条件边界条件:连续条件连续条件连续条件连续条件:由于挠曲线在由于挠曲线在由于挠曲线在由于挠曲线在C C点处是连续光滑的，点处是连续光滑的，点处是连续光滑的，点处是连续光滑的，因此其左右两侧转角和挠度应相等。因此其左右两侧转角和挠度应相等。因此其左右两侧转角和挠度应相等。因此其左右两侧转角和挠度应相等。即即即即代入上面的式子代入上面的式子代入上面的式子代入上面的式子用积分法求梁的弯曲变形用积分法求梁的弯曲变形第47页/共61页F FA AF FB B得到转角方程和挠度方程得到转角方程和挠度方程得到转角方程和挠度方程得到转角方

34、程和挠度方程ACAC段段段段CBCB段段段段（5 5）求）求）求）求B B指定截面处的挠度和转角指定截面处的挠度和转角指定截面处的挠度和转角指定截面处的挠度和转角若若若若用积分法求梁的弯曲变形用积分法求梁的弯曲变形第48页/共61页 通过积分法我们可以求出梁任意一截面上的挠度和转角，但是当通过积分法我们可以求出梁任意一截面上的挠度和转角，但是当通过积分法我们可以求出梁任意一截面上的挠度和转角，但是当通过积分法我们可以求出梁任意一截面上的挠度和转角，但是当载荷情况复杂时，弯矩方程分段就很多，导致出现大量积分常数，运载荷情况复杂时，弯矩方程分段就很多，导致出现大量积分常数，运载荷情况复杂时，弯矩方

35、程分段就很多，导致出现大量积分常数，运载荷情况复杂时，弯矩方程分段就很多，导致出现大量积分常数，运算较为繁琐。而在工程中，较多情况下并不需要得出整个梁的挠曲线算较为繁琐。而在工程中，较多情况下并不需要得出整个梁的挠曲线算较为繁琐。而在工程中，较多情况下并不需要得出整个梁的挠曲线算较为繁琐。而在工程中，较多情况下并不需要得出整个梁的挠曲线方程，只需要某指定截面的挠度和转角，或者梁截面的最大挠度和转方程，只需要某指定截面的挠度和转角，或者梁截面的最大挠度和转方程，只需要某指定截面的挠度和转角，或者梁截面的最大挠度和转方程，只需要某指定截面的挠度和转角，或者梁截面的最大挠度和转角，这时采用叠加法比积

36、分法方便。角，这时采用叠加法比积分法方便。角，这时采用叠加法比积分法方便。角，这时采用叠加法比积分法方便。在杆件符合在杆件符合在杆件符合在杆件符合线弹性、小变形线弹性、小变形线弹性、小变形线弹性、小变形的前提下，变形与载荷成线性关系，的前提下，变形与载荷成线性关系，的前提下，变形与载荷成线性关系，的前提下，变形与载荷成线性关系，即任一载荷使杆件产生的变形均与其他载荷无关。这样即任一载荷使杆件产生的变形均与其他载荷无关。这样即任一载荷使杆件产生的变形均与其他载荷无关。这样即任一载荷使杆件产生的变形均与其他载荷无关。这样只要分别求出只要分别求出只要分别求出只要分别求出杆件上每个载荷单独作用产生的变

37、形，将其相加，就可以得到这些载杆件上每个载荷单独作用产生的变形，将其相加，就可以得到这些载杆件上每个载荷单独作用产生的变形，将其相加，就可以得到这些载杆件上每个载荷单独作用产生的变形，将其相加，就可以得到这些载荷共同作用时杆件的变形。这就是求杆件变形的叠加法荷共同作用时杆件的变形。这就是求杆件变形的叠加法荷共同作用时杆件的变形。这就是求杆件变形的叠加法荷共同作用时杆件的变形。这就是求杆件变形的叠加法。用叠加法求等截面梁的变形时，每个载荷作用下的变形可查用叠加法求等截面梁的变形时，每个载荷作用下的变形可查用叠加法求等截面梁的变形时，每个载荷作用下的变形可查用叠加法求等截面梁的变形时，每个载荷作用

