高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9-9圆锥曲线的综合问题第1课时圆锥曲线的综合问题教师用书.doc

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1、1 / 19【2019【2019 最新最新】精选高考数学大一轮复习第九章平面解析几精选高考数学大一轮复习第九章平面解析几何何 9-99-9 圆锥曲线的综合问题第圆锥曲线的综合问题第 1 1 课时圆锥曲线的综合问题课时圆锥曲线的综合问题教师用书教师用书1直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于 x(或 y)的一元方程：ax2bxc0(或 ay2byc0)(1)若 a0，可考虑一元二次方程的判别式 ，有0直线与圆锥曲线相交；0直线与圆锥曲线相切；b0)表示的曲线大致是( )答案 D解析 将方程 a2x2b2y21 变形为1，ab0，b0，0，即33 时，方程

2、没有实数根，可知原方程组没有实数解这时直线 l 与椭圆 C 没有公共点思维升华 (1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为 0.(2)依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元，得到一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为 0，若为 0，则方程为一次方程；若不为 0，则将方程解的个数转化为判别式与 0的大小关系求解(2016全国乙卷)在直角坐标系 xOy 中，直线6 / 19l：yt(t0)交 y 轴于点 M，交抛物线 C：y22px(p0)于点 P，M关于点 P 的

3、对称点为 N，连接 ON 并延长交 C 于点 H.(1)求；(2)除 H 以外，直线 MH 与 C 是否有其它公共点？说明理由解 (1)由已知得 M(0，t)，P，又 N 为 M 关于点 P 的对称点，故 N，ON 的方程为 yx，代入y22px 整理得 px22t2x0，解得 x10，x2，因此 H.所以 N 为 OH 的中点，即2.(2)直线 MH 与 C 除 H 以外没有其它公共点，理由如下：直线 MH 的方程为 ytx，即 x(yt)代入 y22px 得 y24ty4t20，解得 y1y22t，即直线 MH与 C 只有一个公共点，所以除 H 以外直线 MH 与 C 没有其它公共点题型二

4、 弦长问题例 2 (2016全国甲卷)已知 A 是椭圆 E：1 的左顶点，斜率为k(k0)的直线交 E 于 A，M 两点，点 N 在 E 上，MANA.(1)当|AM|AN|时，求AMN 的面积(2)当 2|AM|AN|时，证明：0，由|AM|AN|及椭圆的对称性知，直线 AM 的倾斜角为.又 A(2,0)，因此直线 AM 的方程为 yx2.将 xy2 代入1 得 7y212y0，解得 y0 或 y，所以 y1.因此AMN 的面积 SAMN2.7 / 19(2)证明 将直线 AM 的方程 yk(x2)(k0)代入1 得(34k2)x216k2x16k2120，由 x1(2)得 x1，故|AM|

5、x12|.由题设，直线 AN 的方程为 y(x2)，故同理可得|AN|.由 2|AM|AN|，得，即 4k36k23k80，设 f(t)4t36t23t8，则 k 是 f(t)的零点，f(t)12t212t33(2t1)20，所以 f(t)在(0，)上单调递增，又 f()15260，因此 f(t)在(0，)有唯一的零点，且零点 k 在(，2)内，所以b0)的左，右焦点，过 F1 且斜率为 1 的直线 l 与 E 相交于 A，B 两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列(1)求 E 的离心率；(2)设点 P(0，1)满足|PA|PB|，求 E 的方程解 (1)由椭圆定义知|AF2|BF

6、2|AB|4a，8 / 19又 2|AB|AF2|BF2|，得|AB|a，l 的方程为 yxc，其中 c.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 A，B 两点的坐标满足方程组消去 y，化简得(a2b2)x22a2cxa2(c2b2)0，则 x1x2，x1x2.因为直线 AB 的斜率为 1，所以|AB|x2x1|，即 a，故a22b2，所以 E 的离心率 e.(2)设 AB 的中点为 N(x0，y0)，由(1)知x0，y0x0c.由|PA|PB|，得 kPN1，即1，得 c3，从而 a3，b3.故椭圆 E 的方程为1.题型三 中点弦问题命题点 1 利用中点弦确定直线或曲线方程例 3 (1)已

7、知椭圆 E：1(ab0)的右焦点为 F(3,0)，过点 F 的直线交 E 于 A，B 两点若 AB 的中点坐标为(1，1)，则 E 的方程为( )A.1 B.1C.1 D.1(2)已知(4,2)是直线 l 被椭圆1 所截得的线段的中点，则 l 的方程是_答案 (1)D (2)x2y809 / 19解析 (1)因为直线 AB 过点 F(3,0)和点(1，1)，所以直线 AB 的方程为 y(x3)，代入椭圆方程1 消去 y，得x2a2xa2a2b20，所以 AB 的中点的横坐标为1，即a22b2，又 a2b2c2，所以 bc3，a3，选 D.(2)设直线 l 与椭圆相交于 A(x1，y1)，B(x

8、2，y2)，则1，且1，两式相减得.又 x1x28，y1y24，所以，故直线 l 的方程为 y2(x4)，即 x2y80.命题点 2 由中点弦解决对称问题例 4 (2015浙江)已知椭圆y21 上两个不同的点 A，B 关于直线 ymx对称(1)求实数 m 的取值范围；(2)求AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)解 (1)由题意知 m0，可设直线 AB 的方程为yxb.由Error!消去 y，得 x2xb210.因为直线 yxb 与椭圆y21 有两个不同的交点，所以2b220，将 AB 中点 M 代入直线方程 ymx，解得 b10 / 19由得 m或 m.(2)令 t，则|AB|.且 O 到直

