自动控制原理课件4.pptx

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1、第4章 根轨迹法 主要内容n根轨迹的基本概念n根轨迹的绘制法则n用根轨迹法分析系统的暂态特性n小结第1页/共98页第4章 根轨迹法 学习重点v了解根轨迹的基本特性和相关概念；v了解根轨迹的类型划分，熟练掌握根轨迹的分类原则；v掌握根轨迹的绘制法则，并能够熟练地应用到根轨迹的绘制过程中；v学会应用主导极点、偶极子等概念近似分析系统的性能。第2页/共98页第4章 根轨迹法根轨迹法 一种由开环开环传递函数求闭环闭环特征根的简便方法。它是一种用图解方法表示特征根与系统参数的全部数值关系的方法。1948年，由伊文思（W.R.Evans）提出。根轨迹法的任务 由已知的开环零极点和根轨迹增益，用图解方法确定

2、闭环极点。第3页/共98页4.1 根轨迹法的基本概念根轨迹 系统开环传递函数的每一个参数从零变化到无穷大时，闭环系统特征方程的根在 S 平面上的变化轨迹。第4页/共98页例4.1二阶系统的根轨迹闭环传递函数特征方程闭环极点4.1 根轨迹法的基本概念第5页/共98页 研究开环放大系数K与闭环特征根的关系。当取不同K值时，算得闭环特征根如下：K00-20.5-1-11-1+j-1-j2-1+j-1-j-1+j-1-j4.1 根轨迹法的基本概念第6页/共98页4.1 根轨迹法的基本概念K K由00变化时，闭环特征根在S S平面上移动的轨迹如下图所示。这就是该系统的根轨迹。根轨迹直观地表示了参数K变化

3、时，闭环特征根的变化，并且还给出了参数K对闭环特征根在S平面上分布的影响。第7页/共98页根轨迹方程控制系统结构图开环传递函数4.1 根轨迹法的基本概念第8页/共98页式中：开环零点；开环极点。闭环系统特征方程式为或可写作4.1 根轨迹法的基本概念第9页/共98页这个方程式表达了开环传递函数与闭环特征方程式的关系，该方程的解即为闭环特征根，因此该式又称为根轨迹方程。令s=+j代入可得4.1 根轨迹法的基本概念第10页/共98页上式是一个复数，可表示成幅值和辐角的形式，则根轨迹方程又可分别表示成幅值条件：4.1 根轨迹法的基本概念第11页/共98页辐角条件：（充分必要条件）4.1 根轨迹法的基本

4、概念式中：开环有限零点到s点的矢量辐角；开环极点到s点的矢量辐角；满足幅值条件和辐角条件的s值，就是特征方程式的根，也就是闭环极点。第12页/共98页4.1 根轨迹法的基本概念因为在0范围内连续变化，总有一个值能满足幅值条件。所以，绘制根轨迹的依据是辐角条件。利用幅值条件计算 值比较方便，它可以作为计算 值的依据。第13页/共98页绘制根轨迹的一般步骤（1）出 =0 和 =时的特征根（2）根据绘制法则大致画出0 m时，则有（n-m)条根轨迹分支终止于无限零点。这些趋向无穷远的根轨迹分支的渐近线由与实轴的夹角和交点来确定。第28页/共98页4.2 根轨迹的绘制法则 无穷远处的特征根，到S平面上所

5、有开环有限零点和极点的矢量辐角都相等，均为，即独立的渐近线只有（n-m）条（1）渐近线的倾角代入辐角条件得即渐近线的倾角为第29页/共98页4.2 根轨迹的绘制法则 当 时，即得（2）渐近线的交点由幅值条件第30页/共98页4.2 根轨迹的绘制法则 令上式中等式两边的项系数相等，即得渐近线的交点由于 和 是实数或共轭复数，故 必为实数，因此渐近线交点总在实轴上。第31页/共98页4.2 根轨迹的绘制法则 例4-3 4-3 设开环传递函数为试确定其根轨迹渐近线。解 （1 1）计算渐近线倾角。因为m=0,n=3,m=0,n=3,所以可得渐近线倾角为第32页/共98页4.2 根轨迹的绘制法则 因为

