自动控制原理 第5章.pptx

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1、5.1 频 率 特 性 对于图5-1所示的电路,当ui(t)是正弦信号时,我们已知uo(t)也是同频率的正弦信号,简单推导如下:设ui(t)=U sint,则其拉氏变换为 而RC电路的传递函数为(5.1)第1页/共166页式中,=RC。则有(5.2)对式(5.2)进行拉氏反变换,可得(5.3)式中,=-arctg。式(5.3)的等号右边,第一项是输出的暂态分量,第二项是输出的稳态分量。当时间t 时,暂态分量趋于零,所以上述电路的稳态响应可以表示为 第2页/共166页(5.4)若把输出的稳态响应和输入正弦信号用复数表示,可以得到:(5.5)式中,第3页/共166页图5-1 RC电路第4页/共16

2、6页 G(j)是上述电路的稳态响应与输入正弦信号的复数比,称为频率特性。对比式(5.1)和式(5.5)可见,将传递函数中的s以j代替,即得频率特性。A()是输出信号的幅值与输入信号幅值之比,称为幅频特性。()是输出信号的相角与输入信号的相角之差,称为相频特性。上述RC电路的幅频和相频特性如图5-2所示。第5页/共166页图 5-2 RC电路的幅频和相频特性 第6页/共166页上述结论可推广到稳定的线性定常系统,设其传递函数为(5.6)式中N(s)和D(s)分别为分子、分母多项式,C(s)和R(s)分别为输出信号和输入信号的拉氏变换,p1,p2,pn为传递函数的极点,对于稳定系统,它们都具有负实

3、部。当输入信号为正弦信号时,(5.7)第7页/共166页若系统无重极点,则上式可写为 对上式作拉氏反变换,可得 若系统稳定,则pi都具有负实部,当t时,上式中的最后一项暂态分量将衰减至零。这时,系统的稳态响应为(5.8)(5.9)(5.10)第8页/共166页求出待定系数b1,b2,并代入上式可得 比较式(5.11)与式(5.5)得(5.11)(5.12)式(5.11)表明,对于稳定的线性定常系统,由正弦输入产生的输出稳态分量仍是与输入同频率的正弦函数,而幅值和相角的变化是频率的函数,且与系统数学模型相关。通常把(5.13)第9页/共166页称为系统的频率特性。它反映了在正弦输入信号作用下,系

4、统的稳态响应与输入正弦信号之间的关系。系统稳态输出信号与输入正弦信号的幅值比|G(j)|称为幅频特性,系统稳态输出信号与输入正弦信号的相移()称为相频特性。线性定常系统的传递函数为零初始条件下,输出和输入的拉氏变换之比 上式的反变换式为 第10页/共166页式中位于G(s)的收敛域。若系统稳定,则可以取为零。如果r(t)的傅氏变换存在,令s=j,则有 所以,上式表明,系统的频率特性为输出信号的傅氏变换与输入信号的傅氏变换之比,而这正是频率特性的物理意义。在工程分析和设计中,通常把线性系统的频率特性画成曲线,再运用图解法进行研究。常用的频率特性曲线有奈氏图和伯德图。(5.14)第11页/共166

5、页式(5.13)中的G(j)分为实部和虚部,即 X()称为实频特性,Y()称为虚频特性。在G(j)平面上,以横坐标表示X(),纵坐标表示jY(),这种采用极坐标系的频率特性图称为极坐标图或幅相曲线,又称奈奎斯特图。若将频率特性表示为复指数形式,则为复平面上的向量,而向量的长度为频率特性的幅值,向量与实轴正方向的夹角等于频率特性的相位。由于幅频特性为的偶函数,相频特性为的奇函数,则从零变化到正无穷大和从零变化到负无穷大的幅相曲线关于实轴对称,因此一般只绘制从零变化到正无穷大的幅相曲线。在奈氏图中,频率为参变量,一般用小箭头表示增大时幅相曲线的变化方向。上述RC电路的奈氏图如图5-3所示,图中G(

6、j)的轨迹为一半圆。第12页/共166页图 5-3 RC电路的奈氏图 第13页/共166页 在工程实际中,常常将频率特性画成对数坐标图形式,这种对数频率特性曲线又称伯德图,由对数幅频特性和对数相频特性组成。伯德图的横坐标按lg分度,即对数分度,单位为弧度/秒(rad/s),对数幅频曲线的纵坐标按 线性分度,单位是分贝(dB)。对数相频曲线的纵坐标按()线性分度,单位是度()。由此构成的坐标系称为半对数坐标系。第14页/共166页 对数分度和线性分度如图5-4所示。在线性分度中,当变量增大或减小1时,坐标间距离变化一个单位长度;而在对数分度中,当变量增大或减小10倍时,称为10倍频程(dec),

