自动控制系统数学模型lj.pptx

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1、 建立合理的数学模型（简称：建模），对于系统的学习是至关重要的。系统建模一般采用解析法或实验法。第1页/共122页2.1 系统微分方程模型建立微分方程式的方法有两种：一种是解析法，即根据各环节所遵循的物理规律（如力学电磁学运动学热学等）来编写。本节重点讨论这种方法。另一种方法是实验辨识法，即根据实验数据进行整理编写。我们通过简单例子介绍解析法。第2页/共122页例1 列写图2.1所示RLC网络的微分方程。图2.1 RLC网络在做此题之前，先复习一下关于电感与电容的知识。第3页/共122页复习：电感与电容的知识uLi(t)请作为公式记下来！第4页/共122页(2.1)(2.2)解：图2.1 RL

2、C网络第5页/共122页(2.3)(2.4)第6页/共122页【例2-2】建立如图2-2所示滤波电路以U1为输入量、U2为输出量的微分方程。其中i1,i2i1,i2为中间变量。图2-2 滤波电路第7页/共122页图2-2 滤波电路解：（1）该系统为电学系统，遵循电学系统的相关规律。（2）由电工学知识中基尔霍夫定律，列写各环节或元件的方程为（2-7）（2-8）（2-9）第8页/共122页（4）由式（2-7）式（2-9）消去中间变量可得（5）标准化。将与系统输出量有关的各项写在方程的左端，与系统输入量有关的各项写在方程的右端，并把有关参数用具有一定物理意义的量来表示，可得式中，T1=R1C1R2C

3、2，T2=R1C1+R2C2+R1C2为时间常数。（2-10）（2-11）请大家动动手计算一下！上面（2-11）微分方程为二阶微分方程。第10页/共122页建立微分方程的步骤(1)（1）根据系统的工作原理，分析系统由哪些部分组成以及各部分如何联系在一起组成闭环系统的。（2）确定组成该系统的输入量、输出量及使用的中间变量。（3）从系统的输入端开始，根据各元件或环节所遵循的物理规律，依次列写各元件或环节的微分方程。第11页/共122页建立微分方程的步骤(2)（4）将各元件或环节的微分方程联立起来消去中间变量，得到一个仅含有系统输入量与输出量的微分方程，即为整个系统的运动方程。（5）标准化。将与系统

4、输入量有关的各项放在等号右侧，与输出变量有关的各项放在等号左侧，并按降幂排列，最后将系统有关参数规划为具有一定物理意义的形式。第12页/共122页注意 我们要求熟练掌握涉及RLC电路的微分方程的建模，对于机电系统以及机械系统建立微分方程不作要求，仅供大家参考。第13页/共122页补充：Laplace变换基础拉氏变换的概念 若将实变量t的函数f(t)乘以指数函数est（其中s=+j，是一个复变数），再在0到之间对t进行积分，就得到一个新的函数F(s)。F(s)称为f(t)的拉氏变换，可用符号Lf(t)表示。上式称为拉氏变换的定义式。为了保证式中等号右边的积分存在，f(t)应满足下列条件：（1）若

5、t0，则f(t)=0。（2）若t0，则f(t)为分段连续。（3）若t，则est较f(t)衰减得更快。由于 是一个定积分，t将在新函数中消失。因此，F(s)只取决于s，它是复变数s的函数。拉氏变换将原来的实变量函数f(t)转化为复变量函数F(s)。拉氏变换是一种单值变换，f(t)和F(s)之间具有一一对应的关系，通常称f(t)为原函数，F(s)为象函数。第20页/共122页常用函数的拉氏变换原函数f(t)象函数F(s)(t)1l(t)teatt n(n=1,2,3)teatsintcost 实用中，常把原函数与象函数之间的对应关系列成对照表的形式。通过查表就能够知道原函数的象函数或象函数的原函数

