数值分析期末复习要点总结课件.ppt

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1、1期末复习要点总结数值分析数值分析22第一章第一章 误差误差第一章第一章 误差误差一一.误差的来源误差的来源:1 1.模型误差模型误差2.2.观测误差观测误差3.3.截断误差截断误差4.4.舍入误差舍入误差二二.绝对误差绝对误差、相对误差和有效数字相对误差和有效数字33为准确值为准确值x的一个近似值，称的一个近似值，称 绝对误差、相对误差和有效数字绝对误差、相对误差和有效数字若若 的的绝对误差限绝对误差限，简称，简称误差限误差限.通常称通常称为近似值为近似值定义定义2 设设(1-3)记为记为 即即准确值之比为近似值准确值之比为近似值为近似值为近似值的的绝对误差绝对误差，简称，简称误差误差.(1

2、-1)称绝对误差与称绝对误差与为准确值为准确值 x 的近似值，的近似值，的相对误差，的相对误差，(1-2)定义定义1 1 设设4由于在计算过程中准确值由于在计算过程中准确值 x 总是未知的，总是未知的，绝对误差、相对误差和有效数字绝对误差、相对误差和有效数字故一般取相对误差为故一般取相对误差为 则称则称 为为 的的相对误差限相对误差限.使得使得(1-4)如果存在正数如果存在正数5如果近似值如果近似值 准确到小数点后第准确到小数点后第n位位,并从第一个非零数字到这一位的所有数并从第一个非零数字到这一位的所有数字均称为字均称为有效数字有效数字.绝对误差、相对误差和有效数字绝对误差、相对误差和有效数

3、字 有效数字有效数字的误差限是的误差限是则称则称取前八位数得近似值取前八位数得近似值 例如，例如，取前四位数得取前四位数得1.414有有4位有效数字位有效数字.1.4142136有有8位有效数字位有效数字.66(1-5)一般地，如果近似值一般地，如果近似值其中其中m为整数，为整数，绝对误差、相对误差和有效数字绝对误差、相对误差和有效数字为为0 0到到9 9之间的整数之间的整数.如果如果(1-6)则称近似值则称近似值有有n位有效数字位有效数字.例如例如有有4位有效数字位有效数字.故故的规格化形式为的规格化形式为77绝对误差、相对误差和有效数字绝对误差、相对误差和有效数字若若x的近似值的近似值至少

4、具有至少具有n位有效数字位有效数字.有有n位有效数字，位有效数字，则则误差限误差限.反之，反之，的相对误差的相对误差定理定理1.11.1为其相对为其相对满足满足若若则则9例例设近似数设近似数是某真值是某真值 x 经四舍五入经四舍五入所得所得,试求其绝对误差限和相对误差限试求其绝对误差限和相对误差限.解解由于由于a经四舍五入得到经四舍五入得到,故故91111数值计算中误差的传播数值计算中误差的传播 例例2:2:要使要使的近似值的相对误差限小于的近似值的相对误差限小于0.1%,应取应取取几位有效数字取几位有效数字解解:的首位数是的首位数是2,设近似数设近似数有有n位有效数字位有效数字,只须取只须取

5、n使使即即取取n=4,即取即取4位有效数字位有效数字,近似值的相对误差限小于近似值的相对误差限小于0.1%.12数值计算中的一些原则数值计算中的一些原则1.1.避免两个相近的数相减避免两个相近的数相减2.2.避免大数避免大数“吃吃”小数的现象小数的现象3.3.避免除数的绝对值远小于被除数的绝对值避免除数的绝对值远小于被除数的绝对值4.4.要简化计算，减少运算次数，提高效率要简化计算，减少运算次数，提高效率5.要有数值稳定性要有数值稳定性,即能控制舍入误差的传播即能控制舍入误差的传播例如例如 为提高数值计算精度为提高数值计算精度,当正数当正数x充分大时充分大时,应将应将改写为改写为1214第二章