7、坐标间距离变化一个单位长度。设对数分度中的单位长度为L,0为参考点,则当以0为起点,在10倍频程内变化时,坐标点相对于0的距离为表5-1中的第二行数值乘以L。第15页/共166页图 5-4 对数分度和线性分度 第16页/共166页表 5-1 10倍频程内的对数分度 第17页/共166页 对数频率特性采用的对数分度实现了横坐标的非线性压缩,便于在较大频率范围反映频率特性的变化情况。对数幅频特性采用20lgA(),则将幅值的乘除运算化为加减运算,可以简化曲线的绘制过程。令=1,则用MATLAB画出上述RC电路的伯德图如图5-5所示，其程序如下：bode(1,1 1)第18页/共166页图 5-5

8、RC电路的伯德图 第19页/共166页5.2 典型环节的频率特性 1.比例环节比例环节的频率特性为 G(j)=K(5.15)显然,它与频率无关。相应的幅频特性和相频特性为 第20页/共166页对数幅频特性和相频特性为(5.17)图 5-6 比例环节的奈氏图 第21页/共166页图 5-7 比例环节的伯德图 第22页/共166页2.积分环节积分环节的频率特性为(5.18)其幅频特性和相频特性为(5.19)由式(5.19)可见,它的幅频特性与角频率成反比,而相频特性恒为-90。对数幅频特性和相频特性为(5.20)第23页/共166页图 5-8 积分环节的奈氏图 第24页/共166页图 5-9 积分

9、环节的伯德图 第25页/共166页 3.微分环节 微分环节的频率特性为(5.21)其幅频特性和相频特性为(5.22)由式(5.22)可见,微分环节的幅频特性等于角频率,而相频特性恒为90。对数幅频特性和相频特性为(5.23)第26页/共166页图 5-10 微分环节的奈氏图 第27页/共166页图 5-11 微分环节的伯德图 第28页/共166页4.惯性环节惯性环节的频率特性为(5.24)它的幅频特性和相频特性为(5.25)式(5.24)写成实部和虚部形式,即 第29页/共166页则有 即 所以,惯性环节的奈氏图是圆心在(0.5,0),半径为0.5的半圆(见图5-12)。对数幅频特性和相频特性

10、为(5.26)第30页/共166页图 5-12 惯性环节的奈氏图 第31页/共166页图 5-13 惯性环节的伯德图 第32页/共166页 当T=1时,=1/T称为交接频率,或叫转折频率、转角频率。惯性环节对数幅频特性曲线的绘制方法如下:先找到=1/T,L()=0dB的点,从该点向左作水平直线,向右作斜率为-20 dB/dec的直线。在低频段和高频段,精确的对数幅频特性曲线与渐近线几乎重合。在=1/T附近,可以选几个点,把由式(5.26)算出的精确的L()值标在图上,用曲线板光滑地连接起来,就得精确的对数幅频特性曲线。渐近线和精确曲线在交接频率附近的误差列于表5-2中。表 5-2 惯性环节对数

11、幅频特性曲线渐近线和精确曲线的误差 第33页/共166页由表可知,在交接频率处误差达到最大值:一般来说,这些误差并不影响系统的分析与设计。在低频段,很小,t1,()=-90。所以,()=0和()=-90是曲线()的两条渐近线,在交接频率处有 第34页/共166页表 5-3 惯性环节对数相频特性曲线角度值 第35页/共166页 惯性环节对数相频特性曲线是一条中心点对称的曲线,这可以证明如下:取两个关于=1/T对称的频率1=/T和2=1/(T),则有 因此有 这表明()是关于=1/T,()=-45这一点中心对称的。用MATLAB画出的惯性环节的伯德图如图5-14所示(T=1)。第36页/共166页

12、图 5-14 MATLAB绘制的惯性环节的伯德图 第37页/共166页5.一阶微分环节一阶微分环节的频率特性为(5.27)幅频特性和相频特性为(5.28)对数幅频特性和相频特性为(5.29)第38页/共166页图 5-15 一阶微分环节的奈氏图 第39页/共166页图 5-16 一阶微分环节的伯德图 第40页/共166页6.二阶振荡环节二阶惯性环节的频率特性为(5.30)它的幅频特性和相频特性为(5.31)第41页/共166页对数幅频特性和相频特性为(5.32)由式(5.31)得(T1)(T1)第42页/共166页所以有(=0)(+)第43页/共166页图 5-17 二阶振荡环节的奈氏图 第4

