浙江高考数学理一轮复习能力拔高不等式推理与证明直接证明与间接证明.pptx

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1、归纳归纳知识整合知识整合1直接证明直接证明(1)综合法综合法定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的等，经过一系列的，最后推导出所要证明的，最后推导出所要证明的结论结论，这种证明方法叫做综合法，这种证明方法叫做综合法推理论证推理论证成立成立第1页/共42页(2)分析法分析法定义：从要证明的定义：从要证明的出发，逐步寻求使它成立出发，逐步寻求使它成立的的，直至最后，把要证明的结论归结为判定一，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等已知条件、定理、定义、公理等)为止，为止，这

2、种证明方法叫做分析法这种证明方法叫做分析法结论结论充分条件充分条件第2页/共42页探究探究1.综合法与分析法有什么联系与差异？综合法与分析法有什么联系与差异？提示：综合法与分析法是直接证明的两种基本方法，提示：综合法与分析法是直接证明的两种基本方法，综合法的特点是从已知看可知，逐步推出未知在使用综综合法的特点是从已知看可知，逐步推出未知在使用综合法证明时，易出现的错误是因果关系不明确，逻辑表达合法证明时，易出现的错误是因果关系不明确，逻辑表达混乱分析法是从未知看需知，逐步靠拢已知当命题的混乱分析法是从未知看需知，逐步靠拢已知当命题的条件与结论之间的联系不够明显、直接，证明中需要用哪条件与结论之

3、间的联系不够明显、直接，证明中需要用哪些知识不太明确具体时，往往采用从结论出发，结合已知些知识不太明确具体时，往往采用从结论出发，结合已知条件，逐步反推，寻求使当前命题成立的充分条件，把证条件，逐步反推，寻求使当前命题成立的充分条件，把证明转化为判定这些条件是否具备的问题明转化为判定这些条件是否具备的问题第3页/共42页2间接证明间接证明反证法：假设原命题反证法：假设原命题，经过正确的推理，最，经过正确的推理，最后得出后得出，因此说明假设错误，从而证明了原命题成，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法立，这样的证明方法叫做反证法探究探究2.在什么情况下可考虑利用反证法

4、证明问题？在什么情况下可考虑利用反证法证明问题？提示：反证法是间接证明的一种方法，它适用于以下提示：反证法是间接证明的一种方法，它适用于以下两种情形：两种情形：(1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；由条件推出结论的线索不够清晰；(2)若从正面证明，需要若从正面证明，需要分成多种情形进行讨论，而从反面证明，只需研究一种或分成多种情形进行讨论，而从反面证明，只需研究一种或很少的几种情形很少的几种情形不成立不成立矛盾矛盾第4页/共42页自测自测牛刀小试牛刀小试1下列表述：下列表述：综合法是由因导果法；综合法是由因导果法；综合法

5、是顺推综合法是顺推法；法；分析法是执果索因法；分析法是执果索因法；分析法是逆推法；分析法是逆推法；反证法是间接证法其中正确的有反证法是间接证法其中正确的有()A2个个B3个个C4个个D5个个解析：由综合法、分析法和反证法的推理过程可知，解析：由综合法、分析法和反证法的推理过程可知，都正确都正确答案：答案：D第5页/共42页答案：答案：BA综合法综合法B分析法分析法C反证法反证法D归纳法归纳法第6页/共42页答案：答案：D第7页/共42页4在不等边三角形中，在不等边三角形中，a为最大边，要想得到为最大边，要想得到A为钝为钝角的结论，三边角的结论，三边a，b，c应满足应满足_答案：答案：a2b2c

6、2第8页/共42页答案：答案：3第9页/共42页综合法的应用综合法的应用第10页/共42页证明：证明：a、b、c0，a2b22ab，(a2b2)(ab)2ab(ab)，a3b3a2bab22ab(ab)2a2b2ab2，a3b3a2bab2.同理，同理，b3c3b2cbc2，a3c3a2cac2，将三式相加得，将三式相加得，第11页/共42页第12页/共42页利用综合法证明问题的步骤利用综合法证明问题的步骤第13页/共42页第14页/共42页分析法的应用分析法的应用第15页/共42页第16页/共42页分析法的适用条件分析法的适用条件当所证命题不知从何入手时，有时可以运用分析当所证命题不知从何入

7、手时，有时可以运用分析法得到解决，特别是对于条件简单而结论复杂的题目，法得到解决，特别是对于条件简单而结论复杂的题目，往往行之有效，对含有根式的证明问题要注意分析法的往往行之有效，对含有根式的证明问题要注意分析法的使用使用第17页/共42页第18页/共42页反证法的应用反证法的应用例例3设设an是公比为是公比为q的等比数列，的等比数列，Sn是它的前是它的前n项和项和(1)求证：数列求证：数列Sn不是等比数列；不是等比数列；(2)数列数列Sn是等差数列吗？为什么？是等差数列吗？为什么？自主解答自主解答(1)证明：若证明：若Sn是等比数列，则是等比数列，则SS1S3，即，即a(1q)2a1a1(1

8、qq2)，a10，(1q)21qq2，解得，解得q0，这与，这与q0相矛盾，相矛盾，故数列故数列Sn不是等比数列不是等比数列第19页/共42页(2)当当q1时，时，Sn是等差数列是等差数列当当q1时，时，Sn不是等差数列假设不是等差数列假设q1时，时，S1，S2，S3成等差数列，即成等差数列，即2S2S1S3，2a1(1q)a1a1(1qq2)由于由于a10，2(1q)2qq2，即，即qq2，q1，q0，这与，这与q0相矛盾相矛盾综上可知，当综上可知，当q1时，时，Sn是等差数列；当是等差数列；当q1时，时，Sn不是等差数列不是等差数列第20页/共42页1反证法的解题原则反证法的解题原则反证法