6、插值第二章插值已知函数已知函数 y=f(x)在在 a,b 上有定义，且已经测得在点上有定义，且已经测得在点 a x0 x1 xn b 处的函数值为处的函数值为 y0=f(x0)，yn=f(xn)如果存在一个如果存在一个简单易算简单易算的函数的函数 P(x)，使得，使得 P(xi)=f(xi)，i=1,2,.,n则称则称 P(x)为为 f(x)的的插值函数插值函数插值区间插值区间插值节点插值节点求插值函数求插值函数 P(x)的方法就称为的方法就称为插值法插值法插值节点插值节点无需递增排无需递增排列列，但必须确保，但必须确保互不互不相同相同！插值条件插值条件15基函数法通过基通过基函数来构造函数来

7、构造插值多项式的方法插值多项式的方法就就称为称为基函数基函数插值插值法法Zn(x)=次数不超过次数不超过 n 的多项式的全体的多项式的全体记记n+1 维线性空间维线性空间设设 z0(x),z1(x),.,zn(x)构成构成 Zn(x)的一组基，则插值多项式的一组基，则插值多项式P(x)=a0z0(x)+a1z1(x)+anzn(x)寻找合适的基函数寻找合适的基函数 确定插值多项式在这组基下的表示系数确定插值多项式在这组基下的表示系数基函数法基本步骤基函数法基本步骤16Lagrange插值插值Lagrange插值基函数设设 lk(x)是是 n 次多项式，在插值节点次多项式，在插值节点 x0,x1

8、,xn 上满足上满足则称则称 lk(x)为节点为节点 x0,x1,xn 上的上的拉格朗日插值基函数拉格朗日插值基函数17线性与抛物线插值线性与抛物线插值两种特殊情形 n=1线性插值多项式（一次插值多项式）线性插值多项式（一次插值多项式）n=2抛物线插值多项式（二次插值多项式）抛物线插值多项式（二次插值多项式）18例：例：已知函数已知函数 y=lnx 的函数值如下的函数值如下解解：x0.40.50.60.70.8lnx-0.9163-0.6931-0.5108-0.3567-0.2231试分别用试分别用线性插值线性插值和和抛物线插值抛物线插值计算计算 ln 0.54 的近似值的近似值线性插值线性

9、插值：取取 x0=0.5,x1=0.6 得得将将 x=0.54 代入可得：代入可得：ln 0.54 L1(0.54)=-0.6202为了减小截断误差，通常选取插值点为了减小截断误差，通常选取插值点 x 邻接的插值节点邻接的插值节点19抛物线插值抛物线插值：取取 x0=0.4,x1=0.5,x2=0.6,可得可得ln 0.54 L2(0.54)=-0.6153 ln 0.54 的精确值为：的精确值为：-0.616186可见，抛物线插值的精度比线性插值要高可见，抛物线插值的精度比线性插值要高Lagrange插值多项式简单方便，只要取定节点就可写出基函数，进而插值多项式简单方便，只要取定节点就可写出

10、基函数，进而得到插值多项式，易于计算机实现。得到插值多项式，易于计算机实现。20Lagrange插值插值l0(x),l1(x),ln(x)构成构成 Zn(x)的一组的一组基基性质性质注意注意l0(x),l1(x),ln(x)与插值节点有关，与插值节点有关，但与函数但与函数 f(x)无关无关lk(x)的表达式的表达式由构造法可得由构造法可得21误差估计如何估计误差 插值余项插值余项定理定理设设 f(x)Cna,b(n 阶连续可微阶连续可微)，且，且 f(n+1)(x)在在(a,b)内存在，则对内存在，则对 x a,b，有，有其中其中 x(a,b)且与且与 x 有关有关,22插值余项l 余项公式只

11、有当余项公式只有当 f(x)的高阶导数存在时才能使用的高阶导数存在时才能使用几点说明 l 计算插值点计算插值点 x 上的近似值时，应选取与上的近似值时，应选取与 x 相近插值节点相近插值节点如果如果 ，则，则l x 与与 x 有关，通常无法确定有关，通常无法确定,实际使用中通常是估计其上界实际使用中通常是估计其上界23插值误差举例例：例：已知函数已知函数 y=lnx 的函数值如下的函数值如下x0.40.50.60.70.8lnx-0.9163-0.6931-0.5108-0.3567-0.2231试估计试估计线性插值线性插值和和抛物线插值抛物线插值计算计算 ln 0.54 的误差的误差解解线性