13、4页/共166页 画二阶振荡环节的伯德图时分析如下：在低频段,很小,T1,L()=-20lg(T)2=-40lg(T)dB。其对数幅频特性曲线可用上述低频段和高频段的两条直线组成的折线近似表示,如图5-18的渐近线所示。这两条线相交处的交接频率=1/T,称为振荡环节的无阻尼自然振荡频率。在交接频率附近,对数幅频特性与渐近线存在一定的误差,其值取决于阻尼比的值,阻尼比越小,则误差越大,如表5-4所示。当0.707时,在对数幅频特性上出现峰值。根据表5-5可绘制出不同阻尼比的相频特性曲线。二阶振荡环节的伯德图如图5-18所示。第45页/共166页表 5-4 二阶振荡环节对数幅频特性曲线渐近线和精确

14、曲线的误差(dB)第46页/共166页表 5-5 二阶振荡环节对数相频特性曲线角度值 第47页/共166页图 5-18 二阶振荡环节的伯德图 第48页/共166页7.迟后环节迟后环节的频率特性为(5.33)幅频特性和相频特性为(5.34)可见,其奈氏图是一个以坐标原点为中心,半径为1的圆。对数幅频特性和相频特性为(5.35)第49页/共166页图 5-19 迟后环节的奈氏图 第50页/共166页图 5-20 迟后环节的伯德图 第51页/共166页5.3 控制系统开环频率特性曲线的绘制 5.3.1 开环频率特性奈氏图的绘制 以后我们将会看到,在绘制奈氏图时有时并不需要绘制得十分准确,而只需要绘出

15、奈氏图的大致形状和几个关键点的准确位置就可以了。因此,由以上典型环节奈氏图的绘制,大致可将奈氏图的一般作图方法归纳如下:(1)写出A()和()的表达式;(2)分别求出=0和=+时的G(j);第52页/共166页 (3)求奈氏图与实轴的交点,交点可利用G(j)的虚部ImG(j)=0 的关系式求出,也可利用G(j)=n180(其中n为整数)求出;(4)如果有必要,可求奈氏图与虚轴的交点,交点可利用G(j)的实部ReG(j)=0的关系式求出,也可利用G(j)=n90(其中n为正整数)求出;(5)必要时画出奈氏图中间几点;(6)勾画出大致曲线。第53页/共166页例 5-1 试绘制下列开环传递函数的奈

16、氏图:解 该环节开环频率特性为=0,A()=10,()=0,即奈氏图的起点为(10,j0)；=+,A()=0,()=-180,即奈氏图的终点为(0,j0)。显然,从0变化到+,A()单调递减,而()则从0到-180但不超过-180。第54页/共166页 奈氏图与实轴的交点可由()=0得到,即为(10,j0);奈氏图与虚轴的交点可由()=270(即-90)得到,即 得1-0.12=0,2=10,则 第55页/共166页故奈氏图与虚轴的交点为(0,-j2.87)。其奈氏图如图5-21所示。用MATLAB绘制的奈氏图如图5-22所示。注意,一般手绘的奈氏图,其频率范围是0+,而MATLAB绘制奈氏图

17、时,则是从-+。MATLAB绘制程序如下：nyquist(10,conv(1 1,0.1 1)第56页/共166页图 5-21 例 5-1 的奈氏图 第57页/共166页图 5-22MATLAB绘制例 5-1 的奈氏图 第58页/共166页例 5-2 已知系统的开环传递函数为 试绘制其奈氏图。解 该传递函数的幅频特性和相频特性分别为 因此有=0,A()=1,()=0和=+,A()=0,()=-。即奈氏图的起点为(1,j0),终点为(0,j0),随着的增大,曲线距离原点越来越近,相角越来越负,奈氏图与实轴和虚轴有无穷多个交点。系统的奈氏图如图5-23所示。第59页/共166页图 5-23 例 5

18、-2 的奈氏图 第60页/共166页例 5-3 设系统的开环传递函数为 试绘制其奈氏图。解 该传递函数的幅频特性和相频特性分别为 所以有=0+,A()=+,()=-90-为正的很小量,故起点在第象限;=+,A()=0,()=-270+,故在第象限趋向终点(0,j0)。第61页/共166页 因为相角从-90变化到-270,所以必有与负实轴的交点。由()=-180得 即 上式两边取正切,得2=1/,即=0.707,此时A()=0.67。因此,奈氏图与实轴的交点为(-0.67,j0)。系统的奈氏图如图5-24所示。用MATLAB绘制(-1,j0)点附近的奈氏图如图5-25所示，其程序如下：nyqui

19、st(1,conv(conv(1 0,1 1),2 1)第62页/共166页 例5-3 中系统型次即开环传递函数中积分环节个数=1,若分别取=2,3和4,则根据积分环节的相角,将图5-24曲线分别绕原点旋转90,180和270即可得相应的奈氏图,如图5-26所示。第63页/共166页 图 5-24 例 5-3 的奈氏图 第64页/共166页图 5-25MATLAB绘制例 5-3 的奈氏图 第65页/共166页图 5-26=1,2,3,4时的奈氏图 第66页/共166页例 5-4 设系统的开环传递函数为 其中K=0.1,T=1,T1=0.2,T2=0.5。试绘制系统的奈氏图。解 该传递函数的幅频

