矩阵的初等变换与线性方程组优秀PPT.ppt

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1、矩阵的初等变换与线矩阵的初等变换与线性方程组性方程组第1页 共92页现在学习的是第1页，共90页第2页 共92页一、消元法解线性方程组一、消元法解线性方程组二、矩阵的初等变换二、矩阵的初等变换第一节第一节 矩阵的初等变换矩阵的初等变换现在学习的是第2页，共90页第3页 共92页1、引例、引例求解线性方程组：求解线性方程组：一、消元法解线性方程组一、消元法解线性方程组现在学习的是第3页，共90页第4页 共92页解：解：1)消元消元现在学习的是第4页，共90页第5页 共92页2)回代回代（4 4个未知数个未知数3 3个方程，无穷解。可取每一行的第个方程，无穷解。可取每一行的第一个未知数为非自由未知

2、数，进行回代）一个未知数为非自由未知数，进行回代）(B4)现在学习的是第5页，共90页第6页 共92页则则（2）解得解得现在学习的是第6页，共90页第7页 共92页方程组的同解变换方程组的同解变换(消元过程消元过程)：1）对换两个方程）对换两个方程3）2）对增广矩阵对增广矩阵 B=(A|b)进行进行相应的三种初等相应的三种初等行行变换变换现在学习的是第7页，共90页第8页 共92页(B4)(B1)行行阶梯形：阶梯形：现在学习的是第8页，共90页第9页 共92页(B4)(B5)行行最简形最简形现在学习的是第9页，共90页第10 共92页对增广矩阵（对增广矩阵（A|b）施行初等行变换，变成行最简）

3、施行初等行变换，变成行最简形。形。方程组的求解注意：注意：初等列变换不能求解方程组，因为列变换是对初等列变换不能求解方程组，因为列变换是对变元进行变换，并不是方程的同解变换。变元进行变换，并不是方程的同解变换。现在学习的是第10页，共90页第11 共92页1）2）3）jikrr+初等变换的逆变换初等变换的逆变换现在学习的是第11页，共90页第12 共92页行等价：行等价：列等价：列等价：等价：等价：性质性质：矩阵的等价关系矩阵的等价关系A B反身性、对称性、传递性反身性、对称性、传递性现在学习的是第12页，共90页第13 共92页标准形标准形：现在学习的是第13页，共90页第14 共92页如：

4、如：现在学习的是第14页，共90页第15 共92页初等矩阵的概念初等矩阵的概念单位矩阵单位矩阵 经一次初等变换得到的经一次初等变换得到的矩阵矩阵1 1、定义、定义2 2、三种初等矩阵、三种初等矩阵三种初等变换三种初等变换 三种初等方阵三种初等方阵现在学习的是第15页，共90页第16 共92页jirr1)|现在学习的是第16页，共90页第17 共92页现在学习的是第17页，共90页第18 共92页现在学习的是第18页，共90页第19 共92页(k 0)2)|现在学习的是第19页，共90页第20 共92页现在学习的是第20页，共90页第21 共92页3）|现在学习的是第21页，共90页第22 共9

5、2页现在学习的是第22页，共90页第23 共92页现在学习的是第23页，共90页第24 共92页)(nkjiAE现在学习的是第24页，共90页第25 共92页定理定理1 11）行变换，）行变换，A为为A左乘左乘相应的相应的m阶初等矩阵阶初等矩阵2）列变换，）列变换，A为为A右乘右乘相应的相应的n阶初等矩阵阶初等矩阵现在学习的是第25页，共90页第26 共92页初等矩阵均可逆，且逆都是同类的初等矩阵：初等矩阵均可逆，且逆都是同类的初等矩阵：初等矩阵的转置仍为初等矩阵；初等矩阵的转置仍为初等矩阵；现在学习的是第26页，共90页第27 共92页解：解：记记 B现在学习的是第27页，共90页第28 共