38、下的变形可查教材教材教材教材7879787978797879页表页表页表页表4-24-24-24-2计算得出。计算得出。计算得出。计算得出。叠加法求梁的变形叠加法求梁的变形第49页/共61页一、载荷叠加：一、载荷叠加：多个载荷同时作用于结构而引起的变形 等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。二、结构形式叠加（逐段刚化法）：二、结构形式叠加（逐段刚化法）：第50页/共61页结构形式叠加（逐段刚化法)原理说明。=+PL1L2ABCBCPL2f1f2等价等价xfxffPL1L2ABC刚化AC段PL1L2ABC刚化BC段PL1L2ABCMxf第51页/共61页查表时应注意坐标和载荷的方向、跨

39、长及字符一一对应。查表时应注意坐标和载荷的方向、跨长及字符一一对应。查表时应注意坐标和载荷的方向、跨长及字符一一对应。查表时应注意坐标和载荷的方向、跨长及字符一一对应。叠加法求梁的变形叠加法求梁的变形第52页/共61页例例例例4-8 4-8 求图中所示梁跨中点的挠度及求图中所示梁跨中点的挠度及求图中所示梁跨中点的挠度及求图中所示梁跨中点的挠度及 A A A A 点的转角。已知点的转角。已知点的转角。已知点的转角。已知 ，梁的抗弯刚度梁的抗弯刚度梁的抗弯刚度梁的抗弯刚度EI EI EI EI 为常数为常数为常数为常数 。叠加法求梁的变形叠加法求梁的变形第53页/共61页=+叠加法求梁的变形叠加法

40、求梁的变形第54页/共61页例例例例4-9 4-9 如图，梁的左半段受到均布载荷如图，梁的左半段受到均布载荷如图，梁的左半段受到均布载荷如图，梁的左半段受到均布载荷q q 的作用，求的作用，求的作用，求的作用，求 B B 端的挠度和转端的挠度和转端的挠度和转端的挠度和转角。梁的抗弯刚度角。梁的抗弯刚度角。梁的抗弯刚度角。梁的抗弯刚度EI EI 为常数为常数为常数为常数 。叠加法求梁的变形叠加法求梁的变形第55页/共61页考虑其变形考虑其变形考虑其变形考虑其变形:由于由于由于由于CBCB 段梁上没有载荷，各截面段梁上没有载荷，各截面段梁上没有载荷，各截面段梁上没有载荷，各截面的弯矩均为零，说明在

41、弯曲过程中此的弯矩均为零，说明在弯曲过程中此的弯矩均为零，说明在弯曲过程中此的弯矩均为零，说明在弯曲过程中此段并不产生变形，即段并不产生变形，即段并不产生变形，即段并不产生变形，即CBCB 仍为直线。仍为直线。仍为直线。仍为直线。根据几何关系可知：根据几何关系可知：根据几何关系可知：根据几何关系可知：由于在小变形的假设前提下由于在小变形的假设前提下由于在小变形的假设前提下由于在小变形的假设前提下查表查表查表查表:代入上面的计算式代入上面的计算式代入上面的计算式代入上面的计算式叠加法求梁的变形叠加法求梁的变形第56页/共61页 在使用叠加法求解梁的变形时，我们通常需要参考教材表在使用叠加法求解梁

42、的变形时，我们通常需要参考教材表在使用叠加法求解梁的变形时，我们通常需要参考教材表在使用叠加法求解梁的变形时，我们通常需要参考教材表4-24-24-24-2中列出的各种基本形式梁的挠曲线方程和特定点的位移。中列出的各种基本形式梁的挠曲线方程和特定点的位移。中列出的各种基本形式梁的挠曲线方程和特定点的位移。中列出的各种基本形式梁的挠曲线方程和特定点的位移。类似于外伸梁和其它一些较为复杂结构的梁的问题中，有类似于外伸梁和其它一些较为复杂结构的梁的问题中，有类似于外伸梁和其它一些较为复杂结构的梁的问题中，有类似于外伸梁和其它一些较为复杂结构的梁的问题中，有些梁是不能直接查表进行位移的叠加计算，需要经