20、特性和相频特性分别为 第67页/共166页 根据系统的幅频特性和相频特性有:=0+,A()=+，()=-90+,故奈氏图起点在第象限;=+,A()=0,()=-180+,故系统奈氏图在第象限趋向终点(0,j0)。因为相角范围为90180,所以必有与负虚轴的交点。由()=90 得-90+arctg-arctg0.2-arctg0.5=-90即arctg=arctg0.2+arctg0.5上式两边取正切,得2=3,即=1.732,此时A()=0.0825。所以,奈氏图与虚轴的交点为(0,-j0.0825)。系统奈氏图如图5-27所示。第68页/共166页图 5-27 例 5-4 的奈氏图 第69页

21、/共166页5.3.2 开环频率特性伯德图的绘制控制系统一般总是由若干环节组成的,设其开环传递函数为 G(s)=G1(s)G2(s)Gn(s)系统的开环频率特性为 或(5.36)第70页/共166页则系统的开环对数频率特性为(5.37)其中,Li()=20lgAi(),(i=1,2,n)。可见,系统开环对数幅频特性和相频特性分别由各个环节的对数幅频特性和相频特性相加得到。第71页/共166页例 5-5 绘制开环传递函数为 的零型系统的伯德图。解 系统开环对数幅频特性和相频特性分别为 第72页/共166页图 5-28 例 5-5 的伯德图 第73页/共166页 实际上,在熟悉了对数幅频特性的性质

22、后,不必先一一画出各环节的特性,然后相加,而可以采用更简便的方法。由上例可见,零型系统开环对数幅频特性的低频段为20lgK的水平线,随着的增加,每遇到一个交接频率,对数幅频特性就改变一次斜率。第74页/共166页例 5-6 设型系统的开环传递函数为 试绘制系统的伯德图。解 系统开环对数幅频特性和相频特性分别为 不难看出,此系统对数幅频特性的低频段斜率为20 dB/dec,它(或者其延长线)在=1 处与L1()=20 lgK的水平线相交。在交接频率=1/T处,幅频特性的斜率由20 dB/dec 变为40 dB/dec,系统的伯德图如图5-29所示。第75页/共166页图 5-29 例 5-6的伯

23、德图 第76页/共166页 通过以上分析,可以看出系统开环对数幅频特性有如下特点:低频段的斜率为20dB/dec,为开环系统中所包含的串联积分环节的数目。低频段(若存在小于1的交接频率时则为其延长线)在1处的对数幅值为20lgK。在典型环节的交接频率处,对数幅频特性渐近线的斜率要发生变化,变化的情况取决于典型环节的类型。如遇到G(s)(1+Ts)1的环节,交接频率处斜率改变20dB/dec;如遇二阶振荡环节,在交接频率处斜率就要改变40dB/dec,等等。第77页/共166页 综上所述,可以将绘制对数幅频特性的步骤归纳如下:(1)将开环频率特性分解,写成典型环节相乘的形式;(2)求出各典型环节

24、的交接频率,将其从小到大排列为1,2,3,并标注在轴上;(3)绘制低频渐近线(1左边的部分),这是一条斜率为-20 dB/dec的直线,它或它的延长线应通过(1,20lgK)点;(4)随着的增加,每遇到一个典型环节的交接频率,就按上述方法改变一次斜率;(5)必要时可利用渐近线和精确曲线的误差表,对交接频率附近的曲线进行修正,以求得更精确的曲线。对数相频特性可以由各个典型环节的相频特性相加而得,也可以利用相频特性函数()直接计算。第78页/共166页 例 5-7 已知系统的开环传递函数为 试绘制系统的伯德图。解 将开环传递函数写成如下典型环节乘积形式:第79页/共166页 可见,此系统由一个比例

25、环节、一个积分环节、一个惯性环节、一个一阶微分环节和一个二阶振荡环节组成,且1=1.414,2=2,3=3。20lgK=20lg7.5=17.5。阻尼比=0.354。在确定了各个环节的交接频率和20 lgK的值以后,可按下列步骤绘制系统的伯德图:(1)通过点(1,17.5)画一条斜率为20dB/dec的直线,它就是低频段的渐近线;(2)在1=1.414处,将渐近线的斜率从20dB/dec改为60 dB/dec,这是考虑振荡环节的作用;第80页/共166页 (3)由于一阶惯性环节的影响,从2=2起,渐近线斜率应减少20dB/dec,即从原来的60dB/dec变为80dB/dec;(4)在3=3处