6、n=3,m=0；所以渐近线交点为（2）计算渐近线交点。第33页/共98页4.2 根轨迹的绘制法则 7根轨迹的出射角和入射角出射角：根轨迹离开S平面上开环极点处的切线与实轴的夹角。入射角：根轨迹进入S平面上开环零点处的切线与实轴的夹角。第34页/共98页4.2 根轨迹的绘制法则 例4-4已知开环传递函数为试计算起点（-1+j1）的斜率。第35页/共98页把以上诸值代入辐角条件，即得起点（-1+j1）的出射角为4.2 根轨迹的绘制法则 解令稍为增大，在（-1+j1）附近的特征根应满足辐角条件，即解得第36页/共98页4.2 根轨迹的绘制法则 同理可得入射角的计算公式为通过这个例子，可以得到计算出射

7、角的公式为第37页/共98页4.2 根轨迹的绘制法则 8根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴相交时，特征方程式的根，此时系统处于临界稳定状态，令此时的。由此可计算对应的临界放大系数值。确定交点的方法：（1 1）把 代入特征方程式；（2 2）利用劳斯判据。第38页/共98页4.2 根轨迹的绘制法则 例4-5设有开环传递函数为 试确定根轨迹与虚轴的交点，并计算临界放大系数。假设 时根轨迹与虚轴相交，于是令上式中解 方法（1 1）根据给定的开环传递函数，可得特征方程式为第39页/共98页4.2 根轨迹的绘制法则 则得 亦即解得：，对应根轨迹的起点；，对应根轨迹与虚轴相交。交点处的（临界放大系数）为 第40

8、页/共98页4.2 根轨迹的绘制法则 方法（2 2）用劳斯判据计算交点和临界放大系数劳斯表特征方程第41页/共98页4.2 根轨迹的绘制法则 在第一列中，令行等于零，则得临界放大系数根轨迹与虚轴的交点可根据行的辅助方程求得，即令上式中，即得根轨迹与虚轴的交点为第42页/共98页4.2 根轨迹的绘制法则 9根轨迹的走向 如果特征方程的阶次 ，则一些根轨迹右行时，另一些根轨迹必左行。说明：把特征方程式改为式中：是一个常数，它是各特征根之和。这表明，随着值改变，一些特征根增大时，另一些特征根必减小。第43页/共98页4.2 根轨迹的绘制法则 根轨迹绘制法则归纳如下：（1 1）起点（）。开环传递函数的

9、极点即根轨迹的起点。（2 2）终点（）。根轨迹的终点即开环传递函数的零点（包括m个有限零点和（n-m）个无限零点）。（3 3）根轨迹数目及对称性。根轨迹数目为，根轨迹对称于实轴。（4 4）实轴上的根轨迹。实轴上根轨迹右侧的零点、极点之和应是奇数。第44页/共98页4.2 根轨迹的绘制法则（5 5）分离点与会合点。分离点与会合点满足方程 （6）根轨迹的渐近线。渐近线的倾角 渐近线交点 第45页/共98页4.2 根轨迹的绘制法则（9）根轨迹走向。如果特征方程的阶次 ，则一些根轨迹右行时，另一些根轨迹必左行。（8）根轨迹与虚轴交点。把 代入特征方程式，即可解出交点处的临界值和交点坐标。入射角出射角（

10、7）根轨迹的出射角与入射角。第46页/共98页4.2 根轨迹的绘制法则 4.2.2 4.2.2 自动控制系统的根轨迹1.1.二阶系统设二阶系统的结构图如下图所示。它的开环传递函数为第47页/共98页4.2 根轨迹的绘制法则 二阶系统的根轨迹图如右图所示。如果要使得系统的阻尼比为 则从原点作阻尼线0R,交根轨迹于R（见右图）。开环放大系数 应为 上式和第三章第三节用分析法所得的二阶工程最佳参数相同 第48页/共98页4.2 根轨迹的绘制法则 2 2开环具有零点的二阶系统 二阶系统增加一个零点时，系统结构图如下图所示。它的开环传递函数为第49页/共98页4.2 根轨迹的绘制法则 由下图知，复平面上

11、的根轨迹是一个圆（证明详见教材）。这个圆与实轴的交点即为分离点和会合点：本例说明：正向通道内适当引进零点，将使根轨迹向左偏移，能改善系统动态品质。时的根轨迹图 第50页/共98页4.2 根轨迹的绘制法则 3.三阶系统二阶系统附加一个极点的系统的结构图如下图所示。它的开环传递函数为在时，分离点为和。因为在-1-4之间不可能有根轨迹，故分离点应为。第51页/共98页4.2 根轨迹的绘制法则 当时，根轨迹与虚轴交点为对应的根轨迹放大系数为考虑到，于是得临界开环放大系数为根轨迹绘于右图。本例说明：在二阶系统中附加一个极点，随着 增大，根轨迹会向右变化，并穿过虚轴，使系统趋于不稳定。第52页/共98页4

