高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布11-5古典概型学案理.doc

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1、- 1 - / 15【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第十一章计数原理概率精选高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布随机变量及其分布 11-511-5 古典概型学案理古典概型学案理考纲展示 1.理解古典概型及其概率计算公式2会计算一些随机事件所含的基本事件及事件发生的概率考点 1 古典概型的简单问题1.基本事件的特点(1)任何两个基本事件是_的(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成_的和答案：(1)互斥 (2)基本事件2古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型(1)试验中所有可能出现的基本事件_(2)每个基本事件出现的可能性_答案：(

2、1)只有有限个 (2)相等3如果一次试验中可能出现的结果有 n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是_；如果某个事件 A 包括的结果有 m 个，那么事件 A 的概率 P(A)_.答案： m n4古典概型的概率计算公式P(A)_.- 2 - / 15答案：A包含的基本事件的个数 基本事件的总数(1)教材习题改编从字母 a，b，c，d 中任意取出两个不同字母的试验中，基本事件共有_个答案：6解析：基本事件有a，b，a，c，a，d，b，c，b，d，c，d，共 6 个(2)教材习题改编抛掷质地均匀的一枚骰子一次，出现正面朝上的点数大于 2 且小于 5 的概率为_答案：1 3

3、解析：抛掷质地均匀的一枚骰子一次，出现点数 1,2,3,4,5,6，共 6 个基本事件，其中正面朝上的点数大于 2 且小于 5 的有 3,4，共2 个基本事件，所以 P.古典概型：关键在于基本事件的计数从 1,3,5,7 中任取 2 个不同的数，则取出的 2 个数之差的绝对值大于 3 的概率是_答案：1 2解析：由题意知， “从 1,3,5,7 中任取 2 个不同的数”所包含的基本事件为(1,3)，(1,5)，(1,7)，(3,5)，(3,7)，(5,7)，共 6 个，满足条件的事件包含的基本事件为(1,5)，(1,7)，(3,7)，共 3 个，所以所求的概率 P.典题 1 (1)袋中共有 1

4、5 个除了颜色外完全相同的球，其中有10 个白球、5 个红球从袋中任取 2 个球，所取的 2 个球中恰有 1 个白球、1 个红球的概率为( )A. B. C. D1- 3 - / 15答案 B解析 从 15 个球中任取 2 个球共有 C 种取法，其中有 1 个红球、1 个白球的情况有 CC50(种)，所以 P.(2)某中学调查了某班全部 45 名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)参加书法社团未参加书法社团参加演讲社团85未参加演讲社团230从该班随机选 1 名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；在既参加书法社团又参加演讲社团的 8 名同学中，有 5 名男同学 A1

5、，A2，A3，A4，A5,3 名女同学 B1，B2，B3.现从这 5 名男同学和3 名女同学中各随机选 1 人，求 A1 被选中且 B1 未被选中的概率解 由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有 30 人，故至少参加上述一个社团的共有 453015(人)，所以从该班随机选 1 名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为 P.从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人，其一切可能的结果组成的基本事件有：A1，B1，A1，B2，A1，B3，A2，B1，A2，B2，A2，B3，A3，B1，A3，B2，A3，B3，A4，B1，A4，B2，A4，B3，A5，B1，A5，B2，A5

6、，B3，共 15 个根据题意，这些基本事件的出现是等可能的事件“A1 被选中且 B1 未被选中”所包含的基本事件有：A1，B2，A1，B3，共 2 个- 4 - / 15因此 A1 被选中且 B1 未被选中的概率为 P.点石成金 古典概型中基本事件的两种探求方法(1)列举法适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的情况(2)树状图法适合较为复杂的问题中的基本事件的探求，注意在确定基本事件时(x，y)可以看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同；有时也可以看成是无序的，如(1,2)和(2,1)相同考点 2 较复杂古典概型的概率古典概型：基本事件的个数；古典概型概率公式(1)2015云南昆明模拟

7、抛掷两颗相同的正方体骰子(骰子质地均匀，且各个面上依次标有点数 1,2,3,4,5,6)一次，则两颗骰子向上点数之积等于 12 的概率为_答案：1 9解析：抛掷两颗相同的正方体骰子，共有 36 种等可能的结果：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(6,6)点数之积等于 12 的结果有(2,6)，(3,4)，(4,3)，(6,2)，共 4 种，故所求事件的概率为.(2)小明的自行车用的是密码锁，密码锁的四位数码由 4 个数字2,4,6,8 按一定顺序构成，小明不小心忘记了密码中 4 个数字的顺序，随机地输入由 2,4,6,8 组成的一个四位数，不能打开锁的概率是_答案：23 24解析：由 2,4