12、插值线性插值 x0=0.5,x1=0.6,(0.5,0.6)24Newton 插值为什么 Newton 插值Lagrange 插值简单易用，但若要增加一个节点时，全部基函数插值简单易用，但若要增加一个节点时，全部基函数 lk(x)都需重新都需重新计算，不太方便。计算，不太方便。设计一个可以逐次生成插值多项式的算法，即设计一个可以逐次生成插值多项式的算法，即 n 次插值多项式可以通过次插值多项式可以通过 n-1 次插次插值多项式生成值多项式生成 Newton 插值法插值法解决办法解决办法25什么是差商设函数设函数 f(x)，节点，节点 x0,xn f(x)关于点关于点 xi,xj 的的一阶差商一

13、阶差商f(x)关于点关于点 xi,xj,xk 的的二阶差商二阶差商k 阶差商阶差商差商的一般定义差商的一般定义26差商的性质l k 阶差商与阶差商与 k 阶导数之间的关系：阶导数之间的关系：若若 f(x)在在 a,b 上上 具有具有 k 阶导数，则至少存在一点阶导数，则至少存在一点 (a,b)，使得使得27如何巧妙地计算差商差商表差商表xi(xi)一阶差商二阶差商三阶差商n 阶差商x0 x1x2x3xn(x0)(x1)(x2)(x3)(xn)x0,x1x1,x2x2,x3xn-1,xnx0,x1,x2x1,x2,x3xn-2,xn-1,xnx0,x1,x2,x3xn-3,xn-2,xn-1,x

14、nx0,x1,xn28差商举例例：例：已知已知 y=(x)的函数值表，的函数值表，试计算其各阶差商试计算其各阶差商i0123xi-2-112f(xi)531721解：解：差商表如下差商表如下xi(xi)一阶差商二阶差商三阶差商-2-112531721-2743-1-129Newton 插值公式 f(x)=Nn(x)+Rn(x)Nn(x)是是 n 次多项式次多项式Nn(xi)=f(xi)，i=0,1,2,n重要性质重要性质Nn(x)是是 f(x)的的 n 次插值多项式次插值多项式其中其中30Newton/LagrangeNewton 插值多项式与 Lagrange 插值多项式f(x)在在 x0,

15、x1,xn 上上的的 n 次插值多项式是唯一的！次插值多项式是唯一的！Nn(x)Ln(x)余项也相同余项也相同将将 x 看作节点看作节点31插值举例例：例：已知函数已知函数 y=lnx 的函数值如下的函数值如下解解：取节点取节点 0.5,0.6,0.4 作差商表作差商表试分别用试分别用牛顿牛顿线性插值和抛物线插值计算线性插值和抛物线插值计算 ln 0.54 的近似值的近似值x0.40.50.60.70.8lnx-0.9163-0.6931-0.5108-0.3567-0.2231xi(xi)一阶差商 二阶差商0.50.60.4-0.6931-0.5108-0.91631.82302.0275-

16、2.0450N1(x)=-0.6931+1.8230(x-0.5)N1(0.54)=-0.6202N2(x)=-0.6931+1.8230(x-0.5)-2.0450(x-0.5)(x-0.6)N2(0.54)=-0.6153ex25.m插值节点无需递增排插值节点无需递增排列，但必须确保互不列，但必须确保互不相同！相同！32数值积分数值积分l 微积分基本公式：微积分基本公式：(3)f(x)表达式未知表达式未知，只有通过测量或实验得来的数据表，只有通过测量或实验得来的数据表l 但是在许多实际计算问题中但是在许多实际计算问题中(2)F(x)难求！难求！甚至有时不能用初等函数表示。甚至有时不能用初等