6、92页定理定理2 2证证:A可逆可逆 存在有限个初等矩阵存在有限个初等矩阵(充分性充分性 )(必要性必要性 )显然显然.现在学习的是第28页，共90页第29 共92页证明：证明：推论推论1 1A可逆可逆A经有限次初等行变换经有限次初等行变换 E可逆矩阵的行最简型为可逆矩阵的行最简型为E现在学习的是第29页，共90页第30 共92页初等行变换初等行变换同理，对方程组若A可逆现在学习的是第30页，共90页第31 共92页（作业）（作业）推论推论2 2现在学习的是第31页，共90页第32 共92页 解解例例 2 2现在学习的是第32页，共90页第33 共92页现在学习的是第33页，共90页第34 共

7、92页例例3 3解：解：现在学习的是第34页，共90页第35 共92页现在学习的是第35页，共90页第36 共92页小结小结1.1.单位矩阵单位矩阵 初等矩阵初等矩阵.一次初等变换一次初等变换2.利用初等变换求逆阵的步骤是利用初等变换求逆阵的步骤是:现在学习的是第36页，共90页第37 共92页一、矩阵秩的概念一、矩阵秩的概念二、矩阵秩的求法二、矩阵秩的求法三、矩阵秩的一些结论三、矩阵秩的一些结论第三节第三节 矩阵的秩矩阵的秩现在学习的是第37页，共90页第38 共92页矩阵的秩一、矩阵秩的概念一、矩阵秩的概念现在学习的是第38页，共90页第39 共92页1.矩阵的子式矩阵的子式k阶子式阶子式

8、(km,n)：任取任取k行、行、k列交叉得到的列交叉得到的矩阵的行列式矩阵的行列式相应的位置保持不变现在学习的是第39页，共90页第40 共92页2.最高阶非零子式和秩最高阶非零子式和秩A的秩的秩A的最高阶非的最高阶非0子式的阶子式的阶R(A)或或 r(A)现在学习的是第40页，共90页第41 共92页现在学习的是第41页，共90页第42 共92页例例1解解现在学习的是第42页，共90页第43 共92页例例2解解现在学习的是第43页，共90页第44 共92页问题：问题：经过变换矩阵的秩变吗？经过变换矩阵的秩变吗？二、矩阵秩的求法二、矩阵秩的求法现在学习的是第44页，共90页第45 共92页1、

9、初等变换求矩阵秩的方法：初等变换求矩阵秩的方法：把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.2、现在学习的是第45页，共90页第46 共92页显然，非零行的行数为显然，非零行的行数为2，现在学习的是第46页，共90页第47 共92页例例4解解现在学习的是第47页，共90页第48 共92页A得得现在学习的是第48页，共90页第49 共92页取行阶梯形中的1、2、4列及1、2、3行对应于原矩阵中的行和列，即可得到A的一个最高阶非0子式注：求解最高阶非0子式时，应注意初等变换过程中行、列的对

10、换情况。现在学习的是第49页，共90页第50 共92页例例5 5解解分析：分析：现在学习的是第50页，共90页第51 共92页现在学习的是第51页，共90页第52 共92页1、n阶方阵阶方阵A可逆可逆2三、矩阵秩的一些结论三、矩阵秩的一些结论现在学习的是第52页，共90页第53 共92页3、4、5、Sylverster不等式不等式:现在学习的是第53页，共90页第54 共92页例例1例例2例例3现在学习的是第54页，共90页第55 共92页矩阵的秩的性质矩阵的秩的性质1.2.3.4.5.6.7.(见下节见下节)8.(见下节见下节)现在学习的是第55页，共90页第56 共92页一、线性方程组有解

11、的判定条件一、线性方程组有解的判定条件二、线性方程组的解法二、线性方程组的解法第四节第四节 线性方程组的解线性方程组的解现在学习的是第56页，共90页第57 共92页线性方程组线性方程组系数矩阵为系数矩阵为线性方程组可记为：线性方程组可记为：相容线性方程组。相容线性方程组。（不）（不）一、线性方程组有解的判定条件一、线性方程组有解的判定条件现在学习的是第57页，共90页第58 共92页1)m=n 时时,A是是n阶方阵阶方阵,若若|A|则可用克莱则可用克莱默法则求解默法则求解,或用或用A的逆矩阵表示解的逆矩阵表示解.0,2)对一般的情况如何判定有没有解对一般的情况如何判定有没有解?有解时如何求解