6、。常用函数的拉氏变换对照表如表2-1所示。表2-1 2-1 常用函数拉氏变换表第21页/共122页拉氏变换的基本定理（1 1）线性定理。1.两个函数和的拉氏变换等于两个函数拉氏变换的和，即Lf1(t)+f2(t)=Lf1(t)+Lf2(t)=F1(s)+F2(s)2.函数放大K倍的拉氏变换等于函数拉氏变换的K倍，即 LKf(t)=KF(s)（2 2）微分定理。函数求导的拉氏变换等于函数拉氏变换乘以s的求导次幂（初始条件需为零），即当初始条件f(0)=0时，Lf(t)=sF(s)。同理，若初始条件为f(0)=f(0)=f(n1)（0）=0则 Lf(n)(t)=snF(s)（3 3）积分定理。函数

7、积分的拉氏变换等于函数拉氏变换除以s的积分次幂（初始条件需为零），即当初始条件 时，。同理，当初始条件为零时，则有第22页/共122页拉氏变换的基本定理（4 4）初值定理。函数初始值（t0的数值），等于函数拉氏变换乘以s后的s的极限值，即（5 5）终值定理。函数的稳态值（t的数值）等于函数拉氏变换乘以s后的s0的极限值，即 拉氏变换理论在现代科学技术各个领域中得到广泛的应用。在古典控制理论中，拉氏变换法可将实数域中的微分、积分运算变换为复数域内简单的代数运算。而且在变换过程中，还可以将初始条件的影响很容易地考虑进去。同时，拉氏变换、反变换的运算可以查拉氏变换表，如表2-1所示，这将大大减少工作

8、量。复习完拉氏变换相关内容，我们开始学习传递函数的内容。第23页/共122页2.3 传递函数2.3.1 传递函数的定义和性质（1）定义 线性定常系统的传递函数，定义为零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。第24页/共122页设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述：设 y(t)和 u(t)及各阶导数在t=0时的值均为零，即零初始条件，则对上式中各项分别求拉氏变换，并令 可得s的代数方程为:第25页/共122页于是，即得系统传递函数为上式G(S)。接上页：第26页/共122页（2）传递函数具有以下性质1）传递函数是复变量S的有理真分式函数，具有复变函数的所有性质。mn且所有

9、系数均为实数。2）传递函数是系统或元件数学模型的另一种形式，是一种用系统参数表示输出量与输入量之间关系的表达式。3）传递函数与微分方程有相通性。4）传递函数G(S)的拉氏反变换是脉冲响应g(t),g(t)是系统在单位脉冲(t)输入时的输出响应。第27页/共122页例6 已知某RLC网络的微分方程为解：当初始条件为零时，拉氏变换为则传递函数为第28页/共122页2.3.2 典型环节的传递函数比例环节微分环节积分环节比例-微分环节一阶惯性环节二阶振荡环节延迟环节这些典型环节是：一个物理系统是由许多元件组合而成的。虽然各种元件的具体结构和作用原理是多种多样的，但若抛开具体结构和物理特点，从传递函数的

10、数学模型来看，可以划分成几种典型环节：第29页/共122页 典型环节是按照数学模型的共性划分的，它和具体元件不一定是一一对应的。典型环节只代表一种特定的运动规律，不一定是一种具体的元件。第30页/共122页（1）比例环节定义：比例环节又称放大环节，其输出量与输入量之间的关系为一种固定的比例关系。比例环节的表达式为：比例环节的传递函数为：式中K为常数，称为比例环节的放大系数或增益。特点：输入输出量成比例，无失真和时间延迟。实例：比例放大器，齿轮，电阻（电位器)等。第31页/共122页（2）微分环节1）理想微分环节定义：在暂态过程中，输出量为输入量的微分，即：特点：输出量正比输入量变化的速度，能预

11、示输入信号的变化趋势。第32页/共122页图2.7(C)微分环节举例：测速发电机当其输入量为转角 ，输出量为电枢电压uc时，具有微分环节作用。当测速发电机的角速度为，则而测速发电机的输出电压uc与其角速度成正比，由此传递函数为第33页/共122页2）实际微分环节图2.7（a）uc如图2.7（a）所示的RC串联电路是实际中常用的微分环节的例子。图2.7（a）所示的电路的微分方程为相应的传递函数为当RC1时第34页/共122页3）比例微分环节图2.7（b）所示的RC电路也是微分环节。图2.7（b）该电路的传递函数为:T=RC-微分时间常数第35页/共122页（3）积分环节特点：输出量与输入量的积分

