正项级数及其审敛法 绝对收敛与条件收敛.pptx

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1、证明即部分和数列有界3.比较审敛法第1页/共45页定理证毕.比较审敛法的不便:须有参考级数.第2页/共45页解则第3页/共45页重要参考级数:几何级数,P-级数,调和级数.第4页/共45页证明 比较审敛法是一基本方法，但应用起来却有许多不便，因为它需要建立定理所要求的不等式，而这种不等式常常不易建立，为此介绍在应用上更为方便的极限形式的比较审敛法。第5页/共45页4.比较审敛法的极限形式:设=1nnu与=1nnv都是正项级数,如果则(1)当时,二级数有相同的敛散性;(2)当时，若收敛,则收敛;(3)当时,若=1nnv发散,则=1nnu发散;第6页/共45页证明由比较审敛法的推论,得证.设正项级

2、数=1nnu和=1nnv的一般项均为时的无穷小,且则二级数有相同的敛散性.第7页/共45页解故原级数发散.故原级数收敛.第8页/共45页故原级数收敛.第9页/共45页证明第10页/共45页原级数收敛原级数发散第11页/共45页比值审敛法的优点:不必找参考级数.两点注意:第12页/共45页第13页/共45页解第14页/共45页比值审敛法失效,改用比较审敛法第15页/共45页例5解由于不存在，比值审敛法失效，而对由比值审敛法得 收敛故由比较审敛法知收敛第16页/共45页例6解故 级数收敛级数发散比值审敛法失效第17页/共45页故级数发散由第18页/共45页证明取由知由收敛及比较审敛法得收敛收敛第1

3、9页/共45页由知故不趋于 0发散不能判定如都有但收敛发散第20页/共45页解故 级数收敛级数发散根值审敛法失效但此时级数为第21页/共45页第三节 绝对收敛与条件收敛一、交错级数及其审敛法1.定义:正、负项交错的级数称为交错级数.第22页/共45页证明第23页/共45页满足收敛的两个条件,定理证毕.第24页/共45页解原级数收敛.证明 un 单调减的方法:？第25页/共45页二、绝对收敛与条件收敛定义:正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.证明第26页/共45页上定理的作用：任意项级数正项级数第27页/共45页解故由定义知原级数绝对收敛.将正项级数的比值审敛法和根值审敛法应用于判定任意项级

4、数的敛散性可得到如下定理：第28页/共45页定理设有级数 则绝对收敛发散可能绝对收敛，可能条件收敛，也可能发散如第29页/共45页注意一般而言，由 发散，并不能推出发散如发散但 收敛若 发散是由比值审敛法或根值审敛法而审定则 必定发散这是因为比值法和根值法审定级数发散的原因是通项不趋向于0由第30页/共45页例9解第31页/共45页所以此交错级数收敛，故原级数是条件收敛第32页/共45页小结正 项 级 数任意项级数审敛法1.2.4.充要条件5.比较法6.比值法7.根值法4.绝对收敛5.交错级数(莱布尼茨定理)3.按基本性质;第33页/共45页解由比较审敛法知 收敛.反之不成立.例如：收敛,发散

5、.思考题第34页/共45页1.求极限解考察正项级数由比值法得收敛由级数收敛的必要条件得补充题第35页/共45页都收敛，且2.试证 收敛.证由 知因都收敛,故正项级数收敛,再由比较审敛法知正项级数收敛,而即可表为两个收敛级数之和,故收敛.第36页/共45页3.设 且若收敛,则也收敛.证由题设知而 收敛,由比较法得收敛.Cauchy积分审敛法:设 且单调减少,则与 同敛散.4.第37页/共45页证由 f(x)单调减少知故与 同敛散.5.设是单调增加且有界的正数数列试证明 收敛.第38页/共45页证记则且而正项级数的部分和又单调增加且有界,故由单调有界原理知 存在即收敛,进而收敛,由比较法得收敛.第39页/共45页设正数数列 单调减少，级数发散考察的敛散性证 记由 单调减少,且故由单调有界原理知 存在,且若由Leibniz审敛法,得交错级数收敛,与题设矛盾由根值法知 收敛.6.第40页/共45页练 习 题第41页/共45页第42页/共45页第43页/共45页练习题答案第44页/共45页感谢您的观看！第45页/共45页