相似三角形判定及性质.pptx

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1、相似三角形的定义相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形相似三角形.相似三角形对应边的比值叫做相相似三角形对应边的比值叫做相似比似比(或相似的系数或相似的系数).复习回顾预备定理平行于三角形一边的直线和其他两边平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的或两边的延长线延长线)相交相交,所构成的三角形与原三角形相似所构成的三角形与原三角形相似.第1页/共23页判定定理1 对于任意两个三角形对于任意两个三角形,如果一个三角形的两个角如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三那么这两

2、个三角形相似角形相似.简述简述:两角对应相等两角对应相等,两三角形相似两三角形相似判定定理2 对于任意两个三角形对于任意两个三角形,如果一个三角形的两边和如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例另一个三角形的两边对应成比例,并且夹角相等并且夹角相等,那那么这两个三角形相似么这两个三角形相似.简述简述:两边对应成比例且夹角相等两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似两三角形相似第2页/共23页引理引理 如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边.CBADE已知:如图ABC中,点D、E分别在AB、AC上，且求证：DE/BC证明:作 D

3、E/BC,交AC于EAE=AE因此因此E与点与点E 重合即重合即DE 与与DE重合重合,所以所以 DE/BC采用了“同一法”的间接证明第3页/共23页在探究数学问题的过程中，应当做到“步步有据”。有时,为了寻找某个步骤的推理依据,往往会产生一个原命题的辅助问题.数学家把这种辅助问题称为引理.当直接证明比较困难时,用间接法.“同一法”是一种间接证明方法.“同一法”证明问题时:先作出一个满足命题结论的图形,然后证明图形符合已知条件,确定所做图形与提设条件所指的图形相同,从而证明命题成立.第4页/共23页 ABED 例3.如图，在 ABC内任取一点D,连接AD和BD,点E在 ABC外,证明:在 DB

4、E与 ABC中,由(1)(2)及判定定理2知 第5页/共23页判定定理3对于任意两个三角形,如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似.简述:三边对应成比例,两三角形相似第6页/共23页ABC求证:ABCABC证明:在ABC的边AB(或延长线)上截取AD=AB,过点D作DE/BC,交AC于点E.CBADEADEABCADEABCABCABC已知:如图,在ABC和ABC中 AD=AB第7页/共23页 如图,已知D、E、F分别是ABC三边、BC、CA、AB的中点.求证：DEFABCFDEBAC证明:线段EF、FD、DE都是ABC的中位线DEFABC第8页/共23页

5、直角三角形相似的判定定理定理 （1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似。（2）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。类比直角三角形全等的判定定理(斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等)能得直角三角形相似的另一个判定定理.两角对应相等两边对应成比例及夹角相等第9页/共23页定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。ABCAC.kCAACBAAB：=设证明 第10页/共23页2.相似三角形的性质（1）相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；（2）相似三角形周

6、长的比等于相似比；（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。ABDCA B C D 第11页/共23页2.相似三角形的性质（1）相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；ABDC CBADDABC:证明A B C D 第12页/共23页 CBADDABC:证明（2）相似三角形周长的比等于相似比；ABDCA B C D 第13页/共23页（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。ABDCA B C D 第14页/共23页 如图，已知AD、BE分别是ABC中BC边和AC边上的高，H是AD、BE的交点求证：(1)ADBC=BEAC (2)AHHD=BHHE分析:(1)只要证明

7、RtADCRtBEC (2)只要证明RtAHERtBHD第15页/共23页 既然相似三角形中的高，中线，内角平分线，周长，面积等要素都与相似比有关.思考：那么，与三角形有关但不在三角形内的其他元素是否与三角形的相似比有联系呢？你想到哪些元素？三角形的外接圆和内接圆第16页/共23页问题1 两个相似三角形的外接圆的直径比，周长比，面积比与相似比有什么关系？探究：AABDCOBDCOC=C而D=C D=CD=D,RtABDRtABD结论：两个相似三角形的外接圆的直径比，周长比等于相似比；面积比等于相似比的平方。第17页/共23页问题2 两个相似三角形的内切圆的直径比，周长比，面积比与相似比有什么关

8、系？结论：两个相似三角形的内切圆的直径比，周长比等于相似比；面积比等于相似比的平方。Rr第18页/共23页习题 1.35.如图,线段EF平行于四边形ABCD的一边AD,BE与CF交于一点G,AE与DF交于一点H.求证:GH/AB.ABCDEFGH预备定理 定义 引理第19页/共23页习题 1.36.已知:DE/AB,EF/BC.求证:DEFABC.7.ABC是钝角三角形,AD,BE,CF分别是三条高.求证:ADBC=BEACABCEDFOABCDEF三边对应成比例 ACDBCE.第20页/共23页作业：1、如果一个圆过 ABC的顶点B和C，并且分别交AB、AC于点D和点E。求证：2、已知E是圆内接四边形ABCD的对角线BD上的一点，并且 BAE=CAD，求证：3、已知：在 ABC和 ABC中，A=A，AB=a，AC=b，AB=a，当 AC为多少时，ABCABC？第21页/共23页小结相似三角形的概念预备定理判定定理3判定定理2判定定理1直角三角形判定定理第22页/共23页感谢您的观看！第23页/共23页