26、,渐近线的斜率改变20 dB/dec,形成斜率为60dB/dec的线段,这是由于一阶微分环节的作用;(5)根据相频特性(),求出若干点的相频特性曲线角度值,如表5-6所示,将各点光滑连接,可以绘制系统的相频特性。开环系统的伯德图如图5-30所示(虚线为渐近线)。绘制程序如下：bode(10 30,conv(conv(1 0,1 2),1 1 2)第81页/共166页表 5-6 例5-7系统对数相频特性曲线角度值 第82页/共166页图 5-30 例 5-7 的伯德图 第83页/共166页5.3.3 最小相位系统 在以上几个例子中,系统传递函数的极点和零点都位于s平面的左半部,这种传递函数称为最

27、小相位传递函数;否则,称为非最小相位传递函数。具有最小相位传递函数的系统,称为最小相位系统;而具有非最小相位传递函数的系统,则称为非最小相位系统。对于幅频特性相同的系统,最小相位系统的相位迟后是最小的,而非最小相位系统的相位迟后则必定大于前者。当单回路系统中只包含比例、积分、微分、惯性和振荡环节时,系统一定是最小相位系统。如果在系统中存在迟后环节或者不稳定的环节(包括不稳定的内环回路)时,系统就成为非最小相位系统。第84页/共166页 对于最小相位系统,对数幅频特性与相频特性之间存在着唯一的对应关系。根据系统的对数幅频特性,可以唯一地确定相应的相频特性和传递函数,反之亦然。但是,对于非最小相位

28、系统,就不存在上述的这种关系。实用的大多数系统为最小相位系统,为了简化工作量,对于最小相位系统的伯德图,可以只画幅频特性。例如有一最小相位系统,其频率特性为 第85页/共166页另有一非最小相位系统,其频率特性如下:(T2T10)从图5-31不难看出,这两个系统的对数幅频特性是完全相同的,而相频特性却根本不同。前一系统的相角1()变化范围很小,而后一系统的相角2()随着角频率的增加却从0变到趋于-180。绘制程序如下：bode(1 1,100 1)hold on bode(-1 1,100 1)第86页/共166页图 5-31 最小相位系统和非最小相位系统的伯德图 第87页/共166页例 5-

29、8 绘制开环传递函数为 的伯德图。解 系统的幅频特性和相频特性分别为 可见,此系统的幅频特性与惯性环节相同,而其相频特性却比惯性环节多了一项-。显然,它的迟后相角增加很快。开环系统的伯德图如图5-32所示。第88页/共166页图 5-32 例 5-8 的伯德图 第89页/共166页5.4 频域稳定性判据 5.4.1 映射定理 设有一复变函数为 s为复变量,以s复平面上的s+j表示。F(s)为复变函数,记F(s)U+jV。(5.38)第90页/共166页 设对于s平面上除了有限奇点之外的任一点s,复变函数F(s)为解析函数,那么,对于s 平面上的每一解析点,在F(s)平面上必定有一个对应的映射点

30、。因此,如果在s 平面画一条封闭曲线,并使其不通过F(s)的任一奇点,则在F(s)平面上必有一条对应的映射曲线,如图5-33所示。若在s平面上的封闭曲线是沿着顺时针方向运动的,则在F(s)平面上的映射曲线的运动方向可能是顺时针的,也可能是逆时针的,这取决于F(s)函数的特性。我们感兴趣的不是映射曲线的形状,而是它包围坐标原点的次数和运动方向,因为这两者与系统的稳定性密切相关。第91页/共166页图5-33 s平面与F(s)平面的映射关系第92页/共166页根据式(5.38),复变函数F(s)的相角可表示为(5.39)假定在s平面上的封闭曲线包围了F(s)的一个零点z1,而其他零极点都位于封闭曲

31、线之外,则当s沿着s平面上的封闭曲线顺时针方向移动一周时,向量(s z1)的相角变化-2 弧度,而其他各相量的相角变化为零。这意味着在F(s)平面上的映射曲线沿顺时针方向围绕着原点旋转一周,也就是向量F(s)的相角变化了-2弧度,如图5-34所示。若s平面上的封闭曲线包围着F(s)的Z个零点,则在F(s)平面上的映射曲线将按顺时针方向围绕着坐标原点旋转Z周。第93页/共166页图 5-34 封闭曲线包围z1时的映射情况 第94页/共166页 用类似分析方法可以推论,若s平面上的封闭曲线包围了F(s)的P个极点,则当s沿着s平面上的封闭曲线顺时针移动一周时,在F(s)平面上的映射曲线将按逆时针方