12、有解时如何求解?问题：问题：现在学习的是第58页，共90页第59 共92页1、非齐次线性方程组、非齐次线性方程组推：若方程组的个数小于变元的个数，则推：若方程组的个数小于变元的个数，则不可能有唯一解。不可能有唯一解。则方程组：1）无 解2）唯一解3）无穷解现在学习的是第59页，共90页第60 共92页证：（充分性）证：（充分性）现在学习的是第60页，共90页第61 共92页现在学习的是第61页，共90页第62 共92页Onn个m-n个现在学习的是第62页，共90页第63 共92页现在学习的是第63页，共90页第64 共92页现在学习的是第64页，共90页第65 共92页方程组的通解，自由度为方

13、程组的通解，自由度为n-r，r越小，解的自由度越大越小，解的自由度越大现在学习的是第65页，共90页第66 共92页2、齐次方程方程组、齐次方程方程组现在学习的是第66页，共90页第67 共92页齐次线性方程组齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵，便系数矩阵化成行最简形矩阵，便可写出其通解；可写出其通解；非齐次线性方程组：非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩阵，增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有解若有解，化成行最简形矩便可判断其是否有解若有解，化成行最简形矩阵，便可写出其通解；阵，便可写出其通解；3、求解线性方程组步骤、求解线性方程组步骤:现在学习的是第67页，共90页第68

14、共92页例例1 1 求解齐次线性方程组求解齐次线性方程组解解二、线性方程组的解法二、线性方程组的解法现在学习的是第68页，共90页第69 共92页现在学习的是第69页，共90页第70 共92页例例 求解非齐次线性方程组求解非齐次线性方程组解解对增广矩阵对增广矩阵B进行初等变换，进行初等变换，故方程组无解故方程组无解现在学习的是第70页，共90页第71 共92页例例 求解非齐次方程组的通解求解非齐次方程组的通解解解 对增广矩阵对增广矩阵B进行初等变换进行初等变换现在学习的是第71页，共90页第72 共92页故方程组有解，且有无穷解故方程组有解，且有无穷解现在学习的是第72页，共90页第73 共9

15、2页例例 现在学习的是第73页，共90页第74 共92页例例 设有线性方程组设有线性方程组解解现在学习的是第74页，共90页第75 共92页现在学习的是第75页，共90页第76 共92页其通解为其通解为现在学习的是第76页，共90页第77 共92页这时又分两种情形：这时又分两种情形：现在学习的是第77页，共90页第78 共92页现在学习的是第78页，共90页第79 共92页解二解二:由于由于方程个数等于未知数个数方程个数等于未知数个数可考虑用下面的方法可考虑用下面的方法:现在学习的是第79页，共90页第80 共92页现在学习的是第80页，共90页第81 共92页现在学习的是第81页，共90页第

16、82 共92页现在学习的是第82页，共90页第83 共92页三、推广到矩阵方程三、推广到矩阵方程Th7 AX=B 有解有解 R(A)=R(A,B).证：将证：将X X，B B 按列分块，得按列分块，得现在学习的是第83页，共90页第84 共92页（充分性）（充分性）R(A)=R(A,B)R(A)=R(A,B)现在学习的是第84页，共90页第85 共92页（必要性）（必要性）AX AXB B 有解有解现在学习的是第85页，共90页第86 共92页Th9现在学习的是第86页，共90页第87 共92页非齐次线性方程组非齐次线性方程组齐次线性方程组齐次线性方程组()()nBRAR=()()nBRAR=有无穷多解有无穷多解.bAx=三、小结三、小结现在学习的是第87页，共90页第88 共92页思考题思考题现在学习的是第88页，共90页第89 共92页答答答答相等相等.即即由此可知由此可知思考题解答思考题解答现在学习的是第89页，共90页第90 共92页6、现在学习的是第90页，共90页