12、成正比例积分环节的动态方程为：或对应的传递函数为：实例：积分放大器第36页/共122页举例：运算放大器构成的积分环节，输入ur(t)，输出uc(t)，其传递函数为 ur(t)uc(t)大家想想怎么来求传递函数！第37页/共122页由运算放大器组成的积分器，其输入电压u r（t）和输出电压uc（t）之间的关系为:对上式进行拉氏变换，可以求出传递函数为解：第38页/共122页（4）一阶惯性环节假设一阶惯性环节的微分方程为：其传递函数可以写成如下表达式：（2.34）（2.35）第39页/共122页图2.9 RC电路举例：一阶惯性环节ur(t)uc(t)第40页/共122页其输入电压ur（t）和输出电

13、压uc（t）之间的关系为：对上式进行拉氏变换，可以求出传递函数为:解：第41页/共122页（5）二阶振荡环节(二阶惯性环节)假设二阶振荡环节的微分方程为：其传递函数为:（2.36）（2.37）式中n 为无阻尼自然振荡角频率，为阻尼比，在后面时域分析(第3章)中将详细讨论。第42页/共122页（6）延迟环节(时滞环节)其数学表达式为输出量在零初始条件下的拉氏变换为所以，延迟环节的传递函数为特点：输入信号加入后，输出信号要延迟一段时间后才重现输入信号。式中称延迟时间 第43页/共122页 需要指出，在实际生产中，有很多场合是存在迟延的，比如皮带或管道输送过程、管道反应和管道混合过程，多个设备串联以

14、及测量装置系统等。迟延过大往往会使控制效果恶化，甚至使系统失去稳定。补充：第44页/共122页2.4 系统结构图及其等效变换 在控制工程中，为了便于对系统进行分析和设计，常将各元件在系统中的功能及各部分之间的联系用图形来表示，即结构图和信号流图。结构图信号流图本节内容2.5节内容第45页/共122页2.4.1 系统结构图 结构图是由许多对信号进行单向运算的方框和一些信号流向线组成；构成方框图的基本符号有四种，即信号线、比较点、传递环节的方框和引出点。结构图：具有形象和直观的特点。系统结构图是系统中各元件功能和信号流向的图解，它清楚地表明了系统中各个环节间的相互关系。1.由图2.10，我们来学习

15、系统结构图的4种基本符号。第46页/共122页图2.10 结构图的基本组成单元信号线引出点（或测量点）比较点（或综合点）方框（或环节）（1）信号线：是带有箭头的直线，箭头表示信号的传递方向，传递线上标明被传递的信号，如图2.10（a）所示。（2）引出点：从同一信号处引出的各信号，在数值和性质上完全相同，引出点可以表示信号引出或被测量的位置，如图2.10（b）所示。（3）比较点：对两个以上的信号进行代数运算。箭头上的加号或减号表示信号是相加还是相减。如图2.10（c）所示。（4）方框：表示对输入信号进行的数学运算。方框中写入元件的传递函故，可作为单向运算的算子。这时，方框的输出量与输入量具有确定

16、的因果关系，即Y(s)=G(s)U(s)。图2.10（d）所示为一个方框单元。第47页/共122页2.2.结构图的作用（1）简单明了地表达了系统的组成和相互联系，可以方便地评价每一个元件对系统性能的影响。信号的传递严格按照单向性原则，对于输出对输入的反作用，通过反馈支路来单独表示。（2）对结构图进行一定的代数运算和等效变换，可方便地求得整个系统的传递函数。3.3.建立系统结构图的基本步骤：（1）列写每个元件的原始方程（可以保留所有变量，这样在结构图中可以明显地看出各元件的内部结构和变量，便于分析作用原理），要考虑相互间的负载效应。（2）设置初始条件为零，对这些方程进行拉氏变换，并将每个变换后的