17、函数表示。如如(1)F(x)表达式较复杂表达式较复杂时，计算较困难。如时，计算较困难。如33数值积分公式的一般形式数值积分公式的一般形式求积节点求积节点求积系数求积系数机械求积方法机械求积方法l 将定积分计算转化成被积函数的将定积分计算转化成被积函数的函数值函数值的计算的计算l 无需求原函数无需求原函数l 易于计算机实现易于计算机实现一般地，用一般地，用 f(x)在在 a,b 上的一些离散点上的一些离散点 a x0 x1 xn b 上的函数值的加权平均作为上的函数值的加权平均作为 f()的近似值，可得的近似值，可得34定义定义：如果对于所有次数不超过：如果对于所有次数不超过 m 的多项式的多项

18、式 f(x)，公式，公式精确成立，但对某个次数为精确成立，但对某个次数为 m+1 的多项式不精确成立，则称该求积公式具有的多项式不精确成立，则称该求积公式具有 m 次代数精度次代数精度l 将将 f(x)=1,x,x2,xm 依次代入，公式精确成立依次代入，公式精确成立;l 但对但对 f(x)=xm+1 不精确成立。即：不精确成立。即：(k=0,1,m)代数精度的验证方法代数精度的验证方法35例：例：试确定系数试确定系数 Ai，使得下面的求积公式具有尽可能高的代数精度，并求出此使得下面的求积公式具有尽可能高的代数精度，并求出此求积公式的代数精度。求积公式的代数精度。解：解：将将 f(x)1,x,

19、x2 代入求积公式，使其精确成立，可得代入求积公式，使其精确成立，可得 解得解得 A0=1/3,A1=4/3,A2=1/3。所以求积公式为。所以求积公式为易验证该公式对易验证该公式对 f(x)x3 也精确成立，但对也精确成立，但对 f(x)x4 不精确成立，所以此求不精确成立，所以此求积公式具有积公式具有 3 次代数精度。次代数精度。36设求积节点为：设求积节点为：a x0 x1 xn b 若若 f(xi)已知，则可做已知，则可做 n 次多项式插值：次多项式插值：其中其中插值型求积公式插值型求积公式误差：误差：其中其中37基于等分点的插值型求积公式基于等分点的插值型求积公式l 积分区间：积分区

20、间：a,bl 求积节点：求积节点：xi=a+i h l 求积公式：求积公式：Cotes 系数系数Newton-Cotes 求积公式求积公式(1)(2)38n=1:代数精度代数精度=1梯形公式梯形公式n=2:代数精度代数精度=3抛物线公式抛物线公式Simpson公式公式n=4:科特斯科特斯(Cotes)公式公式代数精度代数精度=539l 梯形公式梯形公式(n=1)的余项的余项l Simpson公式公式(n=2)的余项的余项l Cotes 公式公式(n=4)的余项的余项40q 提高积分计算精度的常用两种方法提高积分计算精度的常用两种方法l 用用 复合公式复合公式l 用用 非等距节点非等距节点l 将

21、积分区间分割成多个小区间将积分区间分割成多个小区间l 在每个小区间上使用低次牛顿科特斯求积公式在每个小区间上使用低次牛顿科特斯求积公式复合求积公式复合求积公式41l 将将 a,b 分成分成 n 等分等分 xi,xi+1，其中，其中(i=0,1,n)复合梯形公式复合梯形公式 l 余项余项 42复合复合 Simpson 公式公式 l 余项余项 性质性质：复合梯形公式和复合：复合梯形公式和复合Simpson 公式都是收敛的，也都是稳定公式都是收敛的，也都是稳定的。的。43例例2 分别用复化梯形公式与复化分别用复化梯形公式与复化Simpson公式计算积分公式计算积分解解 (1)用复化梯形公式用复化梯形

22、公式,截断误差为截断误差为复化求积公式复化求积公式的近似值，为使截断误差的绝对值不超过的近似值，为使截断误差的绝对值不超过至少应将至少应将0,1的多少等份的多少等份.故取故取 n=681144(2)若用复化若用复化Simpson公式，截断误差为公式，截断误差为复化求积公式复化求积公式故取故取 n=61245例例5 试确定求积公式试确定求积公式 GaussGauss型求积公式型求积公式 具有具有 2n+1次代数精确度次代数精确度，Gauss型求积公式型求积公式.公式公式（7-42）称为带权函数称为带权函数为为Gauss点点，则称这组节点则称这组节点定义定义7.2如果一组节点如果一组节点能使求积公