8、,6,8 可以组成 24 个四位数(每个数位上的数都不相同)，其中只有一个能打开锁，能打开锁的概率为，所以不能打开锁的概率为 1.- 5 - / 15典题 2 某市 A，B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐了 3 名男生、2 名女生，B 中学推荐了 3 名男生、4 名女生，两校所推荐的学生一起参加集训由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取 3 人、女生中随机抽取 3 人组成代表队(1)求 A 中学至少有 1 名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的 6 名队员中随机抽取 4 人参赛，求参赛女生人数不少于 2 人的概率解 (1)由题意，参加集训的男生、女生各有

9、6 名参赛学生全从 B 中学抽取(等价于 A 中学没有学生入选代表队)的概率为，因此，A 中学至少有 1 名学生入选代表队的概率为 1.(2)设“参赛的 4 人中女生不少于 2 人”为事件 A，记“参赛女生有 2 人”为事件 B， “参赛女生有 3 人”为事件 C.则 P(B)，P(C).由互斥事件的概率加法，得P(A)P(B)P(C)，故所求事件的概率为.点石成金 1.求较复杂事件的概率问题，解题关键是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型，必要时将所求事件转化成彼此互斥事件的和，或者先求其对立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解2注意区别排列与组合，以及

10、计数原理的正确使用.为振兴旅游业，四川省面向国内发行总量为 2 000 万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡(简称金卡)，向省内人士发行的是熊猫银卡(简称银卡)某旅游公司组织了一个有 36 名游客的旅游- 6 - / 15团到四川名胜景区旅游，其中 是省外游客，其余是省内游客在省外游客中有 持金卡，在省内游客中有 持银卡(1)在该团中随机采访 2 名游客，求恰有 1 人持银卡的概率；(2)在该团中随机采访 2 名游客，求其中持金卡与持银卡人数相等的概率解：(1)由题意，得省外游客有 27 人，其中 9 人持金卡；省内游客有 9 人，其中 6 人持银卡设事件 A 为“采访该团 2 人，恰

11、有 1 人持银卡” ，则 P(A)，所以采访该团 2 人，恰有 1 人持银卡的概率是.(2)设事件 B 为“采访该团 2 人，持金卡与持银卡人数相等” ，可以分为事件 B1 为“采访该团 2 人，持金卡 0 人，持银卡 0 人” ，或事件 B2 为“采访该团 2 人，持金卡 1 人，持银卡 1 人”两种情况则 P(B)P(B1)P(B2)，所以采访该团 2 人，持金卡与持银卡人数相等的概率是.考点 3 古典概型的交汇命题考情聚焦 古典概型在高考中常与平面向量、集合、函数、解析几何、统计等知识交汇命题，命题的角度新颖，考查知识全面，能力要求较高主要有以下几个命题角度：角度一古典概型与平面向量相结

12、合典题 3 已知向量 a(x，1)，b(3，y)，其中 x 随机选自集合1,1,3，y 随机选自集合1,3,9(1)求 ab 的概率；- 7 - / 15(2)求 ab 的概率解 由题意，得(x，y)所有的基本事件为(1,1)，(1,3)，(1,9)，(1,1)，(1,3)，(1,9)，(3,1)，(3,3)，(3,9)，共 9 个(1)设“ab”为事件 A，则 xy3.事件 A 包含的基本事件有(1,3)，共 1 个故 ab 的概率为 P(A).(2)设“ab”为事件 B，则 y3x.事件 B 包含的基本事件有(1,3)，(3,9)，共 2 个故 ab 的概率为 P(B).角度二古典概型与直

13、线、圆相结合典题 4 2017河南洛阳统考将一颗骰子先后抛掷两次分别得到点数 a，b，则直线 axby0 与圆(x2)2y22 有公共点的概率为_答案 7 12解析 依题意，将一颗骰子先后抛掷两次得到的点数所形成的数组(a，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(6,6)，共 36 种，其中满足直线 axby0 与圆(x2)2y22 有公共点，即满足 ，即 a2b2 的数组(a，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(6,6)，共 65432121(种)，因此所求的概率为.角度三古典概型与函数相结合典题 5 已知关于 x 的一元二次函数 f(x)ax24bx1.- 8 -

