高考数学一轮复习第五章平面向量5-2平面向量基本定理及坐标表示学案理.doc

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1、- 1 - / 11【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第五章平面向量精选高考数学一轮复习第五章平面向量 5-25-2 平平面向量基本定理及坐标表示学案理面向量基本定理及坐标表示学案理考纲展示 1.了解平面向量基本定理及其意义. 2.掌握平面向量的正交分解及坐标表示. 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.考点 1 平面向量基本定理及其应用1.平面向量基本定理如果 e1，e2 是同一平面内的两个_向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，_一对实数 1，2，使a1e12e2.其中，不共线的向量 e1，e2 叫做表示这一平面内所有

2、向量的一组_答案：不共线 有且只有 基底2平面向量的正交分解把一个向量分解为两个_的向量，叫做把向量正交分解答案：互相垂直向量相等的常见两种形式：用基底表示的向量相等；用坐标表示的向量相等(1)已知向量 a，b 不共线，若 1aba1b，则1_，1_.答案：1 1解析：根据平面向量基本定理，用一组基底表示一个向量，基底的系数是唯一的，则有 11，11.(2)已知向量 a(1,2)，b(2,3)，c(3,4)，若- 2 - / 11cab，则 2 _.答案：0解析：由 cab，得(3,4)(1,2)(2,3)(2，23)， 解得 故 20.向量易忽略的两个问题：向量的夹角；单位向量(1)等边三角

3、形 ABC 中，若a，b, 则 a，b 的夹角为_答案：120解析：求两向量的夹角要求两向量的起点是同一点，因此 a，b的夹角为 120.(2)已知 A(1,3)，B(4，1)，则与向量共线的单位向量为_答案：或(3 5，4 5)解析：由已知得(3，4)，所以|5，因此与共线的单位向量为或.典题 1 (1)如果 e1，e2 是平面 内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( )Be12e2 与 e12e2Ae1 与 e1e2 De13e2 与 6e22e1Ce1e2 与 e1e2 答案 D解析 选项 A 中，设 e1e2e1，则无解；选项 B 中，设 e12

4、e2(e12e2)，- 3 - / 11则无解；选项 C 中，设 e1e2(e1e2)，则无解；选项 D 中，e13e2(6e22e1)，所以两向量是共线向量(2)2017山东济南调研如图，在ABC 中，P 是 BN 上的一点，若m，则实数 m 的值为_答案 3 11解析 设k，kR.因为kBNk()k(1 4ACAB)(1k)，且m，所以解得Error!点石成金 用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理考点 2 平面

5、向量的坐标运算平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab_，ab_，a_，|a|_.- 4 - / 11(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点的坐标即为向量的坐标设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则_，|_.答案：(1)(x1x2，y1y2) (x1x2，y1y2) (x1，y1) x2 1y2 1(2)(x2x1，y2y1) (1)教材习题改编已知 A(1，1)，B(1,3)，C(2，)，若A，B，C 三点共线，则 _.答案：5(2)教材习题改编设 P 是线段 P1P2 上的一点，若 P1(2,3)，P2(4,7

6、)且 P 是 P1P2 的一个四等分点，则 P 的坐标为_答案：或(7 2，6)典题 2 (1)在平行四边形 ABCD 中，AC 为一条对角线，若(2,4)，(1,3)，则( )B(3，5)A(2，4) D(2,4)C(3,5) 答案 B解析 由题意，得AB()2AB(1,3)2(2,4)(3，5)(2)2017广东六校联考已知 A(3,0)，B(0,2)，O 为坐标原点，点 C 在AOB 内，|OC|2，且AOC，设 (R)，则 的值为( )- 5 - / 11B. A1 D.C. 2 3答案 D解析 过 C 作 CEx 轴于点 E.由AOC知，|OE|CE|2，所以，即，所以(2,0)(3

7、,0)，故 .点石成金 平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标(2)解题过程中，常利用“向量相等，则其坐标相同”这一原则，通过列方程(组)来进行求解考点 3 平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab_.答案：x1y2x2y10(1)教材习题改编已知 a(3,4)，b(sin ，cos )，且ab，则 tan _.答案：3 4解析：由 ab，得 ba, sin 3，cos 4(0)，即 tan .(2)教材习题改编已知 e1，e2 是平面向量的一

8、组基底，且a1e12e2.若 ae2，则 1_；a 和 e1 共线的条件- 6 - / 11是_答案：0 20解析：若 ae2，则设 ae2(0)，于是e21e12e2，即(2)e21e1.又 e1，e2 不共线，所以 20 且 10.同理 a 和 e1 共线有 20.考情聚焦 平面向量共线的坐标表示是高考的常考内容，多以选择题或填空题的形式出现，难度较小，属容易题主要有以下几个命题角度：角度一利用向量共线求参数或点的坐标典题 3 (1)已知向量 a(2,3)，b(1,2)，若 ma4b 与a2b 共线，则 m_.答案 2解析 ma4b(2m4,3m8)，a2b(4，1)，由于ma4b 与 a