23、式能使求积公式（7-42）的的代数精确度代数精确度，Gauss型求积公式型求积公式.它是否是它是否是1846 解解19由于当由于当分别取分别取有有即求积公式精确成立即求积公式精确成立.而当而当因此因此,求积公式的代数精度为求积公式的代数精度为3.它不是它不是Gauss型求积公式型求积公式.p22471计算计算f(x)在有解区间在有解区间a,b端点处的值端点处的值，f(a)，f(b)。2计算计算f(x)在区间中点处的值在区间中点处的值f(x1)。3判断若判断若f(x1)=0，则则x1即是根，否则检验即是根，否则检验：（1）若若f(x1)与与f(a)异号异号，则知解位于区间则知解位于区间a,x1，

24、b1=x1,a1=a;（2）若若f(x1)与与f(a)同号同号，则知解位于区间则知解位于区间x1,b，a1=x1,b1=b。反复执行步骤反复执行步骤2、3，便可得到一系列有根区间便可得到一系列有根区间：(a,b),(a1,b1),(ak,bk),区间对分法区间对分法（二分法）（二分法）484、当当时时5、则、则即为根的近似即为根的近似先验误差估计：先验误差估计：理论基础：理论基础：定理定理1：设函数设函数 f(x)在区间在区间a,b上连续上连续，如果如果f(a)f(b)0，则方程则方程 f(x)=0 在在a,b内至少有一实根内至少有一实根x*。49对分区间法对分区间法在在0,0.5内的根内的根

25、,要求误差不超过要求误差不超过例例6 6 试用对分区间法求方程试用对分区间法求方程解解 令令则则故在故在0,0.5内内有唯一实根有唯一实根.为达到要求为达到要求即即取取计算结果见下表。计算结果见下表。2050-0.2490230.1324158-0.05951970.0360497-0.01182140.012091010.000129230.250.3750.31250.343750.3281250.33593750.332031250.50.50.3750.3750.343750.343750.335937500.250.250.31250.31250.3281250.3281250123

26、456n对分区间法对分区间法故故即为符合精度要求的解即为符合精度要求的解.2151不动点迭代不动点迭代q 基本思想l 构造构造 f(x)=0 的一个等价方程：的一个等价方程：(x)的不动点的不动点f(x)=0 x=(x)等价变换等价变换f(x)的零点的零点52不动点迭代不动点迭代q 具体过程l 任取一个迭代初始值任取一个迭代初始值 x0，计算，计算得到一个迭代序列：得到一个迭代序列：x0，x1，x2，.，xn，.k=0,1,2,.几何含义：几何含义：求曲线求曲线 y=(x)与直线与直线 y=x 的交点的交点53设设 (x)连续，若连续，若 收敛，即收敛，即 ，则，则即即q 收敛性分析性质：性质

27、：若若 ，则不动点迭代，则不动点迭代收敛收敛，且，且 x*是是 f(x)=0 的解；的解；否则迭代法否则迭代法发散发散。54定理定理：设设 (x)Ca,b 且满足且满足证明：板书证明：板书(1)对任意的对任意的 x a,b 有有 (x)a,b(2)存在常数存在常数 0L1，使得任意的，使得任意的 x,y a,b 有有则则(x)在在 a,b 上存在上存在唯一的不动点唯一的不动点 x*解的存在唯一性解的存在唯一性55定理定理：设设 (x)Ca,b 且满足且满足(1)对任意的对任意的 x a,b 有有 (x)a,b(2)存在常数存在常数 0L1，使得任意的，使得任意的 x,y a,b 有有则对任意初

28、始值则对任意初始值 x0 a,b，不动点迭代，不动点迭代 xk+1=(xk)收敛，且收敛，且不动点迭代的收敛性不动点迭代的收敛性56不动点迭代的收敛性不动点迭代的收敛性若若 (x)C1a,b 且对任意且对任意 x a,b 有有|(x)|L1则上述定理中的结论成立。则上述定理中的结论成立。收敛性结论表明：收敛性结论表明：收敛性与初始值的选取无关收敛性与初始值的选取无关全局收敛全局收敛57例：例：求求 f(x)=x3 x 1=0 在区间在区间 1,2 中的根中的根(1)(2)ex71.m58定义定义：设设 x*是是 (x)的不动点，若存的不动点，若存在在 x*的某个的某个 -邻域邻域 U(x*)=