12、.2 根轨迹的绘制法则 4 4具有时滞环节的系统假设,时滞系统的结构如图所示,其开环传递函数为闭环系统的特征方程式为第53页/共98页4.2 根轨迹的绘制法则 假设特征根，则满足特征根的幅值和辐角条件为与前面介绍的根轨迹绘制法则相对比可知，时滞系统的根轨迹绘制法则要有所变化。第54页/共98页4.2 根轨迹的绘制法则 时滞系统的根轨迹绘制法则：（1）起点（）。当时，除开环极点是起点外，也是起点。（2）终点（）。当时，除开环有限零点是终点外，也是终点。（3）根轨迹数目及对称性。根轨迹有无限多条分支。根轨迹对称于实轴。（4）实轴上的根轨迹。实轴上根轨迹右侧的开环零、极点之和为奇数。第55页/共98

13、页4.2 根轨迹的绘制法则（5）分离点与会合点。（6）渐近线。水平线，与虚轴交点为第56页/共98页4.2 根轨迹的绘制法则（7 7）出射角与入射角。（8）根轨迹与虚轴交点。临界根轨迹放大系数 第57页/共98页4.2 根轨迹的绘制法则（9）复平面上的根轨迹。由辐角条件，假设 得例4-6 设系统的开环传递函数为 试绘制其根轨迹。第58页/共98页4.2 根轨迹的绘制法则 解 （1）起点 为：,；其他起点为 ，其渐近线为 （2）终点 为：，其渐近线同上。（3）在实轴的 0-1区间有根轨迹。（4）分离点位置按式（4-25）计算，得第59页/共98页4.2 根轨迹的绘制法则 由此算得当时，得，。因根

14、轨迹位于0 1间，故分离点是。（5）根轨迹与虚轴交点。当 ，得 由此得 对应的临界根轨迹放大系数为同理可计算 时的 和 值。根据以上计算结果作的根轨迹如下图所示。第60页/共98页4.2 根轨迹的绘制法则 当滞后时间很小时，根轨迹与虚交点的值将很大，临界根轨迹放大系数也是很大。这时时滞环节的影响减弱。因此，对于滞后时间为毫秒级的元件，我们常把它的传递函数近似地认为，即把它等效成为一个惯性元件。第61页/共98页4.2 根轨迹的绘制法则 4.2.3 4.2.3 零度根轨迹 零度根轨迹：根轨迹的辐角条件不是 ，而是 的情况。图示系统有一个零点在S右半平面，它的传递函数为第62页/共98页4.2 根

15、轨迹的绘制法则 它的闭环特征方程式为 亦即 幅值条件辐角条件由于辐角条件是偶数个 ，故名为零度根轨迹。第63页/共98页4.2 根轨迹的绘制法则 零度根轨迹的绘制，改变了与幅角有关的规则：（1 1）实轴上的根轨迹。实轴上根轨迹右侧的零点、极点之和应是偶数。（2 2）根轨迹的渐近线。倾角（3 3）根轨迹的出射角与入射角。入射角出射角第64页/共98页4.2 根轨迹的绘制法则 例4-7 4-7 试绘制下图示系统的根轨迹。解（1）二个开环极点：，；一个有限零点：和一个无限零点。第65页/共98页4.2 根轨迹的绘制法则（2）实轴上根轨迹。确定这一系统实轴上轨迹的原则是，它右侧的零、极点数目之和应是偶

16、数。因为只有这样，才能满足辐角条件。因此在实轴的0 和区间存在根轨迹。（3）分离点与会合点 分离点与会合点分别为 第66页/共98页4.2 根轨迹的绘制法则 根轨迹如下图所示。不难证明，复平面上的轨迹是一个圆，圆心为有限零点 ，半径为 。第67页/共98页4.2 根轨迹的绘制法则 4.2.4 4.2.4 参数根轨迹参数根轨迹（或广义根轨迹）：以以外的参数作为变量的根轨迹，称为参数根轨迹。1.1.一个参数变化的根轨迹假设系统的可变参数是某一时间常数T T，原特征方程式变为式中，、分别为等效的开环传递函数分子、分母多项式，T的位置与原根轨迹放大系数完全相同。第68页/共98页4.2 根轨迹的绘制法