9、2b 共线，(2m4)4(3m8)，解得 m2.(2)已知梯形 ABCD，其中 ABCD，且 DC2AB，三个顶点 A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点 D 的坐标为_答案 (2,4)解析 在梯形 ABCD 中，DC2AB，ABCD，2.设点 D 的坐标为(x，y)，则(4x,2y)，(1，1)，(4x,2y)2(1，1)，即(4x,2y)(2，2)，解得Error!- 7 - / 11故点 D 的坐标为(2,4)点石成金 1.利用两向量共线求参数如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab 的充要条件是 x1y2x2y1”解题比较方

10、便2利用两向量共线的条件求向量坐标一般地，在求与一个已知向量 a 共线的向量时，可设所求向量为 a(R)，然后结合其他条件列出关于 的方程，求出 的值后代入 a 即可得到所求的向量角度二利用向量共线解决三点共线问题典题 4 已知向量(1，3)，(2，1)，(k1，k2)，若 A，B，C 三点不能构成三角形，则 k_.答案 1解析 若 A，B，C 不能构成三角形，则向量，共线(2，1)(1，3)(1,2)，(k1，k2)(1，3)(k，k1)，AC1(k1)2k0，解得 k1.点石成金 向量共线的充要条件用坐标可表示为x1y2x2y10.方法技巧 1.两向量平行的充要条件若 a(x1，y1)，b

11、(x2，y2)，其中 b0，则 ab 的充要条件是 ab，这与 x1y2x2y10 在本质上是没有差异的，只是形式上不同2三点共线的判断方法判断三点是否共线，先求由三点组成的任两个向量，然后再按两- 8 - / 11向量共线进行判定3若 a 与 b 不共线且 ab0，则 0.易错防范 1.若 a，b 为非零向量，当 ab 时，a，b 的夹角为0或 180，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错2若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条件不能表示成，因为 x2，y2 有可能等于 0，所以应表示为 x1y2x2y10.真题演练集训 12016新课标全国卷已知向量 a(1，m)，b(

12、3，2)，且(ab)b，则 m( )B6 A8 D8C6 答案：D解析：由向量的坐标运算，得 ab(4，m2)，由(ab) b，得(ab)b122(m2)0，解得 m8，故选 D.22015四川卷设向量 a(2,4)与向量 b(x,6)共线，则实数 x( )B3 A2 D6C4 答案：B解析： ab， 264x0，解得 x3.32014福建卷在下列向量组中，可以把向量 a(3,2)表示出来的是( )Ae1(0,0)，e2(1,2)Be1(1,2)，e2(5，2)Ce1(3,5)，e2(6,10)De1(2，3)，e2(2,3)- 9 - / 11答案：B解析：解法一：若 e1(0,0)，e2(

13、1,2)，则 e1e2，而 a 不能由 e1，e2 表示，排除 A；若 e1(1,2)，e2(5，2)，因为，所以 e1，e2 不共线，根据共面向量的基本定理，可以把向量a(3,2)表示出来，故选 B.解法二：因为 a(3,2)，若 e1(0,0)，e2(1,2)，不存在实数 ，使得 ae1e2，排除 A；若 e1(1,2)，e2(5，2)，设存在实数 ，使得 ae1e2，则(3,2)(5，22)，所以解得所以 a2e1e2，故选 B.42015新课标全国卷设向量 a，b 不平行，向量 ab与 a2b 平行，则实数 _.答案：1 2解析： ab 与 a2b 平行， abt(a2b)，即 abt

14、a2tb， 解得Error!52015北京卷在ABC 中，点 M，N 满足2，.若xy，则 x_，y_.答案： 1 6解析： 2， . ， ()， ()AC2 3.又xy， x，y.课外拓展阅读 - 10 - / 11向量问题坐标化向量具有代数和几何的双重特征，比如向量运算的平行四边形法则、三角形法则、平面向量基本定理等都可以认为是从几何的角度来研究向量的特征而引入坐标后，就可以通过代数运算来研究向量，凸显出了向量的代数特征，为用代数的方法研究向量问题奠定了基础在处理很多与向量有关的问题时，坐标化是一种常见的思路，利用坐标可以使许多问题的解决变得更加简捷典例 1 向量 a，b，c 在正方形网格

15、中的位置如图所示若cab(，R)，则_.解析 设 i，j 分别为水平方向和竖直方向上的正向单位向量，则 aij，b6i2j，ci3j，所以i3j(ij)(6i2j)，根据平面向量基本定理得，2，所以4.答案 4典例 2 给定两个长度为 1 的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点 C 在以 O 为圆心的圆弧上运动若xy，其中 x，yR，求 xy 的最大值思路分析 解 以 O 为坐标原点，所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则 A(1,0)，B，设AOC，则 C(cos ，sin )，由xy，得所以 xcos sin ，ysin ，- 11 - / 11所以 xycos sin 2sin，又 ，所以当 时，xy 取得最大值 2.方法探究典例 2 首先通过建立平面直角坐标系，引入向量的坐标运算，然后用三角函数的知识求出 xy 的最大值引入向量的坐标运算使得本题比较容易解决，体现了坐标法解决问题的优势