29、x*-,x*+，对任意，对任意 x0 U(x*)，不动点迭代，不动点迭代 xk+1=(xk)产生的点列都收敛到产生的点列都收敛到 x*，则称该迭代，则称该迭代局部收敛。局部收敛。定理：定理：设设 x*是是 (x)的不动点，若的不动点，若 (x)在在 x*的某个邻域内连续，且的某个邻域内连续，且|(x*)|0，则称该迭代为，则称该迭代为 p 阶收敛阶收敛。(1)当当 r=1 时称为时称为线性收敛线性收敛，此时，此时 C 1 时称为时称为超线性收敛超线性收敛l 二分法是线性收敛的二分法是线性收敛的l 若若 (x*)0，则，则不动点迭代不动点迭代 xk+1=(xk)线性收敛线性收敛60定理：定理：设

30、设 x*是是 (x)的不动点的不动点，若若 (p)(x)在在 x*的某邻域内连续，的某邻域内连续，且且则迭代则迭代 xk+1=(xk)是是 p 阶收敛的。阶收敛的。61例：例：求求 f(x)=x2-3=0 的正根的正根(1)ex72.m(2)(3)二次收敛二次收敛局部收敛局部收敛62计算得计算得例例9 9 用简单迭代法求方程用简单迭代法求方程精确到精确到3位有效数字位有效数字.解解简单迭代法简单迭代法在在0,1内的根内的根在在0,1内连续内连续,在在0,1内有唯一内有唯一实根实根.的等价方程为的等价方程为又当又当故故对对均收敛均收敛.取取故故2663故，故，简单迭代法简单迭代法2764Newt

31、on 法法q 基本思想将非线性方程将非线性方程线性化线性化l 设设 xk 是是 f(x)=0 的近似根，将的近似根，将 f(x)在在 xk 处处 Taylor 展开展开令：令：条件：条件：f(x)065Newton 法xyx*xkxk+166因为因为得牛顿迭代公式为得牛顿迭代公式为例例7用用Newton法求方程法求方程在在(1,2)的根，取初值的根，取初值 解解 NewtonNewton法与弦截法法与弦截法根据根据 Newton迭代迭代故在故在1,2内方程有唯一实根内方程有唯一实根取初值取初值得得2267代入初值得代入初值得NewtonNewton法与弦截法法与弦截法故取故取2368 k=0,

32、1,2,.l 迭代函数牛顿法至少二阶牛顿法至少二阶局部收敛局部收敛69例：例：用用 Newton 法求法求 f(x)=x2 C=0 的正根的正根,并验证这一方法的二阶收敛性并验证这一方法的二阶收敛性解：解：对任意对任意 x00，总有总有|q|1，即即牛顿法收敛牛顿法收敛70二阶收敛二阶收敛关于二次收敛性，事实上关于二次收敛性，事实上717273常微分方程数值解法常微分方程数值解法(9-2)公式公式(9-2)(9-2)称为显式欧拉公式称为显式欧拉公式.Euler法的局部截断误差也可表示为法的局部截断误差也可表示为Euler方法是一阶方法方法是一阶方法.第九章第九章 常微分方程数值解法常微分方程数

33、值解法3074(9-9)这就是求解初值问题式（这就是求解初值问题式（9-1）的）的梯形公式梯形公式.梯形公式（梯形公式（9-9）的局部截断误差为）的局部截断误差为常微分方程数值解法常微分方程数值解法故梯形公式为二阶方法故梯形公式为二阶方法.3175常微分方程数值解法常微分方程数值解法一般地一般地,RK方法设近似公式为方法设近似公式为(9-13)其中其中 都是参数都是参数,确定它们的原则是使近似确定它们的原则是使近似公式在公式在 处的处的Taylor展开式展开式与与 在在 处的处的Taylor展开式的前面的项尽可能多地重合展开式的前面的项尽可能多地重合,这样就使近这样就使近似公式有尽可能高的精度

