第1节解析变换的特性优秀PPT.ppt

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1、第第1节解析变换的特节解析变换的特性性1现在学习的是第1页，共29页第一节第一节 解析变换的特性解析变换的特性2现在学习的是第2页，共29页一一 解析变换的保域性解析变换的保域性1 保域定理保域定理定定理理7.1 设设函函数数w=f(z)在在区区域域D内内解解析析且且不不恒恒等等于于常常数数，则则D D的像的像G G=f(z)也也是一个区域。是一个区域。证明证明先证明先证明G是开集，是开集，由解析函数的零点孤立性由解析函数的零点孤立性,3现在学习的是第3页，共29页由由RoucheRouche定理定理即即G G为开集为开集.4现在学习的是第4页，共29页其次其次故故D内有一折线内有一折线由于由

2、于D是一个区域是一个区域，连接连接z1及及z2，于是于是C C在在w=f(z)的像的像是是G G内连接内连接w1及及w2的曲线的曲线,5现在学习的是第5页，共29页2 2推推论论7.2 设设函函数数w=f(z)在在区区域域D内内单单叶叶解解析析，则则D D的的像像G G=f(z)也也是一个区域。是一个区域。注注定理定理7.17.1可推广为可推广为:“w=f(z)在在扩扩充充z z平平面面区区域域D内内亚亚纯纯且且不不恒恒为为常常数数，则则D D的像的像G G=f(z)也为扩充也为扩充z z平面上的一个区域平面上的一个区域”。3 3定理定理7.3证明证明因因f(z)在区域在区域D内单叶内单叶,故

3、故f(z)在区域在区域D不恒为常数不恒为常数.注注如如即定理即定理6.116.11逆不真逆不真.6现在学习的是第6页，共29页证明证明由由不恒为常数的解析函数的零点孤立性不恒为常数的解析函数的零点孤立性,7现在学习的是第7页，共29页矛盾矛盾.8现在学习的是第8页，共29页二二 导数的几何意义导数的几何意义-解析函数的保角性解析函数的保角性9现在学习的是第9页，共29页10现在学习的是第10页，共29页伸缩率的不变性伸缩率的不变性.11现在学习的是第11页，共29页1 导数的模与辐角的几何意义导数的模与辐角的几何意义旋转角旋转角.伸缩率伸缩率.注注解析函数在导数不为零的点具有旋转角解析函数在导

4、数不为零的点具有旋转角,伸缩率不伸缩率不变性变性.几何意义几何意义(忽略高阶无穷小忽略高阶无穷小)12现在学习的是第12页，共29页例例1解解由导数的几何意义由导数的几何意义,13现在学习的是第13页，共29页14现在学习的是第14页，共29页2 两曲线的夹角两曲线的夹角定义定义.yx15现在学习的是第15页，共29页.yxvu即即故故16现在学习的是第16页，共29页则则保持夹角不变保持夹角不变.既保持夹角大小既保持夹角大小,且保持夹角方向不变且保持夹角方向不变-保角性保角性.3 3 保角变换保角变换定义定义7.17.1(1)(1)伸缩率不变性伸缩率不变性,17现在学习的是第17页，共29页

5、注注4 4 解析变换的保角性解析变换的保角性定理定理7.47.4推论推论7.57.5证证注注单叶解析变换是保角变换单叶解析变换是保角变换.18现在学习的是第18页，共29页例例2证明证明19现在学习的是第19页，共29页20现在学习的是第20页，共29页三三 单叶解析变换的共形性单叶解析变换的共形性 1定义定义7.2注注注注21现在学习的是第21页，共29页例例3解解22现在学习的是第22页，共29页2 定理定理7.6证明证明由定理由定理6.116.11由推论由推论7.57.5及定义及定义7.27.223现在学习的是第23页，共29页于是故由隐函数存在定理24现在学习的是第24页，共29页故故

6、存在反函数25现在学习的是第25页，共29页注注1本定理本定理(1)逆也真逆也真(D.Mencheff)注注226现在学习的是第26页，共29页注注3两个共形变换的复合仍是共形变换两个共形变换的复合仍是共形变换.(共共 形形)注注4基本任务基本任务:给定区域给定区域D,G;D,G;找找D D到到G G的共形变换的共形变换及唯一性及唯一性.由注由注3,通过复合若干个基本共形变换通过复合若干个基本共形变换,构成较为复杂的共形变换构成较为复杂的共形变换.27现在学习的是第27页，共29页作业作业P317习题(一)1,2,P317习题(一)3(2)28现在学习的是第28页，共29页本节结束本节结束谢谢！谢谢！Complex Function Theory Department of Mathematics29现在学习的是第29页，共29页