32、向围绕着原点旋转P周。综上所述,映射定理可以归纳如下:映射定理 设s平面上的封闭曲线包围了复变函数F(s)的P个极点和Z个零点,并且此曲线不经过F(s)的任一零点和极点,则当复变量s 沿封闭曲线顺时针方向移动时,在F(s)平面上的映射曲线按逆时针方向包围坐标原点P-Z周。第95页/共166页5.4.2 奈奎斯特稳定判据设系统的开环传递函数为 mn 此系统的特征方程为 第96页/共166页图 5-35 奈氏回线 第97页/共166页 由上式可见,复变函数F(s)的零点为系统特征方程的根(闭环极点)s1、s2、sn,而F(s)的极点则为系统的开环极点p1、p2、pn。闭环系统稳定的充分和必要条件是

33、,特征方程的根,即F(s)的零点,都位于s平面的左半部。为了判断闭环系统的稳定性,需要检验F(s)是否有位于s 平面右半部的零点。为此可以选择一条包围整个s平面右半部的按顺时针方向运动的封闭曲线,通常称为奈奎斯特回线,简称奈氏回线,如图5-35所示。奈氏回线由两部分组成,一部分是沿着虚轴由下向上移动的直线段C1,在此线段上sj,由变到；另一部分是半径为无穷大的半圆C2。如此定义的封闭曲线肯定包围了F(s)的位于s平面右半部的所有零点和极点。第98页/共166页 设复变函数F(s)在s平面的右半部有Z个零点和P个极点。根据映射定理,当s沿着s平面上的奈氏回线移动一周时,在F(s)平面上的映射曲线

34、CF=1G(s)H(s)将按逆时针方向围绕坐标原点旋转N=PZ周。由于闭环系统稳定的充要条件是,F(s)在s平面右半部无零点,即Z0。因此可得以下的稳定判据。第99页/共166页 奈奎斯特稳定判据 如果在s平面上,s沿着奈氏回线顺时针方向移动一周时,在F(s)平面上的映射曲线CF围绕坐标原点按逆时针方向旋转N=P周,则系统是稳定的。根据系统闭环特征方程有G(s)H(s)=F(s)-1(5.41)这意味着F(s)的映射曲线CF围绕原点运动的情况,相当于G(s)H(s)的封闭曲线CGH围绕着(1,j0)点的运动情况,如图5-36所示。第100页/共166页图 5-36 奈氏曲线映射在F(s)平面和

35、G(s)H(s)平面上 第101页/共166页 绘制映射曲线CGH的方法是:令sj代入G(s)H(s),得到开环频率特性G(j)H(j),按前面介绍的方法画出奈氏图,再画出其对称于实轴的、从0变到的那部分曲线。至于映射曲线上对应于的部分,由于在实际物理系统中mn,当nm时G(s)H(s)趋近于零,nm时G(s)H(s)为实常数。因此,只要绘制出从变化到 的开环频率特性,就构成了完整的映射曲线CGH。第102页/共166页 综上所述,可将奈氏判据表述如下:闭环控制系统稳定的充分和必要条件是,当从变化到时,系统的开环频率特性G(j)H(j)按逆时针方向包围(1,j0)点P周,P为位于s平面右半部的

36、开环极点数目。显然,若开环系统稳定,即位于s 平面右半部的开环极点数P0,则闭环系统稳定的充分和必要条件是:系统的开环频率特性G(j)H(j)不包围(1,j0)点。第103页/共166页例 5-9 已知开环传递函数为 试绘制(1)K=5,(2)K=10时的奈氏图,并判断系统的稳定性。解 (1)当K=5时,开环幅频特性和相频特性分别为 第104页/共166页 从而有=0+时,A()=5,()=0;=+时,A()=0,()=-270+,故奈氏图在第象限趋向终点(0,j0)。因为相角范围为0270,所以必有与负实轴的交点。当=1.8时,()=-177,A()=0.66;当=1.9时,()=181,A

37、()=0.59。所以,当=1,1.811.9时,()=180,A()=A1,0.59 A1 0.66,因此与实轴的交点在(1,j0)点的右侧。奈氏图如图5-37所示。因为s平面右半部的开环极点数P0,且奈氏曲线不包围(1,j0)点,即N=0,则ZPN=0,所以系统稳定。第105页/共166页 (2)当K=10时,奈氏图形状与(1)相同,只是以坐标原点为中心,向外“膨胀”而已。“膨胀”的倍数为10/5=2,故与实轴的交点的横坐标在(0.592,0.662)之间,即交点在(1,j0)点的左侧。因为s 平面右半部的开环极点数P0,且奈氏曲线顺时针包围(1,j0)点2次,即N=2,则ZPN=2,所以系