17、方程分别以下一个方程的形式将因果关系表示出来，而且这些方框中的传递函数都应具有典型环节的形式。（3）将这些方框单元按信号流向连接起来，就组成了完整的结构图。下面举例说明系统结构图的建立！第48页/共122页例1：图中为一无源RC网络。选取变量如图所示，根据电路定律，（1）写出其微分方程组（2）画出系统结构图。第49页/共122页解：零初始条件下，对等式两边取拉氏变换，得 第50页/共122页 RC网络方框图 各环节方框图 第51页/共122页例2：书中的例子：将上面各环节的方框图按照信号的传递方向用信号线依次连接起来，就得到速度控制系统的结构图。如图2.11所示。第52页/共122页图2.11

18、 速度控制系统结构图注意：书中的错误在哪？K3第53页/共122页2.4.2 结构图的等效变换和简化 有了系统的方框图以后，为了对系统进行进一步的分析学习，需要对方框图作一定的变换和简化，以便求出系统的闭环传递函数。方框图的变换和简化应按等效原则进行。所谓等效，即对方框图的任一部分进行变换时，变换前、后输入输出总的数学关系式应保持不变。考虑到方框间的连接有串联、并联和反馈三种基本形式。因此，结构图的简化的一般方法是移动引出点或比较点，将串联、并联和反馈连接的方框合并。在简化过程中遵循“等效原则”。第54页/共122页（1）环节的串联 在单向的信号传递中，若前一个环节的输出就是后一个环节的输入，

19、并依次串接如图2.12(a)所示，这种联接方式称为串联。图2.12(a)结构图串联连接由图2.12（a）有于是得：第55页/共122页接上：其中，G(s)=G1(s)G2(s)，是串联环节的等效传递函数，可用图2.12(b)来表示。图2.12 结构图串联连接及其简化同样，此结论可以推广到n个环节串联的情况。U(s)Y(s)G(s)第56页/共122页（2）环节的并联 若各个环节接受同一输入信号而输出信号又汇合在一点时，称为并联。图2.14(a)结构图并联连接由图2.14（a）有则有第57页/共122页接上：其中，G(s)=G1(s)G2(s)，是并联环节的等效传递函数，可用图2.12(b)来表

20、示。图2.14 结构图并联连接及简化同样，此结论可以推广到n个环节并联的情况。第58页/共122页（3）环节的反馈连接 若传递函数分别为G（s）和H（s）的两个环节如图2.15（a）形式连接，则称为反馈连接。“+”号为正反馈，表示输入信号与反馈信号相加，“-”号则表示相减，为负反馈。图2.15 结构图反馈连接由图2.15（a）得于是有第59页/共122页图2.15 结构图反馈连接及其简化接上页：第60页/共122页（4）引出点的移动引出点的移动（A）引出点前移。引出点前移的等效变换法则是：乘以引出点所经过的传递函数，如图2-26所示。图：引出点前移UUYYYY第61页/共122页（4）引出点的

21、移动（续）图：分支点后移引出点的移动（B）引出点后移。引出点后移的等效变换法则是：除以引出点所经过的传递函数。YYUUUU第62页/共122页（*5）比较点的移动比较点移动的具体法则如下。（A）比较点前移。比较点前移的等效变换法则是：除以比较点所经过的传递函数，如图2-28所示。图：比较点前移UYQYQU第63页/共122页（5*）比较点的移动(续)比较点移动的具体法则如下。（B）比较点后移。比较点后移的等效变换法则是：乘以比较点所经过的传递函数，如图2-29所示。图：比较点后移UUYYQQ第64页/共122页第65页/共122页U第66页/共122页第67页/共122页例7 试求图2.16所

22、示多回路系统的闭环传递函数。图2.16第68页/共122页图2.17第69页/共122页可以求得第70页/共122页图2.18例8 设多环系统的结构图如图2.18所示，试对其进行简化，并求闭环传递函数。B思路：引出点前移注意：此系统中存在2个相互交错的局部反馈，化简时考虑将引出点或比较点移到适当的位置，将结构图变换为无交错的局部反馈的图形。第71页/共122页图2.19解：步骤1：步骤2：思路：引出点前移第72页/共122页图2.19步骤3：第73页/共122页【补充1】系统结构图如图所示，求传递函数。思路：引出点后移注意：此系统中存在2个相互交错的局部反馈，化简时考虑将引出点或比较点移到适当