9、线 AB 的距离为 d.设AOB 的面积为 S(t)，所以 S(t)|AB|d .当且仅当 t2时，等号成立故AOB 面积的最大值为.思维升华 处理中点弦问题常用的求解方法(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有 x1x2，y1y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率(2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后，由根与系数的关系求解(3)解决对称问题除掌握解决中点弦问题的方法外，还要注意：如果点 A，B 关于直线 l 对称，则 l 垂直直线 AB 且 A，B 的中点在直线 l上的应用已知

10、双曲线 x21 上存在两点 M，N 关于直线 yxm对称，且 MN 的中点在抛物线 y218x 上，则实数 m 的值为_答案 0 或8解析 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN 的中点 P(x0，y0)，11 / 19则Error!由得(x2x1)(x2x1)(y2y1)(y2y1)，显然x1x2.3，即 kMN3，M，N 关于直线 yxm 对称，kMN1，y03x0.又y0x0m，P，代入抛物线方程得 m218，解得 m0 或8，经检验都符合.1(2016泰安模拟)斜率为的直线与双曲线1 恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是( )A2，) B(2，)C(1，) D(，)答案 B

11、解析 要使直线与双曲线恒有两个公共点，则渐近线的斜率的绝对值应大于，所以|，e 2，即 e(2，)，故选 B.2(2016青岛模拟)已知抛物线 y22px(p0)与直线axy40 相交于 A，B 两点，其中 A 点的坐标是(1,2)如果抛物线的焦点为 F，那么|FA|FB|等于( )A5 B6 C3 D712 / 19答案 D解析 把点 A 的坐标(1,2)分别代入抛物线 y22px 与直线方程axy40，得 p2，a2，由消去 y，得 x25x40，则 xAxB5.由抛物线定义得|FA|FB|xAxBp7，故选 D.3(2016丽水一模)斜率为 1 的直线 l 与椭圆y21 相交于A，B 两

12、点，则|AB|的最大值为( )A2 B. C. D.8 105答案 C解析 设 A，B 两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线 l 的方程为 yxt，由消去 y，得 5x28tx4(t21)0，则 x1x2t，x1x2.|AB|x1x2|x1x224x1x285t24 4t21 5，当 t0 时，|AB|max.4(2016天津模拟)直线 yx3 与双曲线1 的交点个数是( )A1 B2 C1 或 2 D0答案 A13 / 19解析 因为直线 yx3 与双曲线的渐近线 yx 平行，所以它与双曲线只有 1 个交点，故选 A.5设双曲线1(a0，b0)的一条渐近线与抛物线 yx21

13、只有一个公共点，则双曲线的离心率为( )A. B5 C. D.5答案 D解析 双曲线1 的一条渐近线为 yx，由方程组消去 y，得 x2x10 有唯一解，所以 ()240，2，e .6过抛物线 y24x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A，B 两点，它们到直线 x2 的距离之和等于 5，则这样的直线( )A有且仅有一条 B有且仅有两条C有无穷多条 D不存在答案 D解析 抛物线 y24x 的焦点坐标为(1,0)，准线方程为 x1，设A，B 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则 A，B 到直线 x1 的距离之和为 x1x22.设直线方程为 xmy1，代入抛物线 y24x，则 y24(my

14、1)，即 y24my40，x1x2m(y1y2)24m22.14 / 19x1x224m244.A，B 到直线 x2 的距离之和为 x1x22265.满足题意的直线不存在7已知抛物线 y24x 的弦 AB 的中点的横坐标为 2，则|AB|的最大值为_答案 6解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x24，那么|AF|BF|x1x22，又|AF|BF|AB|AB|6，当 AB 过焦点 F 时取得最大值 6.8过椭圆1 内一点 P(3,1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是_答案 3x4y130解析 设直线与椭圆交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由于 A，B 两点均在椭圆

15、上，故1，1，两式相减得0.x1x2x1x2 16又P 是 A，B 的中点，x1x26，y1y22，kAB.直线 AB 的方程为 y1(x3)即 3x4y130.9已知 F1，F2 分别是椭圆 C：1(ab0)的左，右焦点，A 是其15 / 19上顶点，且AF1F2 是等腰直角三角形，延长 AF2 与椭圆 C 交于另一点 B，若AF1B 的面积为 6，则椭圆 C 的方程为_答案 1解析 因为AF1F2 为等腰直角三角形，所以 bc，ac，设|BF2|x，则由椭圆的定义可知|BF1|2cx，在BF1F2 中，由余弦定理可知(2cx)2x24c22x2ccos，解得 x，所以2cc2ccsin6，

16、 1AF BSA 1 2AF FSA 1 2BF FSA解得 c2，所以 b2，a29，则椭圆的方程为1.10已知双曲线 C：x21，直线 y2xm 与双曲线 C 的右支交于 A，B 两点(A 在 B 的上方)，且与 y 轴交于点 M，则的取值范围为_答案 (1,74)解析 由可得 x24mxm230，由题意得方程在1，)上有两个不相等的实根，设 f(x)x24mxm23，则得 m1，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)(x11 得，的取值范围为(1,74)11(2016郑州模拟)已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率为，且椭圆经过圆 C：x2y24x2y0 的圆心(1)求椭圆的方程；(2)设直线 l 过椭圆的焦点且与圆 C 相切，求直线 l 的方程解 (1)圆 C 方程化为(x2)2(y)26，圆心 C(2，)，半径 r.设椭圆的方程为1(ab0)，则Error!所求的椭圆方程是1.(2)由(1)得到椭圆的左，右焦点分别是 F1(2,0)，F2(2,0)，|F2C|0.y1y2，y1y2.|AB|x1x22y1y22ty1y22y1y22.将代入上式得|AB| 4m2t2 t2424m24 t24，|m|1，SAOB|AB|14 3|m|m231，当且仅当|m|，即 m时，等号成立(SAOB)max1.19 / 19