14、/ 15(1)设集合 P1,2,3和 Q1,1,2,3,4，分别从集合 P 和 Q中随机取一个数作为 a 和 b，求函数 yf(x)在区间1，)上是增函数的概率；(2)设点(a，b)是区域内的随机点，求函数 yf(x)在区间1，)上是增函数的概率解 (1)函数 f(x)ax24bx1 的图象的对称轴为 x，要使 f(x)ax24bx1 在区间1，)上为增函数，当且仅当 a0 且1，即 2ba.若 a1，则 b1；若 a2，则 b1,1；若 a3，则 b1,1.事件包含基本事件的个数是 1225，所求事件的概率为.(2)由(1)知，当且仅当 2ba 且 a0 时，函数 f(x)ax24bx1 在

15、区间1，)上为增函数，依条件可知，试验的全部结果所构成的区域为.由得交点坐标为，所求事件的概率为 P.角度四古典概型与统计相结合典题 6 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问 50 名职工根据这 50 名职工对该部门的评分，绘制成频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为40,50)，50,60)，80,90)，90,100(1)求频率分布直方图中 a 的值；- 9 - / 15(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于 80 的概率；(3)从评分在40,60)的受访职工中，随机抽取 2 人，求此 2 人的评分都在40,50)的概率解 (1)因为(0.004a0.018

16、0.02220.028)101，所以 a0.006.(2)由所给频率分布直方图知，50 名受访职工评分不低于 80 的频率为(0.0220.018)100.4，所以该企业职工对该部门评分不低于 80 的概率的估计值为 0.4.(3)受访职工中评分在50,60)的有 500.006103(人)，记为A1，A2，A3；受访职工中评分在40,50)的有 500.004102(人)，记为B1，B2.从这 5 名受访职工中随机抽取 2 人，所有可能的结果共有 10 种，它们是A1，A2，A1，A3，A1，B1，A1，B2，A2，A3，A2，B1，A2，B2，A3，B1，A3，B2，B1，B2又因为所抽取

17、 2 人的评分都在40,50)的结果有 1 种，即B1，B2，故所求的概率为.点石成金 解决与古典概型交汇命题的关注点解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算. 方法技巧 1.确定基本事件的方法(1)当基本事件总数较少时，可用列举法计算；(2)当基本事件总数较多时，可用列表法、树状图法2较复杂事件的概率可灵活运用互斥事件、对立事件、相互独- 10 - / 15立事件的概率公式简化运算3概率的一般加法公式：P(AB)P(A)P(B)P(AB)公式使用中要注意：(1)公式的作用是求 AB 的概率，当A

18、B时，A，B 互斥，此时 P(AB)0，所以 P(AB)P(A)P(B)；(2)要计算 P(AB)，需要求 P(A)、P(B)，更重要的是把握事件 AB，并求其概率；(3)该公式可以看作一个方程，知三可求一易错防范 古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，它们是不是等可能的真题演练集训 12016江苏卷将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有 1,2,3,4,5,6 个点的正方体玩具)先后抛掷 2 次，则出现向上的点数之和小于 10 的概率是_答案：5 6解析：解法一：将一颗质地均匀的骰子先后抛掷 2 次，向上的点数有 36 种结果，其

19、中点数之和小于 10 的有 30 种，故所求概率为.解法二：将一颗质地均匀的骰子先后抛掷 2 次，向上的点数有 36种结果，其中点数之和不小于 10 的有(6,6)，(6,5)，(6,4)，(5,6)，(5,5)，(4,6)，共 6 种，故所求概率为 1.22015新课标全国卷某公司为了解用户对其产品的满意度，从 A，B 两地区分别随机调查了 40 个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到 A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和 B 地区用户满意度评分的频数分布表A 地区用户满意度评分的频率分布直方图- 11 - / 15B 地区用户满意度评分的频数分布表满意度评分分组50,60)60,70

20、)70,80)80,90)90，100频数2814106(1)在图中作出 B 地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)B 地区用户满意度评分的频率分布直方图(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：满意度评分低于 70 分70 分到 89 分不低于 90 分满意度等级不满意满意非常满意估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由解：(1)如图所示通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B 地区用户满意度评分的平均值高于 A 地区用户满意度评分的平均值；B 地区用户满意度评分比较集中