23、的位置，将结构图变换为无交错的局部反馈的图形。第74页/共122页解：思路：引出点后移第75页/共122页经过化简，得到传递函数为：第76页/共122页 由上面的例子可以总结出简化结构图的具体步骤如下。（1）确定系统的输入量和输出量。如果系统有多个输入量，每次只保留一个输入量，令其他输入量为零，分别对每个输入量进行结构图简化，求得有关的传递函数。对于有多个输出量的系统，也应该按类似的方法分别处理。（2）如果结构图中有交叉连接，应移动某些引出点或相加点，将交叉点连接消除。（3）对于多回路无交叉连接的结构图，应从内回路开始，由里向外进行变换，直至将结构图变为一个等效的方框，即得到所求的传递函数。第

24、82页/共122页2.4.3 系统传递函数 自动控制系统经常会受到两类输入信号的作用，一类是给定的有用输入信号u(t)，另一类则是阻碍系统进行正常工作的扰动信号n(t)。给定信号u(t)通常加在控制装置的输入端；干扰信号n(t)一般作用在被控对象上，也可能出现在其他元部件上，甚至可能混杂在输入信号中。一个系统往往有多个扰动信号，但是一般只考虑其中最主要的。第83页/共122页图2.20 闭环控制系统的典型结构图 在该结构图中，从输入信号到输出信号之间的通道，称为前向通道；从输出信号到反馈信号之间的通道，称为反馈通道。第84页/共122页（1）系统开环传递函数 前向通道传递函数与反馈通道传递函数

25、的乘积G1（s）G2（s）H（s）称为系统的开环传递函数。第85页/共122页（2）u（t）作用下的系统闭环传递函数图2.21 u（t）作用下的系统结构图图2.20 闭环控制系统的典型结构图令n（t）=0，图2.20简化为图2.21第86页/共122页接上页：输出y（t）对输入u（t）的传递函数为（2.43）第87页/共122页（3）n（t）作用下的系统闭环传递函数图2.20 闭环控制系统的典型结构图令u（t）=0，图2.20转化为图2.22，由图可得图2.22 n（t）作用下的系统结构图第88页/共122页接上页：输出y（t）对输入n（t）的传递函数为（2.44）第89页/共122页（4）系

26、统的总输出 当给定输入和扰动输入同时作用于系统时，根据线性叠加原理，线性系统的总输出应为各输入信号引起的输出之总和。第90页/共122页（5）闭环系统的误差传递函数误差为给定信号与反馈信号之差，即图2.20 闭环控制系统的典型结构图第91页/共122页1）u（t）作用下闭环系统的给定误差传递函数e（s）图2.23(a)u（t）作用下误差输出的结构图图2.20 闭环控制系统的典型结构图令n（t）=0，则可由图2.20转化得到的图2.23（a）第92页/共122页（2.45）即得，u（t）作用下闭环系统的给定误差传递函数：2）n（t）作用下闭环系统的扰动误差传递函数en（s）令u（t）=0，则可由

27、图2.20转化得到的图2.23（b）图2.20 闭环控制系统的典型结构图第93页/共122页（2.46）即得，n（t）作用下闭环系统的给定误差传递函数：3）系统的总误差根据叠加原理，系统的总误差为：第94页/共122页2.5 信号流图与梅逊公式 信号流图是表示线性方程组变量间关系的一种图示方法，将信号流图用于控制理论中，可不必求解方程就得到各变量之间的关系，既直观又形象。当系统方框图比较复杂时，可以将它转化为信号流图，并可据此采用梅逊(Mason)公式求出系统的传递函数。第95页/共122页（补充）信号流图的性质（补充）信号流图的性质（1）信号流图只适用于线性系统；（2）信号流图所依据的方程式

28、，一定为因果函数形式的代数方程；（3）信号只能按箭头表示的方向沿支路传递；（4）节点上可把所有输入支路的信号叠加，并把总和信号传送到所有输出支路；（5）对于给定的系统，其信号流图不是唯一的。2.5.1 信号流图 它是由节点和支路组成的一种信号传递网络。第96页/共122页例1 一简单系统的描述方程为：该方程式的信号流图如图2.24（a）所示。图2.24(a)系统信号流图 注意：变量x1和x2用节点“”来表示，传输函数用一有向有权的线段(称为支路)来表示，支路上箭头表示信号的流向，信号只能单方向流动。第97页/共122页例2 一复杂描述系统的方程组为：方程组的信号流图如图2.24（b）所示。图2

