高考数学一轮复习第六章不等式推理与证明6-6数学归纳法课时提升作业理.doc

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1、- 1 - / 8【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第六章不等式推理与证明精选高考数学一轮复习第六章不等式推理与证明 6-66-6数学归纳法课时提升作业理数学归纳法课时提升作业理(25(25 分钟分钟 4545 分分) )一、选择题一、选择题( (每小题每小题 5 5 分分, ,共共 3030 分分) )1.(2016郑州模拟)用数学归纳法证明 1+2+3+n2=,则当 n=k+1 时左端应在n=k 的基础上加上 ( )A.k2+1B.(k+1)2C.D.(k2+1)+(k2+2)+(k+1)2【解析】选 D.当 n=k 时,左边=1+2+3+k2,当 n=k+1 时,左边=

2、1+2+k2+(k2+1)+(k+1)2,所以应加上(k2+1)+(k2+2)+(k+1)2.2.已知 n 为正偶数,用数学归纳法证明 1-+-+-=2 时,若已假设 n=k(k2 且 k为偶数)时命题为真,则还需要用归纳假设再证 ( )A.n=k+1 时等式成立B.n=k+2 时等式成立C.n=2k+2 时等式成立D.n=2(k+2)时等式成立【解析】选 B.因为 n 为偶数,故假设 n=k 成立后,再证 n=k+2 时等式成立.- 2 - / 83.(2016南昌模拟)已知 f(n)=12+22+32+(2n)2,则 f(k+1)与 f(k)的关系是 ( )A.f(k+1)=f(k)+(2

3、k+1)2+(2k+2)2B.f(k+1)=f(k)+(k+1)2C.f(k+1)=f(k)+(2k+2)2D.f(k+1)=f(k)+(2k+1)2【解析】选 A.f(k+1)=12+22+32+(2k)2+(2k+1)2+2(k+1)2=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2.4.(2016岳阳模拟)用数学归纳法证明不等式 1+(nN*)成立,其初始值至少应取 ( )A.7B.8C.9D.10【解析】选 B.1+=,整理得 2n128,解得 n7,所以初始值至少应取 8.【加固训练】1.用数学归纳法证明 2n2n+1,n 的第一个取值应是 ( )A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选

4、C.因为 n=1 时,21=2,21+1=3,2n2n+1 不成立;n=2 时,22=4,22+1=5,2n2n+1 不成立;n=3 时,23=8,23+1=7,2n2n+1 成立.所以 n 的第一个取值应是 3.2.用数学归纳法证明不等式+(n2)的过程中,由 n=k 到 n=k+1 时,不等式的左边 ( )A.增加了一项:B.增加了两项:,- 3 - / 8C.增加了两项:,又减少了一项:D.增加了一项:,又减少了一项:【解析】选 C.当 n=k 时,左边=+,n=k+1 时,左边=+.5.平面内有 n 条直线,最多可将平面分成 f(n)个区域,则 f(n)的表达式为 ( )A.n+1B.

5、2nC.D.n2+n+1【解析】选 C.1 条直线将平面分成 1+1 个区域;2 条直线最多可将平面分成1+(1+2)=4(个)区域;3 条直线最多可将平面分成 1+(1+2+3)=7(个)区域;n 条直线最多可将平面分成 1+(1+2+3+n)=1+=(个)区域.6.(2016南宁模拟)已知 f(n)=(2n+7)3n+9,存在正整数 m,使得对任意nN*,f(n)都能被 m 整除,则 m 的最大值为 ( )A.18B.36C.48D.54【解析】选 B.由于 f(1)=36,f(2)=108,f(3)=360 都能被 36 整除,猜想 f(n)能被 36 整除,即 m 的最大值为 36.当

6、 n=1 时,可知猜想成立.假设当 n=k(k1,kN*)时,猜想成立,即 f(k)=(2k+7)3k+9 能被 36 整除;当 n=k+1 时,f(k+1)=(2k+9)3k+1+9=(2k+7)3k+9+36(k+5)3k-2,因此f(k+1)也能被 36 整除,故所求 m 的最大值为 36.二、填空题二、填空题( (每小题每小题 5 5 分分, ,共共 1515 分分) )7.(2016淮安模拟)当 n 为正奇数时,求证 xn+yn 被 x+y 整除,当第二步假设n=2k-1 时命题为真,进而需验证 n= ,命题为真.- 4 - / 8【解析】当 n 为正奇数时,求证 xn+yn 被 x

7、+y 整除,用数学归纳法证明时,第二步假设 n=2k-1 时命题为真,进而需要验证 n=2k+1 时命题为真.答案:2k+18.(2016九江模拟)已知 f(n)=1+(nN*),经计算得 f(4)2,f(8),f(16)3,f(32),则其一般结论为 .【解析】因为 f(22),f(23),f(24),f(25),所以当 n2 时,有 f(2n).故填 f(2n)(n2,nN*).答案:f(2n)(n2,nN*)9.设平面内有 n 条直线(n3),其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若用 f(n)表示这 n 条直线交点的个数,则 f(4)= ;当 n4时,f(n)= (用

8、n 表示).【解析】f(3)=2,f(4)=f(3)+3=2+3,f(5)=f(4)+4=2+3+4,f(6)=f(5)+5=2+3+4+5,猜想 f(n)=2+3+4+(n-1)=(n4).答案:5 (n+1)(n-2)(15(15 分钟分钟 3030 分分) )1.(5 分)(2016天津模拟)设 f(x)是定义在正整数集上的函数,且 f(x)满足:“当 f(k)k2 成立时,总可推出 f(k+1)(k+1)2 成立”.那么,下列命题总成立的是( )A.若 f(1)0,f(x)=,令 a1=1,an+1=f(an),nN*.(1)写出 a2,a3,a4 的值,并猜想数列an的通项公式.(2

9、)用数学归纳法证明你的结论.【解析】(1)因为 a1=1,所以 a2=f(a1)=f(1)=;- 6 - / 8a3=f(a2)=;a4=f(a3)=.猜想 an=(nN*).(2)当 n=1 时,a1=1 猜想正确.假设 n=k(k1,kN*)时猜想正确,则 ak=.则 ak+1=f(ak)=.这说明,n=k+1 时猜想正确.由知,对于任何 nN*,都有 an=.【加固训练】1.(2016深圳模拟)已知点 Pn(an,bn)满足an+1=anbn+1,bn+1=(nN*)且点 P1 的坐标为(1,-1).(1)求过点 P1,P2 的直线 l 的方程.(2)试用数学归纳法证明:对于 nN*,点

10、 Pn 都在(1)中的直线 l 上.【解析】(1)由 P1 的坐标为(1,-1)知 a1=1,b1=-1.所以 b2=.a2=a1b2=.所以点 P2 的坐标为.所以直线 l 的方程为 2x+y=1.(2)当 n=1 时,2a1+b1=21+(-1)=1 成立.假设 n=k(kN*,k1)时,2ak+bk=1 成立,则 2ak+1+bk+1=2akbk+1+bk+1=(2ak+1)=1,- 7 - / 8所以当 n=k+1 时,命题也成立.由知,对 nN*,都有 2an+bn=1,即点 Pn 都在直线 l 上.2.在数列an,bn中,a1=2,b1=4,且 an,bn,an+1 成等差数列,bn,an+1,bn+1 成等比数列(nN*).(1)求 a2,a3,a4 及 b2,b3,b4,由此猜测an,bn的通项公式,并证明你的结论.(2)证明:+2(n+1)n.所以,- 8 - / 8故+=+(-+-+-)=+=.由可知原不等式成立.