高考数学大一轮复习第七章立体几何第六节空间向量及其运算教师用书理.doc
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1、- 1 -第六节第六节 空间向量及其运算空间向量及其运算2017 考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标表示点的位置;会推导空间两点间的距离公式;2.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示;3.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示;4.掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直;5.理解直线的方向向量与平面的法向量;6.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系;7.能用向量方法证明有关直线和平面关系的一些定理。2016,全国卷,18,12 分(面面垂直、二
2、面角)2015,全国卷,18(),6分(求二面角)2015,全国卷,19(),6分(求线面角)2014,全国卷,18,12 分(平行、二面角问题)以解答题为主,主要考查空间直角坐标系的建立及空间向量坐标的运算能力及应用能力,有时也以探索论证题的形式出现。微知识 小题练自|主|排|查1空间向量及其有关概念(1)空间向量的有关概念空间向量:在空间中,具有大小和方向的量叫做空间向量。相等向量:方向相同且模相等的向量。- 2 -共线向量:表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量。共面向量:平行于同一个平面的向量。(2)空间向量中的有关定理共线向量定理:对空间任意两个向量a a,b b(b
3、b0),a ab b存在唯一一个R R,使a ab b。共面向量定理:若两个向量a a、b b不共线,则向量p p与向量a a,b b共面存在唯一的有序实数对(x,y),使p pxa ayb b。空间向量基本定理:如果三个向量a a、b b、c c不共面,那么对空间任一向量p p,存在一个唯一的有序实数组x,y,z使得p pxa ayb bzc c。2两个向量的数量积(1)非零向量a a,b b的数量积a ab b|a a|b b|cosa a,b b 。(2)空间向量数量积的运算律结合律:(a a)b b(a ab b);交换律:a ab bb ba a;分配律:a a(b bc c)a a
4、b ba ac c。3空间向量的坐标表示及其应用设a a(a1,a2,a3),b b(b1,b2,b3),向量表示坐标表示数量积a ab ba1b1a2b2a3b3共线a ab b(b b0)a1b1,a2b2,a3b3垂直a ab b0(a a0,b b0)a1b1a2b2a3b30模|a a|a2 1a2 2a2 3夹角a a,b b(a a0,b b0)cosa a,b ba1b1a2b2a3b3a2 1a2 2a2 3b2 1b2 2b2 34.向量法证明平行与垂直(1)两个重要向量直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量,一条直线的方向向量有无数个。平面的法
5、向量直线l平面,取直线l的方向向量,则这个向量叫做平面的法向量。显然一个平面的法向量有无数个,它们是共线向量。- 3 -(2)空间位置关系的向量表示位置关系向量表示l1l2n n1n n2n n1n n2直线l1,l2的方向向量分别为n n1,n n2l1l2n n1n n2n n1n n20ln nm mm mn n0直线l的方向向量为n n,平面的法向量为m mln nm mn nm mn nm mn nm m平面、的法向量分别为n n、m mn nm mn nm m0微点提醒 1用向量知识证明立体几何问题,仍然离不开立体几何中的定理。如要证明线面平行,只需要证明平面外的一条直线和平面内的
6、一条直线平行,即化归为证明线线平行,用向量方法证明直线ab,只需证明向量a ab b(R R)即可。若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行,仍需强调直线在平面外。2用向量证明立体几何问题,写准点的坐标是关键,要充分利用中点、向量共线、向量相等来确定点的坐标。小|题|快|练一 、走进教材 1(选修 21P97A 组 T2改编)如图,平行六面体ABCDA1B1C1D1中,AC与BD的交点为点M,设a a,b b,c c,则下列向量中与相等的向量是( )ABADAA1C1MAa ab bc c1 21 2B.a ab bc c1 21 2- 4 -Ca ab bc c1 21 2Da a
7、b bc c1 21 2【解析】 C1MC1CCM ()AA11 2ACAA11 2ABADa ab bc c。故选 C。1 2AB1 2ADAA11 21 2【答案】 C2(选修 21P111练习 T3改编)如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中点,N是A1B1的中点,则直线ON,AM的位置关系是_。【解析】 以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设DA2,则A(2,0,0),M(0,0,1),O(1,1,0),N(2,1,2),所以(2,0,1),AM(1,0,2),2020,所以AMON。ONA
8、MON【答案】 垂直二、双基查验1(2016沈阳模拟)O为空间任意一点,若,则A,B,C,P四点( )OP3 4OA1 8OB1 8OCA一定不共面 B一定共面C不一定共面 D无法判断【解析】 由 1 知,A,B,C,P四点共面。故选 B。3 41 81 8【答案】 B- 5 -2(2017赤峰模拟)已知a a(3,2,5),b b(1,x,1),且a ab b2,则x的值为( )A3 B4C5 D6【解析】 因为a a(3,2,5),b b(1,x,1),所以a ab b32x52,解得x5。故选 C。【答案】 C3(2016重庆模拟)若A,B,C是平面内的三点,(0,2,19 8)(1,1
9、,5 8)(2,1,5 8)设平面的一个法向量a a(x,y,z),则xyz( )A23(4) B111C 11 D3241 2【解析】 ,(3,2,0),AB(1,3,7 4)BC因为平面的一个法向量为a a(x,y,z),所以Error!取y3,则x2,z4。所以xyz23(4)。故选 A。【答案】 A4若直线l的方向向量为a a(1,0,2),平面的法向量为n n(2,0,4),则直线l与平面的位置关系为_。【解析】 a an n,l。1 2【答案】 l5已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,如果(2,1,4),AB(4,2,0),(1,2,1)。对于结论:APAB;APAD;是
10、平面ABCD的法ADAPAP向量;。其中正确的是_。APBD【解析】 0,0,ABAPADAPABAP,ADAP,则正确。又与不平行,ABAD是平面ABCD的法向量,则正确。AP- 6 -(2,3,4),(1,2,1),BDADABAP与不平行,故错误。BDAP【答案】 微考点 大课堂考点一 空间向量的线性运算【典例 1】 如图所示,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,设a a,b b,c c,M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点,试用a a,b b,c c表示以下各向AA1ABAD量:(1);(2);(3)。APA1NMPNC1【解析】 (1)P是C1D1的中点,a aAPAA1
11、A1D1D1PAD1 2D1C1a ac ca ac cb b。1 2AB1 2(2)N是BC的中点,a ab bA1NA1AABBN1 2BCa ab ba ab bc c。1 2AD1 2- 7 -(3)M是AA1的中点,MPMAAP1 2A1AAPa aa ab bc c。1 2(a ac c1 2b b)1 21 2又NC1NCCC11 2BCAA1c ca a,1 2ADAA11 2MPNC1(1 2a a1 2b bc c) (a a1 2c c)a ab bc c。3 21 23 2【答案】 (1)a ac cb b (2)a ab bc c1 21 2(3)a ab bc c3
12、 21 23 2反思归纳 确定要表示的向量的终点是否是三角形边的中点,若是,利用平行四边形法则即可。若不是,利用封闭图形,寻找到所要表示的向量所对应的线段为其一边的一个封闭图形,利用这一图形中欲求向量与已知向量所在线段的联系,进行相应的向量运算是处理此类问题的基本技巧。一般地,可以找到的封闭图形不是唯一的,但无论哪一种途径结果应是唯一的。【变式训练】 在三棱锥OABC中,M,N分别是OA,BC的中点,G是ABC的重心,用基向量, ,表示, 。OAOBOCMGOG【解析】 MGMAAG- 8 -1 2OA2 3AN ()1 2OA2 3ONOA ()1 2OA2 31 2OBOCOA1 6OA1
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