34、似公式有尽可能高的精度。3276常微分方程数值解法常微分方程数值解法这就是改进这就是改进Euler公式公式,它是一种二阶龙格它是一种二阶龙格-库塔公式。库塔公式。3377常微分方程数值解法常微分方程数值解法(9-11)式（式（9-11）称为由）称为由Euler公式和梯形公式得到的公式和梯形公式得到的预测预测校正系统校正系统，也叫，也叫改进改进Euler法法，它是显式单步法。，它是显式单步法。预测预测校正校正改进改进Euler法的局部截断误差为法的局部截断误差为 故它是二阶方法。故它是二阶方法。3478例1用欧拉法求初值问题当h=0.02时在区间0,0.10上的数值解。解解 把 代入欧拉法计算公

35、式。就得具体计算结果如下表：nxnyny(xn)n=y(xn)-yn001.00001.0000010.020.98200.98250.000520.040.96500.96600.000530.060.94890.95030.001440.080.93360.93540.001850.100.91920.9230.002179常微分方程数值解法常微分方程数值解法例例 用改进的用改进的Euler法求初值问题法求初值问题的数值解的数值解,取取 .解解 改进的改进的Euler公式为公式为所以所以3580常微分方程数值解法常微分方程数值解法将将代入上式得代入上式得将将代入上式得代入上式得将将代入上式

36、得代入上式得3681常微分方程数值解法常微分方程数值解法例例12 用二阶方程初值问题用二阶方程初值问题化为一阶方程组初值问题化为一阶方程组初值问题,并写出欧拉方法求解的并写出欧拉方法求解的解解 令令计算公式计算公式.可得可得计算公式为计算公式为4182 若若某某算算法法对对于于任任意意固固定定的的 x=xi=x0+i h，当当 h0(同同时时 i )时时有有 yi y(xi)，则称该算法是，则称该算法是收敛收敛的。的。若若某某算算法法在在计计算算过过程程中中任任一一步步产产生生的的误误差差在在以以后后的的计计算算中中都都逐逐步步衰衰减减，则称该算法是则称该算法是绝对稳定的绝对稳定的一般分析时为

37、简单起见，只考虑一般分析时为简单起见，只考虑试验方程试验方程常数，可以是常数，可以是复数复数当步长取为当步长取为 h 时，将某算法应用于上式，并假设只在初值产生误差时，将某算法应用于上式，并假设只在初值产生误差 ，则若此误差以后逐步衰减，就称该算法相对于，则若此误差以后逐步衰减，就称该算法相对于 绝对稳定绝对稳定，的全体构的全体构成成绝对稳定区域绝对稳定区域。hl l h=h83例例4.3 对初值问题对初值问题 证明用梯形公式求得的近似解为证明用梯形公式求得的近似解为 ,并证明当步长并证明当步长h h0 0时时,y,yn n 收敛于精确解收敛于精确解 证明证明:解初值问题的梯形公式为解初值问题

38、的梯形公式为:整理成显式整理成显式 反复迭代反复迭代,得到得到:84整理成显式整理成显式 反复迭代反复迭代,得到得到:例例 对初值问题对初值问题 证明用梯形公式求得的近似解为证明用梯形公式求得的近似解为 ,并证明当步长并证明当步长h h0 0时时,y,yn n 收敛于精确解收敛于精确解 85由于由于 ，有，有:证毕证毕 86例：例：考察显式欧拉法考察显式欧拉法由此可见，要保证初始误差由此可见，要保证初始误差 0 以后逐步衰减，以后逐步衰减，必须满足：必须满足：0-1-2例：例：考察隐式欧拉法考察隐式欧拉法可见绝对稳定区域为：可见绝对稳定区域为：210注：注：一般来说，隐式欧拉法的绝对稳定性比同阶的显式法的好。一般来说，隐式欧拉法的绝对稳定性比同阶的显式法的好。876证明求解初值问题 的如下单步法是二阶方法。