9、的原理是反证法的原理是“正难则反正难则反”，即如果正面证明有困，即如果正面证明有困难时，或者直接证明需要分多种情况而反面只有一种情难时，或者直接证明需要分多种情况而反面只有一种情况时，可以考虑用反证法况时，可以考虑用反证法第21页/共42页2反证法中常见词语的否定形式反证法中常见词语的否定形式原词否定形式至多有n个(即xn，nN*)至少有n1个(即xnxn1，nN*)至少有n个(即xn，nN*)至多有n1个(即x0，且，且abbcca0和和abc0.证明：必要性证明：必要性(直接证法直接证法)：a，b，c为正实数，为正实数，abc0，abbcca0，abc0，因此必要性成立因此必要性成立充分性

10、充分性(反证法反证法)：假设假设a，b，c是不全为正的实数，由于是不全为正的实数，由于abc0，则它们只能是两负一正，不妨设则它们只能是两负一正，不妨设a0，b0.又又abbcca0，a(bc)bc0，且，且bc0.第23页/共42页又又a0，bc0，a(bc)0，a0.这与这与a0，即即a(bc)0.又又a0.则则a(bc)0，与，与式矛盾，故假设不成立，原结论成立，式矛盾，故假设不成立，原结论成立，即即a，b，c均为正实数均为正实数第24页/共42页(1)综合法证题的一般规律综合法证题的一般规律用综合法证明命题时，必须首先找到正确的出发点，用综合法证明命题时，必须首先找到正确的出发点，也就

11、是能想到从哪里起步，我们一般的处理方法是广泛地也就是能想到从哪里起步，我们一般的处理方法是广泛地联想已知条件所具备的各种性质，逐层推进，从而由已知联想已知条件所具备的各种性质，逐层推进，从而由已知逐步推出结论逐步推出结论第25页/共42页(2)分析法证题的一般规律分析法证题的一般规律分析法的思路是逆向思维，用分析法证题必须从结论分析法的思路是逆向思维，用分析法证题必须从结论出发，倒着分析，寻找结论成立的充分条件应用分析法出发，倒着分析，寻找结论成立的充分条件应用分析法证明问题时要严格按分析法的语言表达，下一步是上一步证明问题时要严格按分析法的语言表达，下一步是上一步的充分条件的充分条件(3)反

12、证法证题的一般规律反证法证题的一般规律反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立反证法反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立反证法的主要依据是逻辑中的排中律，排中律的一般形式是：或的主要依据是逻辑中的排中律，排中律的一般形式是：或者是者是A，或者是非，或者是非A.即在同一讨论过程中，即在同一讨论过程中，A和非和非A有且仅有且仅有一个是正确的，不能有第三种情况出现有一个是正确的，不能有第三种情况出现第26页/共42页(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一面呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺

13、少任何一种可能，反证都是不完全的；种可能，反证都是不完全的；(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法；定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法；(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实相矛盾等，推导出的矛盾的与假设矛盾，有的与已知事实相矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的必须是明显的.第27页/共42页易误警示

14、易误警示不等式证明中的易误点不等式证明中的易误点(2)设设1abc，证明，证明logablogbclogcalogbalogcblogac.第28页/共42页第29页/共42页第30页/共42页(1)证明问题证明问题(1)有两处易误点：有两处易误点：不能利用分析法将其正确不能利用分析法将其正确转化，从而无法找到证明问题的切入口；转化，从而无法找到证明问题的切入口；不能灵活运用综合不能灵活运用综合法将作差后的代数式变形法将作差后的代数式变形(即分解因式即分解因式)，从而导致无法证明不，从而导致无法证明不等式成立等式成立(2)证明问题证明问题(2)时常因忽视条件时常因忽视条件“1100，求证：，求

15、证：a1，a2，a3，a4中至少中至少有一个数大于有一个数大于25.证明：假设证明：假设a1，a2，a3，a4均不大于均不大于25，即，即a125，a225，a325，a425，则则a1a2a3a425252525100，这与已知这与已知a1a2a3a4100矛盾，故假设错误矛盾，故假设错误所以所以a1，a2，a3，a4中至少有一个数大于中至少有一个数大于25.第39页/共42页4如图，已知两个正方形如图，已知两个正方形ABCD和和DCEF不不在同一平面内，在同一平面内，M，N分别为分别为AB，DF的的中点中点(1)若若CD2，平面，平面ABCD平面平面DCEF，求直线求直线MN的长；的长；(

16、2)用反证法证明：直线用反证法证明：直线ME与与BN是两条异面直线是两条异面直线第40页/共42页(2)证明：假设直线证明：假设直线ME与与BN共面，共面，则则AB平面平面MBEN，且平面，且平面MBEN与平面与平面DCEF交于交于EN，由已知，两正方形不共面，故由已知，两正方形不共面，故AB 平面平面DCEF.又又ABCD，所以，所以AB平面平面DCEF，而，而EN为平面为平面MBEN与与平面平面DCEF的交线，的交线，所以所以ABEN.又又ABCDEF，所以所以ENEF，这与，这与ENEFE矛盾故假设不成立矛盾故假设不成立所以所以ME与与BN不共面，它们是异面直线不共面，它们是异面直线第41页/共42页感谢您的观看！第42页/共42页