29、.24（b）第98页/共122页（补充）系统的信号流图绘制（补充）系统的信号流图绘制 在线性系统信号流图的绘制中应包括以下步骤：（1）将描述系统的微分方程转换为以s为变量的代数方程。（2）按因果关系将代数方程写成如下形式：（3）用节点“”表示n个变量或信号，用支路表示变量与变量之间的关系。通常把输入变量放在图形左端，输出变量放在图形右端。第99页/共122页在信号流图中，常使用以下名词术语：(1)节点：表示变量或信号的点，用“”表示。(2)支路：连接两个节点之间的有向有权线段，方向 用箭头表示，权值用传输函数表示。(3)输入支路：指向节点的支路。(4)输出支路：离开节点的支路。（1）第102页

30、/共122页在信号流图中，常使用以下名词术语：（2）(5)源点（输入节点）：只有输出支路的节点。(6)汇点（输出节点）：只有输入支路的节点。(7)混合节点：既有输入支路、又有输出支路的节点。第103页/共122页在信号流图中，常使用以下名词术语：（3）(8)前向通道：从输入节点(源点)到汇点的通道，并且 每个节点仅通过一次。(9)前向通道增益(pk)：第104页/共122页在信号流图中，常使用以下名词术语：（4）(10)回路：通道的起点就 是通道的终点，并且每个节点仅通过一次。(13)自回路：单一支路的闭通道。(12)不接触回路：如果一些回路没有任何公共的节点，称它们为不接触回路。(11)回路

31、增益(La)：第105页/共122页2.5.2 梅逊公式 当系统信号流图已知时，可以用公式直接求出系统的传递函数，这个公式就是梅逊公式。梅逊(Mason)公式可以对复杂的信号流图直接求出系统输出与输入之间的总增益，或传递函数，使用起来更为方便。其公式为第106页/共122页式中，P 输出和输入之间的增益或传递函数；Pk 第k条前向通道的增益或传输函数；信号流图的特征值，=1-La+Lb Lc-Ld Le Lf+La：所有不同回环增益之和；Lb Lc：所有两两互不接触回环增益乘积之和；Ld Le Lf：所有三个互不接触回环增益乘积之和 k 与第k条前向通道不接触的那部分信号流图的，称为第k条前向

32、通道特征式的余子式。第107页/共122页例9 一系统信号流图如图2.25所示，试求系统的传递函数。图2.25第108页/共122页(1)前向通道：2个p1=abcdp2=fdP1P2第109页/共122页(2)回路：3个L1=beL2=-abcdgL3=-fdg所以，La=L1+L2+L3；其中L1与L3是互不接触的；所以，Lb Lc=L1 L3L1L2L3第110页/共122页0 0 00 0由于P1与L1，L2，L3均接触，所以由于P2与L2，L3均接触，所以 0 0 0(3)P1P2L1L2L3第111页/共122页系统的传递函数为:(4)第112页/共122页例10 已知系统的信号流

33、图如图2.26所示，求系统的传递函数图2.26第113页/共122页(1)前向通道：1个p1=ac(2)回路：3个L1=dL2=cfL3=e所以，La=L1+L2+L3=d+cf+e；其中L1与L3是互不接触的；所以，Lb Lc=L1 L3=de第114页/共122页0 0 00 0由于P1与L1，L2，L3均接触，所以(3)(4)第115页/共122页(1)前向通道：1个p1=b(2)回路：3个L1=dL2=cfL3=e所以，La=L1+L2+L3=d+cf+e；其中L1与L3是互不接触的；所以，Lb Lc=L1 L3=de第116页/共122页 0 0 0由于P1与L2，L3均接触，所以(3)第117页/共122页由此得系统的传递函数为：(4)第118页/共122页图2.27例11 试求图2.27所示系统的传递函数UG1G2G3Y-1-H1-H2G4111第120页/共122页第121页/共122页感谢您的观看！第122页/共122页