38、统不稳定,有两个闭环极点在s 平面右半部。用MATLAB绘制的奈氏图如图 5-38 所示，其程序如下：nyquist(5,conv(conv(1 0.5,1 1),1 2)第106页/共166页图 5-37 例 5-9 的奈氏图 第107页/共166页图 5-38 MATLAB绘制例 5-9 的奈氏图 第108页/共166页5.4.3 虚轴上有开环极点时的奈氏判据 虚轴上有开环极点的情况通常出现在系统中有串联积分环节的时候,即在s平面的坐标原点有开环极点。这时不能直接应用图5-35所示的奈氏回线,因为映射定理要求此回线不经过F(s)的奇点。为了在这种情况下应用奈氏判据,可以选择图5-39所示的

39、奈氏回线,它与图5-35中奈氏回线的区别仅在于,此回线经过以坐标原点为圆心,以无穷小量为半径的,在s平面右半部的小半圆,绕过了开环极点所在的原点。当0时,此小半圆的面积也趋近于零。因此,F(s)的位于s平面右半部的零点和极点均被此奈氏回线包围在内，而将位于坐标原点处的开环极点划到了左半部。这样处理是为了适应奈氏判据的要求,因为应用奈氏判据时必须首先明确位于s平面右半部和左半部的开环极点的数目。第109页/共166页图 5-39 虚轴上有极点的奈氏回线第110页/共166页当s沿着上述小半圆移动时,有 当从0-沿小半圆变到0+时,s按逆时针方向旋转了180,G(s)H(s)在其平面上的映射为 为

40、系统中串联的积分环节数目。第111页/共166页 由以上分析可见,当s沿着小半圆从=0-变化到=0+时,角从90经0变化到90,这时在G(s)H(s)平面上的映射曲线将沿着半径为无穷大的圆弧按顺时针方向从90经过 0 转到90。第112页/共166页例 5-10 绘制开环传递函数为 的奈氏图,并判断系统的稳定性。解 开环幅频特性和相频特性分别为 第113页/共166页 从而有=0+时,A()=,()=-90-,为正的很小量,故起点在第象限;=+时,A()=0,()=-270+,故在第象限趋向终点(0,j0)。因为相角范围从90到270,所以必有与负实轴的交点。由()=180得 即 上式两边取正

41、切,得0.5=1/,即=1.414,此时A()=1.67。因此奈氏图与实轴的交点为(1.67,j0)。系统开环传递函数有一极点在s平面的原点处,因此奈氏回线中半径为无穷小量的半圆弧对应的映射曲线是一个半径为无穷大的圆弧:第114页/共166页:0-0+;:90 0 90;():90 0 90 奈氏图如图5-40所示。因为s 平面右半部的开环极点数P0,且奈氏曲线顺时针包围(1,j0)点2次,即N=2,则ZPN=2,所以系统不稳定,有两个闭环极点在s 平面右半部。用MATLAB绘制(1,j0)点附近的奈氏图如图5-41所示，其程序如下：nyquist(10,conv(conv(1 0,1 1),

42、1 2)第115页/共166页图 5-40 例 5-10 的奈氏图 第116页/共166页图 5-41 MATLAB绘制例 5-10 的奈氏图 第117页/共166页例 5-11 绘制开环传递函数为 的奈氏图,并判断系统的稳定性。解 开环幅频特性和相频特性分别为 从而有=0+时,A()=,()=-180-,为正的很小量,故奈氏图起点在第象限;=+时,A()=0,()=-360+,故在第象限趋向终点(0,j0)。第118页/共166页 系统开环传递函数有2个极点在s 平面的原点处,因此奈氏回线中半径为无穷小量的半圆弧对应的映射曲线是一个半径为无穷大的圆弧:0-0+;:90090;():180 0

43、180奈氏图如图5-42所示。因为s平面右半部的开环极点数P0,且奈氏曲线顺时针包围(1,j0)点2次,即N=2,则ZPN=2,所以系统不稳定,有两个闭环极点在s平面右半部。用MATLAB绘制(1,j0)点附近的奈氏图如图5-43所示，其程序如下：nyquist(10,conv(conv(1 0 0,1 1),1 2)第119页/共166页图 5-42 例 5-11 的奈氏图 第120页/共166页图 5-43 MATLAB绘制例 5-11 的奈氏图 第121页/共166页 5.4.4 对数频率稳定判据 对数频率稳定判据实际上是奈氏判据的另一种形式,即利用开环系统的伯德图来判别系统的稳定性。系

44、统开环频率特性的奈氏图(极坐标图)和伯德图之间有如下对应关系:奈氏图上以原点为圆心的单位圆对应于伯德图对数幅频特性的0分贝线;奈氏图上的负实轴对应于伯德图上相频特性的180线。伯德图上,()从180线以下增加到180线以上,称为()对180线的正穿越;反之,称为负穿越。第122页/共166页图 5-44 例 5-12 的伯德图 第123页/共166页 对数频率稳定判据可表述如下:闭环系统稳定的充分必要条件是,当由0变到时,在开环对数幅频特性L()0的频段内,相频特性()穿越180线的次数(正穿越与负穿越次数之差)为P/2。P为s平面右半部开环极点数目。注意,奈氏判据中,s沿着奈氏回线顺时针方向