21、，而 A 地区用户满意度评分比较分散(2)A 地区用户的满意度等级为不满意的概率大记 CA 表示事件：“A 地区用户的满意度等级为不满意” ；CB 表示事件：“B 地区用户的满意度等级为不满意” 由直方图，得 P(CA)的估计值为(0.010.020.03)100.6，P(CB)的估计值为(0.0050.02)100.25.所以 A 地区用户的满意度等级为不满意的概率大32016天津卷某小组共 10 人，利用假期参加义工活动已知参加义工活动次数为 1,2,3 的人数分别为 3,3,4.现从这 10 人中随- 12 - / 15机选出 2 人作为该组代表参加座谈会(1)设 A 为事件“选出的 2

22、 人参加义工活动次数之和为 4” ，求事件 A 发生的概率；(2)设 X 为选出的 2 人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量 X 的分布列和数学期望解：(1)由已知，有 P(A).所以事件 A 发生的概率为.(2)随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2.P(X0)，P(X1)，P(X2).所以，随机变量 X 的分布列为X012P4 157 154 15随机变量 X 的数学期望 E(X)0121.课外拓展阅读 古典概型与平面向量、几何、统计等知识的综合古典概型的考查可以和平面向量、几何、统计等知识相互交汇，在解题中要重视古典概型的计算，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件

23、和随机事件的个数，然后正确使用古典概型的概率计算公式进行计算典例 1 甲、乙分别从底为等腰直角三角形的直三棱柱的 9 条棱中任选一条，则这 2 条棱互相垂直的概率为( )A. B. C. D.59 81思路分析 - 13 - / 15解析 由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是甲从这 9 条棱中任选一条，乙从这 9 条棱中任选一条，共有 99 81(种)结果，满足条件的事件是这两条棱互相垂直，所有可能情况是：当甲选底面上的一条直角边时，乙有 5 种选法，共有 4 条直角边，则共有 20 种结果；当甲选底面上的一条斜边时，乙有 3 种选法，共有 2 条底面的斜边，则共有 6 种结果；当

24、甲选一条侧棱时，乙有 6 种选法，共有 3 条侧棱，则共有 18种结果，综上所述，共有 2061844(种)结果，故 2 条棱互相垂直的概率是.答案 C温馨提示以棱柱、棱锥及异面直线、距离等立体几何知识为载体的古典概型求解是高考中的重要题型，题目综合性较强，有一定的难度，解题的关键是要考虑所有的位置关系典例 2 设连续掷两次骰子得到的点数分别为 m，n，令平面向量 a(m，n)，b(1,3)(1)求使得事件“ab”发生的概率；(2)求使得事件“|a|b|”发生的概率解 (1)由题意知，m1,2,3,4,5,6，n1,2,3,4,5,6故(m，n)所有可能的取法共 36 种由 ab，得 n3m，

25、- 14 - / 15则(m，n)的取法共有 2 种，即(1,3)，(2,6)所以事件“ab”发生的概率为.(2)由|a|b|，得 m2n210，则(m，n)的取法共有 6 种，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)所以事件“|a|b|”发生的概率为.典例 3 城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求，为此，某市公交公司在某站台的 60 名候车乘客中随机抽取 15 人，将他们的候车时间(单位：分钟)作为样本分成 5组，如下表所示：组别 候车时间 人数一0,5) 2二5,10) 6三 10,15) 4四 15,20) 2五 20,25 1(

26、1)求这 15 名乘客的平均候车时间；(2)估计这 60 名乘客中候车时间少于 10 分钟的人数；(3)若从上表第三、四组的 6 人中选 2 人作进一步的问卷调查，求抽到的 2 人恰好来自不同组的概率思路分析 解 (1)(2.527.5612.5417.5222.51)157.510.5，故这 15 名乘客的平均候车时间为 10.5 分钟(2)由几何概型的概率计算公式可得，候车时间少于 10 分钟的概率为，所以候车时间少于 10 分钟的人数为 6032.- 15 - / 15(3)将第三组乘客编号为 a1，a2，a3，a4，第四组乘客编号为b1，b2.从 6 人中任选 2 人的所有可能情况为(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，a4)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a4，b1)，(a4，b2)，(b1，b2)，共 15 种，其中 2 人恰好来自不同组包含 8 种可能情况，故所求概率为.