43、过分析和处些梁是不能直接查表进行位移的叠加计算，需要经过分析和处些梁是不能直接查表进行位移的叠加计算，需要经过分析和处些梁是不能直接查表进行位移的叠加计算，需要经过分析和处理才能查表计算。理才能查表计算。理才能查表计算。理才能查表计算。一般的处理方式是把梁分段，并把每段按照受力与变形等一般的处理方式是把梁分段，并把每段按照受力与变形等一般的处理方式是把梁分段，并把每段按照受力与变形等一般的处理方式是把梁分段，并把每段按照受力与变形等效的原则变成表中形式的梁，然后查表按照叠加法求解梁的变效的原则变成表中形式的梁，然后查表按照叠加法求解梁的变效的原则变成表中形式的梁，然后查表按照叠加法求解梁的变效

44、的原则变成表中形式的梁，然后查表按照叠加法求解梁的变形。也可将复杂梁的各段逐段刚化求解位移，最后进行叠加来形。也可将复杂梁的各段逐段刚化求解位移，最后进行叠加来形。也可将复杂梁的各段逐段刚化求解位移，最后进行叠加来形。也可将复杂梁的各段逐段刚化求解位移，最后进行叠加来处理（处理（处理（处理（逐段刚化法逐段刚化法逐段刚化法逐段刚化法）。）。）。）。叠加法求梁的变形叠加法求梁的变形第57页/共61页例例例例4-104-10求图示外伸梁的求图示外伸梁的求图示外伸梁的求图示外伸梁的 C C截面的挠度转角截面的挠度转角截面的挠度转角截面的挠度转角 EI EI 为常数。为常数。为常数。为常数。叠加法求梁的

45、变形叠加法求梁的变形第58页/共61页怎样应用表怎样应用表怎样应用表怎样应用表4-24-2中已有的结果？中已有的结果？中已有的结果？中已有的结果？对梁进行分段刚化，利用受力对梁进行分段刚化，利用受力对梁进行分段刚化，利用受力对梁进行分段刚化，利用受力与变形等效的原则来处理与变形等效的原则来处理与变形等效的原则来处理与变形等效的原则来处理 首先刚化首先刚化首先刚化首先刚化ABAB段，这样段，这样段，这样段，这样BCBC段就段就段就段就可以作为一个悬臂梁来研究，可以作为一个悬臂梁来研究，可以作为一个悬臂梁来研究，可以作为一个悬臂梁来研究，再刚化再刚化再刚化再刚化BCBC段，由于段，由于段，由于段，

46、由于BCBC段被刚段被刚段被刚段被刚化，可将作用于化，可将作用于化，可将作用于化，可将作用于BCBC段的均布载荷段的均布载荷段的均布载荷段的均布载荷简化到简化到简化到简化到B B支座支座支座支座 ，得到一个力和一个，得到一个力和一个，得到一个力和一个，得到一个力和一个力偶力偶力偶力偶 力力力力F F直接作用于支座，对梁的直接作用于支座，对梁的直接作用于支座，对梁的直接作用于支座，对梁的变形没有影响，力偶变形没有影响，力偶变形没有影响，力偶变形没有影响，力偶MM引起简支梁引起简支梁引起简支梁引起简支梁ABAB的变形。的变形。的变形。的变形。叠加法求梁的变形叠加法求梁的变形另外，另外，另外，另外，段上的均布载荷也将引起段上的均布载荷也将引起段上的均布载荷也将引起段上的均布载荷也将引起ABAB段变形。段变形。段变形。段变形。第59页/共61页叠加法求梁的变形叠加法求梁的变形第60页/共61页感谢您的观看！第61页/共61页