17、则 例4-9 4-9 给定控制系统的开环传递函数为 试作出以为参变量的根轨迹，并利用根轨迹分析取何值时闭环系统稳定。解闭环特征方程改写为 等效的开环传递函数为 该系统在绘制以为参变量的根轨迹时，应遵循零度根轨迹的绘制规则。第69页/共98页相应的根轨迹绘于右图。由图可知，当 时系统处于临界稳定状态。闭环系统稳定的范围：例4-9系统的根轨迹本例说明，尽管在许多情况下，都是绘制常义根轨迹，但是在绘制参数根轨迹、研究正反馈系统、处理非最小相位系统时，都有可能遇到绘制零度根轨迹的情形。4.2 根轨迹的绘制法则 第70页/共98页4.2 根轨迹的绘制法则 2.几个参数变化的根轨迹（根轨迹簇）在某些场合，

18、需要研究几个参数同时变化对系统性能的影响。例如在设计一个校正装置传递函数的零、极点时，就需研究这些零、极点取不同值时对系统性能的影响。为此，需要绘制几个参数同时变化时的根轨迹，所作出的根轨迹将是一组曲线，称为根轨迹簇。第71页/共98页4.2 根轨迹的绘制法则例4-10 一单位反馈控制系统如图所示，试绘制以K和 为参数的根轨迹。解 系统闭环特征方程为先令，则上式变为或写作第72页/共98页4.2 根轨迹的绘制法则令据此作出 对应的根轨迹，如下图a所示。这是 时，以K为参变量的根轨迹。其次考虑 ，把闭环特征方程改写为 令第73页/共98页它的极点为，零点为0。不难证明，对应特征方程的根轨迹为一圆

19、弧，其方程为4.2 根轨迹的绘制法则例如令K=9，则 下图b为K取不同值时所作的根轨迹簇。第74页/共98页4.3 用根轨迹法分析系统的暂态特性 根轨迹绘出以后，对于一定的值，即可利用幅值条件，确定相应的特征根（闭环极点）。如果闭环系统的零点是已知的，则可以根据闭环系统零、极点的位置以及已知的输入信号，分析系统的暂态特性。用根轨迹法分析控制系统的步骤用根轨迹法分析控制系统的步骤:1.1.画出系统的根轨迹图画出系统的根轨迹图2.2.在根轨迹上确定闭环零、极点的位置在根轨迹上确定闭环零、极点的位置3.3.根据系统闭环零极点的分布分析系统的性能根据系统闭环零极点的分布分析系统的性能第75页/共98页

20、4.3.1 在根轨迹上确定特征根 根据已知的 值，在根轨迹上确定特征根的位置时，可以采用试探法。4.3 用根轨迹法分析系统的暂态特性 1.取试验点 2.连接 与开环 零极点第76页/共98页对于 的系统，可先在实轴上选实验点，找出闭环实极点后再确定闭环复极点。例4-11 系统开环传函为试确定 的闭环极点。解 闭环特征方程为4.3 用根轨迹法分析系统的暂态特性 第77页/共98页由图可知：在有一实根，设其为:4.3 用根轨迹法分析系统的暂态特性 实根求法：1.试探法 2.作图法由求得 的一个特征根为第78页/共98页设另外两个复根为：由特征方程得:根据代数方程根与系数的关系有：可求得二共轭复根:

21、4.3 用根轨迹法分析系统的暂态特性 第79页/共98页4.3.2 用根轨迹法分析系统的性能4.3 用根轨迹法分析系统的暂态特性 用根轨迹法分析控制系统：定性分析稳定性分析。定量分析暂态响应分析，定量计算性能指标。控制系统的性能是由闭环零、极点的位置决定的。根轨迹是闭环特征根随参数变化的轨迹，根轨迹法分析系统性能的最大优点就是可以直观地看出系统参数变化时，闭环极点的变化。选择适当的参数，使闭环极点位于恰当的位置，获得理想的系统性能。第80页/共98页(1)(1)闭环系统有两个负实极点暂态过程主要决定于离虚轴近的极点。一般当时 ，可忽略极点的影响。4.3 用根轨迹法分析系统的暂态特性 由根轨迹求

