正项级数的审敛法.pptx

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1、一、正项级数及其审敛法 正项级数收敛的充分必要条件它的部分和数列有界 v正项级数 各项都是正数或零的级数称为正项级数 这是因为正项级数的部分和数列sn是单调增加的 而单调有界数列是有极限 下页v定理1(正项级数收敛的充要条件)第1页/共28页v定理2(比较审敛法)v定理3 下页第2页/共28页仅就unvn(n1 2 )的情形证明 简要证明 因此级数un收敛 即部分和数列sn有界 v1v2 vns(n1,2,)snu1u2 un则级数un的部分和 设级数vn收敛 其和为s 反之 若级数un发散 则级数vn必发散 由已证结论 级数un也收敛 矛盾 这是因为如果级数vn收敛定理2(比较审敛法)第3页

2、/共28页 解 下页v定理2(比较审敛法)设un和vn都是正项级数 且unkvn(k0 nN)若级数vn收敛 则级数un收敛;若级数un发散 则级数vn发散 第4页/共28页将级数改写成2)若若当p1时，上式中的最后一个级数是收敛的几何级数，其部分和n有界，从而p-级数的部分和sn满足也即sn有界，由定理结论知，当p1时，p-级数收敛。第5页/共28页 设un和vn都是正项级数 且unkvn(k0 nN)若级数vn收敛 则级数un收敛;若级数un发散 则级数vn发散 vp级数的收敛性 证 下页v定理2(比较审敛法)第6页/共28页调和级数调和级数与与 p 级数级数是用于正项级数收敛性判断的是用

3、于正项级数收敛性判断的两个常用的比较级数两个常用的比较级数.若存在对一切第7页/共28页例：提示：调和级数与 p 级数是用于正项级数收敛性判断的两个常用的比较级数.若存在对一切第8页/共28页 简要证明 当nN时 有不等式 再根据比较审敛法 即得所要证的结论 (1)如果lvunnnlim(0l)且1nnv 收敛 则1nnu 收敛;(2)如果lvunnnlim(0l)且1nnv 发散 则1nnu 发散 v定理4(比较审敛法的极限形式)第9页/共28页下页v定理4(比较审敛法的极限形式)例3 3解:(1)如果lvunnnlim(0l)且1nnv 收敛 则1nnu 收敛;(3)如果lvunnnlim

4、(0l)且1nnv 发散 则1nnu 发散 第11页/共28页下页v定理5(极限审敛法)例4 4解:第12页/共28页设正项级数收敛,能否推出收敛?提示提示:由比较判敛法可知收敛.注意注意:反之不成立.例如,收敛,发散.思考：第13页/共28页设级数收敛,能否推出收敛?提示提示:思考：则级数收敛 且其和su1 其余项rn的绝对值|rn|un1 v定理(莱布尼茨（Leibnitz）定理)第14页/共28页这是一个交错级数 解 由莱布尼茨定理 级数是收敛的 且其和su11首页则级数收敛 且其和su1 其余项rn的绝对值|rn|un1 v定理7(莱布尼茨（Leibnitz）定理)因为此级数满足 例5

5、 第15页/共28页1.判别级数的敛散性:解解:(1)发散,故原级数发散.(2)发散,故原级数发散.第16页/共28页下页v定理8(比值审敛法 达朗贝尔审敛法)证明：第17页/共28页第18页/共28页第19页/共28页提示提示:思考：第20页/共28页提示提示:思考：第21页/共28页 例10 解：第22页/共28页下页v定理9(根值审敛法 柯西判别法)所以 根据根值审敛法可知所给级数收敛 因为 解 第23页/共28页所以 根据根值审敛法可知所给级数收敛 因为 解 下页v定理9(根值审敛法 柯西判别法)第24页/共28页时,级数可能收敛也可能发散.例如,p 级数 思考思考:但级数收敛;级数发散.第25页/共28页v定理9(根值审敛法 柯西判别法)例例解：解：第26页/共28页v定理第27页/共28页谢谢您的观看！第28页/共28页