45、移动一周,故由变到,所以伯德图中由0变到时,穿越次数为P/2,而不是P。对于开环稳定的系统,此时，P=0，若在L()0的频段内，相频特性()穿越-180线的次数(正穿越与负穿越之差)为0则闭环系统稳定;否则闭环系统不稳定。第124页/共166页例 5-12 系统开环传递函数为 试用对数稳定判据判断其稳定性。解 伯德图如图5-44所示。此系统的开环传递函数在s平面右半部没有极点,即P=0,而在L()0的频段内,相频特性()不穿越180线,故闭环系统必然稳定。第125页/共166页5.5 稳 定 裕 度 从奈氏判据可知,若系统的开环传递函数没有右半平面的极点,且闭环系统是稳定的,那么奈氏曲线G(j

46、)H(j)离(1,j0)点越远,则闭环系统的稳定程度越高;反之,G(j)H(j)离(1,j0)点越近,则闭环系统的稳定程度越低;如果G(j)H(j)穿过(1,j0)点,则意味着闭环系统处于临界稳定状态。这便是通常所说的相对稳定性,它通过G(j)H(j)对(1,j0)点的靠近程度来度量,其定量表示为相角裕度和增益裕度Kg,如图5-45所示。第126页/共166页图 5-45 相角裕度和增益裕度 第127页/共166页图 5-45 相角裕度和增益裕度 第128页/共166页 1.相角裕度 在频率特性上对应于幅值A()1的角频率称为剪切频率,以c表示,在剪切频率处,相频特性距180线的相位差叫做相角

47、裕度。图5-45(a)表示的具有正相角裕度的系统不仅稳定,而且还有相当的稳定储备,它可以在c的频率下,允许相角再增加(迟后)度才达到临界稳定状态。因此相角裕度也叫相位稳定性储备。对于稳定的系统,必在伯德图180线以上,这时称为正相角裕度,或者有正相角裕度,如图5-45(c)所示。对于不稳定系统,必在180线以下,这时称为负相角裕度,如图5-45(d)所示。故有(5.42)第129页/共166页 2.增益裕度Kg 在相频特性等于180的频率g处,开环幅频特性A(g)的倒数称为增益裕度,记做Kg,即(5.43)在伯德图上,增益裕度改以分贝(dB)表示,Kg=-20 lgA(g)。此时,对于稳定的系

48、统,L(g)必在伯德图0 dB线以下,这时称为正增益裕度,如图5-45(c)所示。对于不稳定系统,L(g)必在0 dB线以上,这时称为负增益裕度,如图5-45(d)所示。以上表明,在图5-45(c)中,对数幅频特性还可上移Kg,即开环系统的增益增加Kg倍,则闭环系统达到稳定的临界状态。第130页/共166页 在奈氏图中,奈氏曲线与负实轴的交点到原点的距离即为1/Kg,它代表在频率g处开环频率特性的模。显然,对于稳定系统,1/Kg 1,如图5-45(a)所示;对于不稳定系统有1/Kg 1,如图5-45(b)所示。对于一个稳定的最小相位系统,其相角裕度应为正值,增益裕度应大于1。严格地讲,应当同时

49、给出相角裕度和增益裕度,才能确定系统的相对稳定性。但在粗略估计系统的暂态响应指标时,有时主要对相角裕度提出要求。保持适当的稳定裕度,可以预防系统中元件性能变化可能带来的不利影响。为使系统有满意的稳定储备,以及得到较满意的暂态响应,在工程实践中,一般希望为4560，Kg 10dB,即Kg 3。第131页/共166页例 5-13 单位反馈系统开环传递函数为 分别求取K1=10及K1=100时的相角裕度和增益裕度。解 相角裕度可通过对数幅频特性用图解法求出。K1=10时,1=1,2=5。20 lgK=20 lg2=6dB。画出对数幅频特性曲线,如图5-46所示。第132页/共166页图 5-46 例

50、 5-13 的伯德图(幅频特性)第133页/共166页 由图可知:所以剪切频率 。相角裕度为 当K1从10变到100时,幅频特性上移20lg(100/10)20dB,如图5-46中虚线所示。第134页/共166页所以K1=100时对应的剪切频率为。相角裕度为 欲求增益裕度,则须先求出g,这里给出MATLAB计算的值,如图5-47所示，其程序如下：sys=tf(100,conv(conv(1 0,1 1),1 5);margin(sys);figure sys=tf(10,conv(conv(1 0,1 1),1 5);margin(sys)第135页/共166页图 5-47 MATLAB绘制的