22、出闭环系统极点和零点的位置后，就可以按第三章所介绍的方法来分析系统的暂态品质。第81页/共98页4.3 用根轨迹法分析系统的暂态特性 假设 不变随着阻尼角 的改变，极点将沿着以 为半径的圆弧移动。(2)(2)闭环极点为一对复极点由 （或阻尼角 ）和 决定系统的暂态特性。第82页/共98页4.3 用根轨迹法分析系统的暂态特性 假设 不变则随着 增大，极点将沿矢量方向延伸。等阻尼线第83页/共98页4.3 用根轨迹法分析系统的暂态特性 是表征系统指数衰减的系数，它决定系统的调节时间。有相同的系统，将有相同的衰减速度和大致相同的调节时间。等衰减系数线第84页/共98页4.3 用根轨迹法分析系统的暂态

23、特性 (3)(3)闭环系统有一对复极点外加一个实极点系统超调量减小，调节时间增长一对复极点和一个实极点 当实极点与虚轴的距离比复极点实部与虚轴的距离大5倍以上时，可以不考虑这一负极点的影响，直接用二阶系统的指标来分析系统的暂态品质。第85页/共98页4.3 用根轨迹法分析系统的暂态特性 （4）闭环系统有一对复极点外加一个零点将增大系统超调量但是，如果，,则可以不计零点的影响，直接用二阶系统的指标来分析系统的暂态品质。一对复极点和一个零点 第86页/共98页4.3 用根轨迹法分析系统的暂态特性 （5）闭环系统中一对相距很近的实极点和零点称为偶子。偶子对系统暂态响应的影响很小，可以忽略不计。用根轨

24、迹法分析系统暂态品质的最大优点是可以看出开环系统放大系数（或其它参数）变化时，系统暂态品质怎样变化。第87页/共98页4.3 用根轨迹法分析系统的暂态特性 4.3.3 开环零点对系统根轨迹的影响 增加开环零点将引起系统根轨迹形状的变化，因而影响了闭环系统的稳定性及其暂态响应性能。如果在系统中增加一个开环零点，系统的开环传递函数变为例4-12设系统的开环传递函数为第88页/共98页4.3 用根轨迹法分析系统的暂态特性 开环零点在不同取值情况下的根轨迹 第89页/共98页4.3 用根轨迹法分析系统的暂态特性 从以上四种情况来看，一般第三种情况比较理想，这时系统具有一对共轭复数主导极点，其暂态响应性

25、能指标也比较令人满意。可见，增加开环零点将使系统的根轨迹向左弯曲，并在趋向于附加零点的方向发生变形。如果设计得当，控制系统的稳定性和暂态响应性能指标均可得到显著改善。第90页/共98页4.3 用根轨迹法分析系统的暂态特性 4.3.4 开环极点对系统根轨迹的影响例4-13设系统的开环传递函数其对应的系统根轨迹如下图a a所示。若系统增加开环极点，开环传递函数变为其相应的根轨迹如下图b b所示。第91页/共98页4.3 用根轨迹法分析系统的暂态特性 开环极点对系统根轨迹的影响 根轨迹将向右弯曲第92页/共98页4.3.5 偶极子对系统性能的影响 在系统的综合中，常在系统中附加一对非常接近坐标原点的

26、零、极点对来改善系统的稳态性能。这对零、零、极点彼此相距很近，又非常靠近原点，且极点位于零点极点彼此相距很近，又非常靠近原点，且极点位于零点右边，右边，通常称这样的零、极点对为偶极点对或偶极子。在系统中附加下述网络 若上述网络的极点和零点彼此靠得很近，即为偶极子。4.3 用根轨迹法分析系统的暂态特性第93页/共98页4.3 用根轨迹法分析系统的暂态特性例4-14系统的开环传递函数为在系统中附加偶极点对，相应的新开环传递函数为第94页/共98页4.3 用根轨迹法分析系统的暂态特性系统附加偶极子对根轨迹的影响 新系统的根轨迹除S平面原点附近外，与原系统根轨迹相比无明显变化。第95页/共98页1.根轨迹是以开环传递函数中的某个参数（一般是根轨迹增益）为参变量而画出的闭环特征方程式的根轨迹图。根据系统开环零、极点在S平面上的分布，按照规则，就能方便地画出根轨迹的大致形状。2.根轨迹图不仅使我们能直观的看到参数的变化对系统性能的影响，而且还可以用它求出指定参变量或指定阻尼比相对应的闭环极点。3.根据确定的闭环极点和已知的闭环零点，就能计算出系统的输出响应及其性能指标，从而避免了求解高阶微分方程的麻烦。小 结第96页/共98页END第97页/共98页感谢您的观看！第98页/共98页